第1章 一元二次方程（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

第1章 一元二次方程（单元测试·培优卷） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则此方程的根是（    ） A． B． C． D． 4．已知是方程和方程的一个实数根，则方程一定有实数根（   ） A． B． C． D． 5．已知a、b为实数，且满足，则代数式的值为（    ） A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5 6．若分式方程有增根，则a的值是（   ） A．1 B．3 C． D． 7．已知等腰的一条边为，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C．或 D．或 8．若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（    ） A． B． C． D． 9．由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（    ） A． B． C． D． 10．如图①，在矩形中（），动点从点出发，沿匀速运动，运动到点处停止．设点的运动路程为，的周长为，与的函数图象如图②所示，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若是方程的根，则的值是 ． 12．已知是方程的一个根，则的值为 ． 13．若方程的两根为，则方程的两根为 ． 14．已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程的一个实数根为t，令，则y的取值范围是 ． 15．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为 ． 16．新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”． （1）与是“同类方程”，则 ； （2）现有关于x的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 17．某中学计划在一块长，宽的矩形空地上修建三块全等的矩形草坪，如图所示，余下空地修建成同样宽为a的小路． （1）若，则草坪总面积为 平方米． （2）若草坪总面积恰好等于小路总面积，那么，此时的路宽a是 米． 18．如图，在平面直角坐标系中，点点B在x轴正半轴上，且，则的长是 ．    三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）解方程： (1)； (2)． 20．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，请你写出一个满足条件的m值，并求出此时方程的根． 21．（10分）关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 22．（10分）已知． （1）化简T； （2）若a、b是方程的两个根，求T的值． 23．（10分）已知：一次函数（）的图像与反比例函数的图像交于点和．   （1）求一次函数的表达式； （2）将直线沿轴负方向平移个单位，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点，求的值． 24．（12分）为庆祝我校建校60周年，学校计划用25000元为从世界各地归来参加校庆的校友在某商场订购A、B两种纪念品．已知A纪念品的订购单价是B纪念品订购单价的，用于购买A纪念品的资金与购买B纪念品的资金之比为，且订购的A纪念品比B纪念品多50件． （1）求A、B两种纪念品的订购单价各是多少？ （2）商场按订购单价计算，A纪念品的利润率为，B纪念品的利润率．但在实际购买时，由于学校需求量增加，且无法追加资金，商场考虑到A、B两种纪念品的库存足够多，为尽快减少库存，于是同意将A、B两种纪念品在原订购单价的基础上，分别每件都降价a元出售，学校也在原计划订购量的基础上各追加购买件．这样，商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订购数量售出所获得的总利润少元，求a的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解，把代入一元二次方程可得，又根据可得，进而求解，掌握一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 2．B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的配方法即可求出答案解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法． 【详解】解：方程， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程等知识．先根据关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，得到，求出，即可得到一元二次方程为，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程为， 解得． 故选：C 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的解，公式法解一元二次方程．熟练掌握一元二次方程的解，公式法解一元二次方程是解题的关键． 由题意知，，，则，即，可求，则，即，公式法解方程，然后作答即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，即， 解得，，即， ∴，即， 解得，，， ∴方程一定有实数根， 故选：B． 5．B 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【详解】解：设，则原方程换元为， ， 解得，（不合题意，舍去）， 的值为3． 故选：B． 【点拨】本题考查了解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 6．B 【分析】本题考查的是分式方程的增根，在分式方程变形的过程中，产生的不适合原方程的根叫做分式方程的增根．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：去分母得：， 分式方程有增根， ， ， 把代入， 得， ， 经检验：时分式方程有增根，符合题意． 故选B． 7．B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，分为等腰三角形的底和腰两种情形，讨论求解即可得到答案，应用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：当为底时，由题意得， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去； 当为腰时，将代入方程得， ， 解得或， 当时，一元二次方程为， 解得，， 三边长为，可以构成三角形； 当时，一元二次方程为， 解得，， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合，舍去， 综上，， 故选：． 8．A 【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0． 函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系． 【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数， ∴分母一定不等于0， ∴无解， 即， 解得：或． 当时，一定满足要求． 故选：A． 9．D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一天的票房及增长率，即可得出第二天票房约亿元、第三天票房约亿元，根据三天后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一天票房约5亿元，增长率为x， 第二天票房约亿元，第三天票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 10．B 【分析】设的长为a，由函数图象可知，根据第一次周长为12时列方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴． 设的长为a， 由函数图象可知，当周长第一次为12时，点P运动到点D，当周长第二次为12时，点P运动到点C， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 故选B． 【点拨】本题考查了动点问题的函数土象，矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，数形结合是解答本题的关键． 11．1 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想． 根据一元二次方程的根的定义，将代入，求出，即可求出的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， ， ， 故答案为：1． 12．2027 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握方程根的定义，活用整体思想是解题的关键． 【详解】∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2027． 13． 【分析】本题主要考查了配方法的应用、直接开平方等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 由可得，再对配方得到，然后运用直接开平方法求解即可． 【详解】解：可得， ， ， 所以． 故答案为：． 14．/ 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．由一元二次方程根的判别式先求解，根据一元二次方程的解的定义得出代入代数式，进而即可求解． 【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 设此方程的一个实数根为， ， ，即 故答案为：． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键． 【详解】解：， 分解因式为， 解得或 ①当时，， 整理得， ∵，∴方程无解； ②当时， ， ∴或（舍去） 故答案为：． 16． 6 【分析】此题主要考查了配方法的应用，解二元一次方程组，理解“同类方程”的定义是解答本题的关键． （1）根据“同类方程”的定义，可得出b的值． （2）根据“同类方程”的定义，可得出a，b的值，从而解得代数式的最大值． 【详解】解：（1）与是“同类方程”， 即与是“同类方程”， ∴， 解得， 故答案为： （2）∵与是“同类方程”， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ∴当时，取得最大值为6． 故答案为：6． 17． 30 1 【分析】本题考查全等图形、代数式求值，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式和方程． （1）根据题意和图形中的数据，可以用的代数式表示出草坪的面积，然后将的值代入计算即可； （2）根据草坪总面积恰好等于小路总面积，可以得到关于的一元二次方程，从而可以求得此时的路宽． 【详解】解：（1）由图可得， 草坪的总面积是， 当时， ， 即时，草坪总面积为30平方米， 故答案为：30； （2）由图可得， 草坪的总面积是， 路的总面积是， ∵草坪总面积恰好等于小路总面积， ， 解得(舍去)， 即此时的路宽为1米， 故答案为：1． 18．/ 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，设，勾股定理求出，过点作，易得为等腰直角三角形，求出的长，等积法列出方程进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 过点作，    ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 故答案为：． 19．(1)； (2)，． 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解方程的步骤与方法，根据方程的特点，选择合适的方法解方程是解决问题的关键． （1）用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴； （2）， 其中， ∴， ∴， ，． 20．(1) (2)取，，(答案不唯一) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程； （1）由两个不相等的实数根得，解不等式即可求解； （2）由m为正整数可求的值，取一个将的值代入原方程，并解方程即可求解； 正确解方程，掌握一元二次方程根的判别式：“方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程有无的实数根．” 是解题的关键． 【详解】（1）解： ； 方程有两个不相等的实数根， ， 即， 解得：， 的取值范围是． （2）解：，且m为正整数， 或， 可取， 原方程化为， 解得 ，． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式可得，即可列出关于的不等式，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，根的定义可得，，，，根据可得，再根据可得，求解即可得出的值． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 整理得：， 解得：． （2）解：∵、是一元二次方程的解， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：（不符合题意舍弃）， 故的值为． 22．(1)； (2)． 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、分式的减法，熟练掌握分式的运算和一元二次方程根与系数关系是解题的关键． （1）先通分，利用同分母分式减法计算即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系得到，整体代入（1）中的化简结果计算即可． 【详解】（1）解： （2）∵a、b是方程的两个根， ∴ ∴ 23．(1) (2) 【分析】（1）将点 和 代入反比例函数的解析式，求得的值，确定点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据题意，写出一次函数变化后的新的图像的解析式，然后根据方程的根的判别式即可求得 值． 【详解】（1）解：∵点和是反比例函数的图像上的点， ∴，， 解得，， ∴，， ∵，在一次函数（）的图像上， ∴，解得， 所以，一次函数的表达式是； （2）将直线沿轴负方向平移个单位，可得， 联立， 消去y可得， 整理可得， 因为只有一个交点， 所以， 解得， 所以，将直线沿轴负方向平移个单位长度，平移后的直线与反比例函数图像恰好只有一个交点． 【点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题、用待定系数法求一次函数解析式，一次函数平移问题、一元二次方程的应用等知识，综合运用相关知识是解此题的关键． 24．(1)纪念品的订购价为每件150元，则A纪念品的订购价为每件200元 (2)5 【分析】（1）设纪念品的订购价为每件元，则A纪念品的订购价为元．根据订购的A纪念品比B纪念品多50件列出分式方程进行求解即可； （2）先求出A、B两种纪念品每件的原成本价、原利润、原订购数量，根据商场按降价后的价格和数量售出这两种纪念品获得的总利润比按原订购单价和订购数量售出所获得的总利润少元列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设纪念品的订购价为每件元，则A纪念品的订购价为元． 订购纪念品的资金为元， 订购纪念品的资金为元， 由题意列方程得， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意． 则， 答：A纪念品的订购价为每件元，则B纪念品的订购价为每件200元． （2）A纪念品的成本价为每件元， 每件利润为（元），订购数量为（件）， 纪念品成本价为每件元， 每件利润为（元），订购数量为(件)． 整理得， 解得（舍） ∴． 【点拨】此题考查了分式方程和一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程并准确解方程是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$