13.3.1 等腰三角形 教学课件 -2023--2024学年人教版八年级数学上册

13.3.1等腰三角形 第十三章——轴对称 探索等腰三角形的轴对称性； 理解并掌握等腰三角形的性质和判定方法； 01 02 学习目标 能用尺规作图：已知底边及底边上的高作等腰三角形. 03 2 复习旧知 回顾之前所学的知识，将三角形按照边的相等关系进行分类： 三角形 三边都不相等的三角形 等腰三角形 底和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 今天我们主要学习其中的等腰三角形 引入新知 等腰三角形 腰 腰 底边 底角 顶角 什么叫等腰三角形，等腰三角形具有哪些因素？ 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 【思考】等腰三角形具有什么性质呢？ 【探究】如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到△ABC 有什么特点？ 剪刀剪过的两条边是相等的，即△ABC 中AB=AC，所以△ABC是等腰三角形 △ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角， 由这些重合的线段和角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 重合的线段 重合的角 　 AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC A B D C 沿折痕重合 【猜想1】等腰三角形的两个底角相等 A B D C 【猜想2】等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 在纸上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面的猜想仍然成立吗？ 下面我们尝试利用三角形的全等证明这些性质 A B C D 已知：如图，△ABC 中，AB=AC，求证：∠B=∠C 作底边 BC 的中线 AD AB = AC BD = CD AD = AD ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴∠B =∠C . 在 △BAD 和 △CAD 中， 你还能利用其他方法证明等腰三角形的该性质吗？ A B C D 已知：如图，△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C 作底边上的高线. 方法二： 在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中， AB＝AC AD＝AD ∵ AD⊥BC， ∴∠B＝∠C. ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. A B C D 已知：如图，△ABC 中，AB=AC,求证：∠B=∠C 在 △ABD 与 △ACD 中， AB＝AC ∠BAD＝∠CAD， AD＝AD ∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线， 作顶角的角平分线 AD. ∴∠B＝∠C. ∴ △ABD≌△ACD (SAS). ∴∠BAD＝∠CAD. 方法三： 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）. 几何语言： ∵ △ABC 是等腰三角形， ∴ ∠B=∠C (等角对等边). A B C 在上述不同方法的证明过程中，由三角形顶角作的底边上的中线、高线、顶角角平分线有什么特点？ A B C D A B C D A B C D 完全重合 尝试证明猜想二，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合. 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证 AD⊥BC，DA 平分∠BAC. 证明：∵AB = AC，BD = DC， ∴∠ADB =∠ADC =90°即AD⊥BC. ∵∠ADB +∠ADC = 180°， ∴ ∠BAD =∠CAD，∠ADB=∠ADC. ∴△BAD≌△CAD (SSS). ∴在△ABD 和△ADC 中， AB＝AC ， AD＝AD ， BD = DC . ∴底边 BC 的中线也是∠A 的平分线和底边上的高. 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”） 【注意】腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 几何语言： (1)∵△ABC是等腰三角形，BD = CD (已知) ∴______________，________ (等腰三角形的“三线合一”) (2)∵△ABC是等腰三角形，∠BAD＝∠CAD (已知) ∴_________，AD⊥BC，_________________________ (3)∵△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC ∴BD = CD，______________(等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD AD⊥BC BD = CD (等腰三角形的“三线合一”) ∠BAD =∠CAD 例题练习 A B C D 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 解：∵ AB = AC，BD = BC = AD， ∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 解得 x = 36°. 于是在△ABC 中，有∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 设∠A = x，则∠BDC = ∠A+ ∠ABD = 2x， 从而∠ABC = ∠C = ∠BDC =2x， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD.（等边对等角） 【探究】如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等.反之，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系呢？ 相等？ 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C.求证：AB = AC. 分析： 构造两个全等三角形 证明边相等 作∠BAC 的 角平分线 作BC边上的高 添加“BC边上的中线 ” 这条辅助线可以吗？ SSA(╳) AAS(√) AAS(√) 在△ABD和△ACD中， ∠1=∠2， ∴ △ABD≌△ACD（AAS）. ∠B=∠C， AD=AD， ∴AB=AC. 证明：过点A作AD平分∠BAC交BC于点D. ∴∠1=∠2， 方法一 D 1 2 在△ABE和△ACE中 ， ∴∠AEB=∠AEC = 90°， 证明：过点A作AE⊥BC交BC于点E. ∠AEB=∠AEC， ∠B=∠C， AE=AE， ∴ △ABE≌△ACE（AAS）. ∴AB=AC. 方法二 E 由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？ 等腰三角形的判定：如果有一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. （简写成“等角对等边”） 几何语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴AB=AC. (等角对等边) 即△ABC为等腰三角形. 例题练习 A B C E （ （ 1 2 D 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. 分析： 证明 AB = AC 先证明 ∠B = ∠C 利用∠1 =∠2，AD∥BC 例题练习 已知：如图，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC. 求证：AB = AC. ∴ AB = AC(__________)． ∴∠1 =∠B (_______________________)， ∠2 =∠C (_______________________)． 证明：∵ AD∥BC， 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 等角对等边 ∴∠B =∠C， 又∵∠1 =∠2， A B C E （ （ 1 2 D 例题练习 已知等腰三角形底边长为 a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形. (4) 连接 AC，BC，则△ABC 即为所求. (3) 在 MN 上取一点 C，使 DC = h； (2) 作线段 AB 的垂直平分线 MN， 交 AB 于点 D； 作法： (1) 作线段 AB = a； D A 等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角等.(简写成“等边对等角”). 等腰三角形的性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称 “三线合一”） 等腰三角形的判定：如果有一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等. (简写成“等角对等边”) 等腰三角形 小结 谢谢观看 解析：∵ ，∴ 是等腰三角形， ∵ ，∴ ， 故工人师傅这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：D. 练习1如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中 ，工人师 傅在焊接立柱时，只用找到 的中点D，就可以说明竖梁 垂直 于横梁 了，工人师傅这种操作方法的依据是( ) A.等边对等角 B.等角对等边 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 解析：∵ ， ∴∠C=∠B=70°， ∴∠A=180°-∠B-∠C=40°， 故选：A. 练习2如图， 中， ，则 的度数是( ) A. B. C. D. 证明：∵ ， ∴ （AAS）， ∴ ， ∴ . 练习3如图，已知 ， ， 与 相交于点 ， 求证： . 练习4如图,已知 , 与 交于O, . 求证： 是等腰三角形. 证明：∵ , ∴在 和 中, , , , , 即 是等腰三角形. 证明：∵ 中， ， 是 边上的中线， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∵点 在 上， ∴ . 练习5如图， 中， ， 是 边上的中线，点 在 上，求证 . 练习6在 中, , ,D为 上一点, . (1)求 的度数. (2)证明 . 解：(1) , , , , , (2)证明：, , , , , . $$