第04讲：充分条件与必要条件（7大题型）-【初升高暑假衔接】2024-2025学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第04讲：充分条件与必要条件 【考点梳理】 · 考点一、充分、必要条件的判断 · 考点二：充要条件的判断 · 考点三：根据充分不必要条件求参数 · 考点四：根据必要不充分条件求参数 · 考点五：根据充要条件求参数 · 考点六、充要条件的证明 · 考点七：充分条件与必要条件综合 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型二：充要条件的判断 4．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 6．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型三：根据充分不必要条件求参数 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）设，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型四：根据必要不充分条件求参数 10．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型五：根据充要条件求参数 13．（22-23高一上·福建宁德·期中）“不等式在上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 14．（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 15．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 题型六、充要条件的证明 16．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 17．（23-24高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 18．（2023高三·全国·专题练习）设，若不等式恒成立，求a，b，c应满足的充要条件． 题型七：充分条件与必要条件综合 19．（23-24高一下·陕西榆林）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 21．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【专项训练】 一、单选题 22．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 23．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 25．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知：，：方程有实数根，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 27．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 30．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 31．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 32．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 33．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下面命题为真命题的是（    ） A．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 34．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 35．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 36．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 37．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 38．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 四、解答题 39．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 40．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 41．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 42．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 43．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲：充分条件与必要条件 【考点梳理】 · 考点一、充分、必要条件的判断 · 考点二：充要条件的判断 · 考点三：根据充分不必要条件求参数 · 考点四：根据必要不充分条件求参数 · 考点五：根据充要条件求参数 · 考点六、充要条件的证明 · 考点七：充分条件与必要条件综合 【知识梳理】 知识点一　充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 知识点二　充要条件 一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q. 【例题详解】 题型一、充分、必要条件的判断 1．（23-24高一上·贵州遵义·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式性质及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，即，充分性成立， 由，若，显然，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高一上·上海浦东新·期末）“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式性质及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】由，则有或， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 3．（23-24高一上·上海徐汇·期末）若，则“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【分析】利用充分条件与必要条件直接判断即可. 【详解】当，则成立，但不成立， 所以充分性不成立； 因为，所以， 又因为，所以，即， 所以必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 题型二：充要条件的判断 4．（23-24高一上·黑龙江·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】作差后，即可判断不等式，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】 ， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5．（23-24高一上·广东汕尾·阶段练习）若a，b都是正整数，则成立的充要条件是（　 　） A．a，b都大于1 B．a，b都不等于1 C．a，b至少有一个为1 D．a，b都等于1 【答案】C 【分析】将不等式变形为，然后结合已知讨论即可. 【详解】因为a，b都是正整数， 所以， 若a，b都大于1，则，不满足题意，所以a，b至少有一个为1； 反之，若a，b至少有一个为1，则或. 综上，a，b都是正整数，则成立的充要条件是a，b至少有一个为1. 故选：C 6．（2023·天津·一模）设，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用作差法结合得出的等价条件，即可得出结论. 【详解】因为，，由可得，则，即， 因此，若，，则“”是“”的充要条件. 故选：C. 题型三：根据充分不必要条件求参数 7．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知或，，且是的充分不必要条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，，依题意可得，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为或，， 令，， 因为是的充分不必要条件，所以， 所以. 故选：D 8．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简集合，根据给定条件，利用集合的包含关系列式求解即得. 【详解】依题意，，， 由是的充分不必要条件，得集合真包含于集合， 所以，即. 故选：A 9．（23-24高一上·山东德州·阶段练习）设，.若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】解不等式求得命题对应的集合，根据是的充分不必要条件，可列出不等式，即可求得答案. 【详解】由，得， 由，得， 因为是的充分不必要条件，即为的真子集， 所以，且，解得 即a的范围为 故选：B. 题型四：根据必要不充分条件求参数 10．（23-24高一上·内蒙古·期末）已知关于的不等式成立的一个必要不充分条件是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，由必要不充分条件可得的取值范围. 【详解】由，得， 因为不等式成立的一个必要不充分条件是， 所以. 故选：A 11．（23-24高一上·重庆·期末）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用充分条件与必要条件的判断方法即可得得出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以，即，解得， 故选：B. 12．（23-24高一上·河南洛阳·阶段练习）已知，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解出命题所表示的不等式，再根据必要不充分条件列出不等式组，解出即可. 【详解】，记， 由是的必要不充分条件，可得且， 故，且等号不同时成立，解得. 故选：B. 题型五：根据充要条件求参数 13．（22-23高一上·福建宁德·期中）“不等式在上恒成立”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】分，两种情况讨论，结合韦达定理判断即可. 【详解】当时，恒成立； 当时，，即，解得； 综上：. 故选：B 14．（20-21高一上·全国·课后作业）已知且，，若p是q的充要条件，则实数m的值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】由两个集合相等可求得参数． 【详解】由已知，， 由p是q充要条件得，因此解得， 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系．掌握这个关系是解题基础． 命题对应集合，命题对应集合是，则是的充分条件，是的必要条件，是的充要条件，是的充分不必要条件，是的必要不充分条件． 15．（23-24高一上·贵州黔西·期末）关于的方程有两个不相等的实数根的充要条件是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合一元二次方程的的性质，列出不等式，即可求解. 【详解】由方程关于的方程有两个不相等的实数根，则满足， 解得或，即方程有两个不相等的实数根的充要条件是或. 故选：A. 题型六、充要条件的证明 16．（23-24高一上·广东珠海·阶段练习）设a，b，，求证：关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 【答案】答案见解析 【分析】先证明充分性，即由，得是方程的一个根；再证必要性，由是方程的一个根，得. 【详解】证明：①充分性：即证明关于x的方程的系数满足方程有一个根为－1； 由，得， 代入方程得，得， 所以，是方程的一个根. ②必要性：即证明若是方程的根； 将代入方程，即有. 综上由①②可知，故关于x的方程有一个根为－1的充要条件是. 17．（23-24高一·江苏·假期作业）求证：方程有两个同号且不相等实根的充要条件是. 【答案】证明见解析 【分析】由，可得，且，证明充分性；令，解不等式组求出m的范围，可证明必要性. 【详解】充分性：∵， ∴方程的判别式，且， ∴方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 18．（2023高三·全国·专题练习）设，若不等式恒成立，求a，b，c应满足的充要条件． 【答案】充要条件是，， 【分析】根据充要条件定义结合构造数列证明即可. 【详解】构造数列，，；，，， 由Abel求和公式则有． 注意到，，， 若，，，则必有成立． 反之，若不等式成立． （1）取，得； （2）取，得； （3）取得． 综上可知a，b，c应满足的充要条件是，，． 题型七：充分条件与必要条件综合 19．（23-24高一下·陕西榆林）已知：实数满足集合，：实数满足集合或． (1)若，求； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用并集概念及运算即可得到结果； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，列出条件即可求解. 【详解】（1）因为，所以，又或， 所以或； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，所以或， 所以或． 20．（23-24高一上·江苏连云港·期末）已知集合，，全集 (1)当时，求 (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据交集定义直接求解即可； （2）根据必要条件定义可得，由包含关系可构造不等式组求得结果. 【详解】（1）当时，，. （2）“”是“”的必要条件，， 又，，解得：，即实数的取值范围为. 21．（23-24高一上·云南德宏·期末）设集合，集合或． (1)当时，求，； (2)设命题，命题，若p是q的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【分析】（1）根据交集、并集的知识求得正确答案. （2）根据充分不必要条件列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】（1）当时，； 所以，或． （2）若是的充分不必要条件，则是的真子集； ∴或，解得：或， 所以，实数的取值范围是． 【专项训练】 一、单选题 22．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知，集合，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】先由求出，然后利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可. 【详解】若，则，或，所以，或. 当时，，不满足集合中元素的互异性，故； 当时，， 故由，可得； 反之，当时，显然也成立. 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 23．（23-24高二下·天津北辰·阶段练习）已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则，即充分性成立； 若，例如，可得，满足题意， 但，即必要性不成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 24．（23-24高一下·云南·阶段练习）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由充分必要条件的定义判断. 【详解】若，即，则，或， 所以“”不是“”的充分条件； 若，则，所以， 所以“”是“”的必要条件， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 25．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案. 【详解】由题意知一元二次方程的两根为， 要使得方程有一个正实根和一个负实根，需， 结合选项知，只有， 即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是， 故选：C 26．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知：，：方程有实数根，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由方程有实数根，则满足，解得， 所以是方程有实数根的充分不必要条件， 即是的充分不必要条件. 故选：A. 27．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）集合，，若的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据充分条件的定义可得，结合集合间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为“”的充分条件是“”， 所以，即， 解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 28．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的范围，再根据充分不必要条件的概念得答案即可. 【详解】由方程有两个不等实数根可得， 解得， 观察选项可得“方程有两个不等实数根”的一个充分不必要条件是， 故选：C. 29．（23-24高一上·北京海淀·期中）若，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】化简得或，即可根据充分不必要条件的定义求解. 【详解】由可得， 所以或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 二、多选题 30．（23-24高一上·陕西渭南·期末）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C． D．1 【答案】AD 【分析】根据必要不充分条件列不等式，由此求得正确答案. 【详解】若“或”是“”的必要不充分条件， 则或，解得或， 所以AD选项符合，BC选项不符合. 故选：AD 31．（23-24高一上·浙江杭州·阶段练习）已知p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，则（    ） A．p是q的充分条件 B．p是s的必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．s是q的充要条件 【答案】AD 【分析】根据题意，结合间的推出关系，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由p，q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件， 可得， 对于A中，由，所以是的充分条件，所以A正确； 对于B中，由，所以是的充分条件，所以B不正确； 对于C中，由，所以是的充要条件，所以C不正确； 对于D中，由，所以是的充要条件，所以D正确. 故选：AD. 32．（23-24高一上·江苏无锡·期中）下列说法正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．是的必要不充分条件 C．若a，b，，则“”的充要条件是“” D．若a，，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可得解． 【详解】当时，有，也有，因此不能得出， 反之当时，，但，即由也不能得出， 所以两者既不充分也不必要，故A错误； 当时，，但， 当时，，故B正确； 当时，，从而， 反之，时，若，则， 所以两者不是充要条件，故C错误； 且，D正确， 故选：BD． 33．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）下面命题为真命题的是（    ） A．设a，，则“”是“”的必要不充分条件 B．“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件 C．“”是“”的充分不必要条件 D．“”是“为单元素集”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合各选项的条件逐一分析判断即可. 【详解】对于A，当，时，；由，则且， 因此“”是“”的必要不充分条件，A正确； 对于B，当时，方程，， 则方程有两个不相等的实根，显然， 即方程有一正根一负根； 当方程有一正根一负根，则， 因此“”是“二次方程有一正根一负根”的充要条件，B正确； 对于C，当时，成立，因此“”不是“”的充分条件，C错误； 对于D，当时，方程为，解得，即，满足充分性， 而当时，方程为，解得，不满足必要性，D正确. 故选：ABD 34．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）“集合只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合A中只有2个元素，求的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件. 【详解】集合只有3个真子集，即集合A中只有2个元素， 因为，则有： 当时，； 当时，； 当时，； 则的取值范围为， 由，，， 可知选项ABD中的范围符合充分不必要条件； 又因为与之间没有包含关系，可知是的既不充分也不必要条件； 故选：ABD. 三、填空题 35．（23-24高一上·青海西宁·期末）已知，，则是的 ．（选“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“即不充分也不必要条件”之一填空） 【答案】必要不充分条件 【分析】由必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】由题意，，所以是的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 36．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知：是：的充分不必要条件，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合充分、必要条件分析求解. 【详解】由题意可知：是的真子集， 可得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 37．（23-24高一上·全国·单元测试）已知,(为实数)．若的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由充分不必要条件的概念转化为集合真子集的关系求解参数的取值范围即可. 【详解】由已知得，. 设,， 若是的充分不必要条件，则，， 所以集合是集合的真子集. 所以． 故答案为：. 38．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知且的充分不必要条件是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由充分不必要条件的定义,知是的真子集,分情况讨论即可. 【详解】由题意知当时, 当时， 则的取值范围是 故答案为： 四、解答题 39．（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再求出，最后由交集的运算求出； （2）先求出，再求出，再由充分不必要条件构造关于的方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 40．（23-24高一下·河北衡水·开学考试）已知集合. (1)若，求； (2)若“”是“”成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据集合的并集运算直接得结果； （2）根据必要条件可得集合的关系，对集合分类讨论即可得结论. 【详解】（1）因为当时，， 所以. （2）因为“”是“”成立的必要条件，所以， 当时，，，满足； 当时，， 因为，所以解得； 综上，实数的取值范围为或. 41．（23-24高一上·江西萍乡·期末）已知，集合，． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知求得集合，，由交集运算即可得出结果. （2）根据已知条件得集合A是集合B的真子集，讨论，两种情况，求解即可. 【详解】（1）当时，集合，可得或， 所以； （2）由题知，集合A是集合B的真子集， 当时，，即，符合题意， 当时，则，即，且满足，两式不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为． 42．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知，. (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，求出集合，利用集合的并集运算从而可求解. （2）由题意可知集合是集合的真子集，再分类讨论，从而可求解. 【详解】（1）由题意知，当，得， 因为，所以. （2）由“”是“”的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 当时，即，解得； 当时，即，解得 综上实数的取值范围为. 43．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知集合，，. (1)求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用并集概念求解，先求出，然后再求解即可； （2）根据题意知集合是集合的真子集，分和讨论求解即可. 【详解】（1）因为集合，，所以； 又或，则. （2）因为是的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集， 当时，，解得，满足题意； 当时，由题意或，所以； 综上所述：的取值范围为. 44．（23-24高一上·辽宁葫芦岛·期末）已知集合，集合，集合，且． (1)求实数a的值组成的集合； (2)若，是的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，然后根据得到，由此分析集合并求解出的值，则结果可知； （2）先求解出，然后将问题转化为“是C的真子集”，由此列出关于的不等式，则结果可求. 【详解】（1）因为， 由，知，则或或， 当时，所以， 当时，所以， 当时，所以， 所以的取值集合为． （2）由题意得，，故， 又是的充分不必要条件， 所以是的真子集，于是， 解得：，经检验符合条件， 综上，实数m的取值范围是． 17 学科网（北京）股份有限公司 $$