精品解析：山东省烟台第二中学2023-2024学年高二上学期11月月考数学试卷

山东省烟台第二中学2023-2024学年度第一学期高二11月月考 数学 2024.11.15 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列—3，1，5，…的第15项的值是 A. 40 B. 53 C. 63 D. 76 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：根据数列，可得首项是=-3，公差是d=4，则=+14d=53．故选B． 考点：等差数列． 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则等于 A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的性质：下标之和相等的两项的和相等，由,结合等差数列的求和公式可求得. 【详解】数列为等差数列，, 由等差数列的性质得： , 又其前项和为, ，故选D . 【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的求和公式的应用，属于中档题. 解答与等差数列有关的问题时，要注意应用等差数列的性质（）与前 项和的关系. 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据导函数的正负,确定函数的单调递增递减区间即得. 【详解】由求导得，， 则当时，，即函数在上单调递增； 当时，，即函数在上单调递减， 故函数的单调递增区间为. 故选：D. 4. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解 【详解】，函数时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数时取得极大值．故符合题意． 5. 设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为S1,S2,S4成等比数列, 所以S1S4=,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2, 即d2=2a1d,d=2a1, 所以===3.故选C. 6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 7. 等差数列,的前项和分别为,，若，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意结合等差数列的性质有： . 本题选择C选项. 8. 已知函数，若方程在R上有解，则a的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，的最大值为，方程在R上有解，则有，解不等式即可. 【详解】函数，有， 则， 由辅助角公式可知，的最大值为， 若方程在R上有解，则有， 得，解得或. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求导数,利用零点存在定理,可判断A,B; ,可判断C，D. 【详解】函数,, ∵是函数的极值点，∴，即， ,当时， ,,即A选项正确,B选项不正确; , 即D正确,C不正确. 故答案为:AD. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值,考查学生的计算能力,属于中档题. 10. 等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据等比数列通项公式分析判断；对于C：分类讨论公比的取值范围，结合等比数列求和公式分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】设等比数列的公比为， 对于选项A：因为，且，所以，故A正确； 对于选项C：因为， 若，则； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 若，则，即，， 所以； 综上所述：，故C正确； 对于选项BD：例如，则，符合题意， 但，故BD错误； 故选：AC. 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 【答案】BD 【解析】 【分析】求导后讨论单调性可判断A；求导后讨论的单调性，利用零点存在定理判断B；利用常数分离法，构造函数，利用导数分析得的单调性可判断C；利用极值点偏移问题的解法求解，从而可判断D. 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的导数， 所以在内，，函数单调递减； 在上，，函数单调递增， 所以是的极小值点，故A错误； 对于选项B，由，得， 由于分子判别式小于零，所以恒成立， 所以函数在，上单调递减， 且， 所以函数有且只有1个零点，故B正确； 对于选项C，若，可得， 令，则， 令，则， 所以在内，，函数单调递增； 在上，，函数单调递减， 所以，所以， 所以函数在上单调递减． 又因为当时，， 所以不存在正实数，使得恒成立，故C不正确； 对于选项D，设，即有， ，即为， 化为， 故，所以， 则， 设（），可得， 令，则在上恒成立， 可得，所以，故单调递增， 可得，故成立，故D正确． 故选：BD. 【点睛】方法点睛： （1）函数的极值点与零点可用导数分析单调性后再结合具体函数值分析； （2）对于含参数的函数不等式恒成立问题可分离参数后求导，分析单调性再求参数的范围； （3）极值点平移问题，先构造函数求导，再赋值，最后可得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知函数，则在R上的单调递减区间是___________． 【答案】（均正确） 【解析】 【分析】求导可得，结合导数符号与原函数单调性之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：的定义域为R，且， 令，解得， 所以在R上的单调递减区间为. 故答案为：（均正确）. 13. 在等比数列中，若，是方程的两根，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用韦达定理可得，根据等比数列性质若，则，可得． 【详解】若，是方程的两根，则 ∵数列为等比数列，则 故答案为：． 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导函数，得出函数的最小值，把函数的零点个数问题转化为函数与的图象由两个不同的交点，结合图象，即可得到答案． 【详解】由题意，设函数，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数由最小值， 又由当时，总有恒成立， 要使得函数有两个零点， 即函数与的图象由两个不同的交点， 在同一坐标系内作出两个函数的图象，如图所示， 则，所以， 即实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点个数问题，其中解答中把函数的零点个数转化两个函数的图象的交点的个数，再利用导数得到函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和． 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 【分析】(1) 利用等差中项，求出，再结合，求出； (2) 错位相减法求数列的前项和. 【详解】(1) 因为数列是等差数列， 所以，， 公差， 所以. (2) ， 数列的前项和，有 ， ， 两式相减得， 整理得，. 16. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）（2）最大值是18，最小值是 【解析】 【分析】（1）根据奇函数可得，再利用导数的几何意义和二次函数的最值，可得的值； （2）利用导数可得函数的单调区间和极值，进而求得函数的最值. 【详解】（1）∵为奇函数，∴， ∵的最小值为，∴， 又直线的斜率为，∴， ∴. （2），，列表如下： + 0 - 0 + 极大值 极小值 ∴函数的单调递增区间是， ∵， ∴函数在上的最大值是18，最小值是 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力. 17. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） 【答案】（Ⅰ）第一年末实际住房面积的表达式，第二年末实际住房面积的表达式 （Ⅱ） 【解析】 【详解】解：（1）第1年末的住房面积， 第2年末的住房面积 ， （Ⅱ）第3年末的住房面积 ， 第4年末的住房面积 ， 第5年末的住房面积 依题意可知，，解得， 所以每年拆除的旧房面积为． 18. 甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． （1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； （2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 【答案】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为， ； （2）第2029年时，乙企业被甲企业收购，理由如下： 因为，即时不合题意； 当时，可知， 即恒成立，可知甲企业不可能被乙企业收购， 令，即， 显然，整理可得， 因为，则， 可知：当时，不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，，即不等式不成立； 当时，不等式成立； 综上所述：当时，等式成立， 所以第2029年时，乙企业被甲企业收购. 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，根据前n项和与通项之间的关系求，利用累加法求； （2）分析可知：甲企业不可能被乙企业收购，令，整理可得，分析求解即可. 【小问1详解】 设甲、乙两企业第n年的销售量分别为，数列的前n项和为， 则， 当时，则， 且不满足上式，则； 又因为当时，， 则 ， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 略 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件． （Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）；最大值（万元）． 【解析】 【详解】解：（Ⅰ）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为： ． （Ⅱ） ． 令得或（不合题意，舍去）． ，． 在两侧的值由正变负． 所以（1）当即时， ． （2）当即时， ， 所以 答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第二中学2023-2024学年度第一学期高二11月月考 数学 2024.11.15 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 等差数列—3，1，5，…的第15项的值是 A. 40 B. 53 C. 63 D. 76 2. 已知等差数列的前n项和为，若，则等于 A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 3. 函数的单调增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 若函数在时取得极值，则a=（ ） A. 4 B. 5 C. 2 D. 3 5. 设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且S1,S2,S4成等比数列,则等于(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 等差数列,的前项和分别为,，若，则 A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程在R上有解，则a的取值范围为（ ）． A. 或 B. 或 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 等比数列的前项和为，则下列一定成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 关于函数，下列判断正确的是（ ）． A. 是的极大值点 B. 函数有且只有1个零点 C. 存在正实数，使得成立 D. 对任意两个正实数，且，若，则． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知函数，则在R上的单调递减区间是___________． 13. 在等比数列中，若，是方程的两根，则_________. 14. 已知函数有两个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是等差数列，且，． (1) 求数列的通项公式； (2) 令，求数列的前项和． 16. 设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为． （1）求的值； （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值． 17. 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a（单位：m2），其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同事也拆除面积为b（单位：m2）的旧住房． （Ⅰ）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （Ⅱ）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？（计算时取1.15=1.6） 18. 甲、乙两企业，2019年的销售量均为p(2019年为第一年)，根据市场分析和预测，甲企业前n年的总销量为，乙企业第年的销售量比前一年的销售量多． （1）求甲、乙两企业第n年的销售量的表达式； （2）根据甲、乙两企业所在地的市场规律，如果某企业的年销售量不足另一企业的年销售量的，则该企业将被另一企业收购，试判断，哪一企业将被收购？这个情形将在哪一年出现？试说明理由． 19. 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件． （Ⅰ）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $