专题1.3 空间角的向量求法（特色专题卷）-2024-2025学年高二数学特色专题卷（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1.3 空间角的向量求法 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·全国·期末）如图，在长方体中，；是下底面矩形的中心，设异面直线与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二下·四川成都·阶段练习）如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，，分别为，的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，与矩形所在平面垂直，，，球O的表面积为，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B．3 C． D．2 5．（2024高二上·河南信阳·期末）已知正三棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，则直线与侧面所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二上·河北沧州·期中）如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二上·湖南·期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024高二上·广西河池·阶段练习）正四面体中，，点是棱上的动点，设直线与平面所成角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面ABCD，，下列说法正确的是（    ） A．PB与CD所成的角是60° B．平面PCD与平面PAB所成的锐二面角余弦值是 C．PB与平面PCD所成的角的正弦值是 D．点A到平面PCD的距离为 10．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，点，，，，分别为，，，，的中点，则（    ）    A．直线与平面垂直 B．直线与的夹角为 C．点，，，，共面 D．直线与平面所成的角为 11．（2024高二上·重庆开州·阶段练习）在正三棱柱中，所有棱长均为1，又BC1与B1C交于点O，则下列结论正确的有（    ） A． B．AO⊥B1C C．AO与平面BCC1B1所成的角为 D．BC1与侧面所成的角的正弦值为 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·全国·课后作业）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平面夹角的余弦值为 .    13．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . 14．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于 ． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高三上·北京·开学考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，，对角面是矩形，且平面平面.      (1)证明：侧棱平面： (2)设，若，求二面角的余弦值. 16．（23-24高二上·北京房山·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成的角的余弦值. 17．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，D为线段PA的中点，，． (1)证明：； (2)若，平面平面ABC，求平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值． 18．（2024高二上·江西新余·阶段练习）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为圆的直径，点E，F在圆上，AB//EF，矩形ABCD和圆所在的平面互相垂直，已知． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为60°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 空间角的向量求法 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高二上·全国·期末）如图，在长方体中，；是下底面矩形的中心，设异面直线与所成的角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标及向量坐标，利用空间向量数量积求得异面直线所成的角的余弦值，从而求得，然后利用二倍角公式求得结果. 【详解】解：以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系得，； ， 又因， 则， 得， 所以. 故选：C. 2．（2024高二下·四川成都·阶段练习）如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法求异面直线夹角. 【详解】不妨设， 如图建立空间直角坐标系， 则相关各点坐标为，，，， 又，分别是和的中点， 则，． 所以，， 所以，， 因为异面直线所成的角为锐角或直角， 所以异面直线与所成角的余弦值为， 故选：B. 3．（2024高二·全国·课后作业）在正方体中，，分别为，的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求线面角即可. 【详解】设正方体的棱长为，以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则，令，则， 设与平面所成的角为，则， 即与平面所成的角的正弦值为. 故选：B 【点睛】本题主要考查向量法求线面角，同时考查学生的计算能力，属于简单题. 4．（2024高三上·贵州黔东南·阶段练习）四棱锥的每个顶点都在球O的球面上，与矩形所在平面垂直，，，球O的表面积为，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【解析】根据外接球面积可求得，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法可求出. 【详解】设球的半径为，则，解得， 由题可得两两垂直，则该球等价于以为棱的长方体的外接球， ，解得， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， ，，. 故选：A. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 5．（2024高二上·河南信阳·期末）已知正三棱柱的侧棱长为3，底面边长为2，则直线与侧面所成角的正弦值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1取的中点D，连接AD，，根据线面的位置关系得到为直线与侧面所成角，然后在三角形中求解；解法2建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法进行求解. 【详解】解法1：如图，取的中点D，连接AD，，则由正三棱柱的性质可知平面，∴为直线与侧面所成角，在中，，故选A. 解法2：取的中点，连接，则由正三棱柱的性质可知平面.设AC的中点为D，分别以，，所在的直线为x，y，z轴建立空间坐标系，则，，平面的法向量，又， 设与平面所成角为，则. 故选：A. 6．（2024高二上·河北沧州·期中）如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果. 【详解】以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 设，得、、、， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以，平面的一个法向量为， 从而， 故直线与平面所成角的余弦值是. 故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 7．（2024高二上·湖南·期末）在长方体中，，，O是AC的中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围，由此求得，即可得解. 【详解】以D为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 则，，，，， 设，则， 设平面的法向量为 则，令，得 所以， 由于，，， ，，， 由于，所以 故选：D 8．（2024高二上·广西河池·阶段练习）正四面体中，，点是棱上的动点，设直线与平面所成角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，写出相关的点的坐标，写出线面角的表达式，对参数分析讨论即可. 【详解】取中点，连接， 设的棱长为2， 在底面内的投影为的中心，， 以为坐标原点，正方向为轴，作的平行线作为轴， 可建立如图所示空间直角坐标系，    则， ， 因为平面的一个法向量， 设， ， 即， ， ； 当时，； 当时，， 设，则， 当时，， ， ； 综上所述：的最小值为． 故选：B． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024高二上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，，平面ABCD，，下列说法正确的是（    ） A．PB与CD所成的角是60° B．平面PCD与平面PAB所成的锐二面角余弦值是 C．PB与平面PCD所成的角的正弦值是 D．点A到平面PCD的距离为 【答案】AC 【分析】以为轴建立空间直角坐标系，如图，由空间向量法求线线夹角，二面角，线面角，点面距，从而各选项． 【详解】由已知，以为轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，， ，，， ，， ，， 所以，所以的夹角是，A正确； 设平面的一个法向量是， 由，取，则，，即， 显然平面的一个法向量是， ， 平面PCD与平面PAB所成的锐二面角余弦值是，B错； ， 所以PB与平面PCD所成的角的正弦值是，C正确； ， ，D错． 故选：AC． 10．（2024·全国·模拟预测）在正方体中，点，，，，分别为，，，，的中点，则（    ）    A．直线与平面垂直 B．直线与的夹角为 C．点，，，，共面 D．直线与平面所成的角为 【答案】AC 【分析】以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断即可得答案. 【详解】如图，以点为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系． 令，则，，，，，，，． 对于A，，，，则，，所以，． 又，，，，平面， 所以直线平面，A正确． 对于B，连接． 因为，分别为，的中点，所以， 则即为直线与的夹角．而， 显然，B错误． 对于C，，即．而，则． 取点，连接，，则，， 所以，，三点共线，，，三点共线，所以， 所以平面，则，，，，五点共面，C正确． 对于D，，，． 设平面的法向量为．由， 令1，得，，则． 设直线与平面所成的角为， 则，显然，D错误． 故选：AC．    11．（2024高二上·重庆开州·阶段练习）在正三棱柱中，所有棱长均为1，又BC1与B1C交于点O，则下列结论正确的有（    ） A． B．AO⊥B1C C．AO与平面BCC1B1所成的角为 D．BC1与侧面所成的角的正弦值为 【答案】ACD 【分析】A. 利用空间向量的加法，减法和数乘运算求解判断； B. 建立空间直角坐标系，判断是否为零；C. 利用线面角的空间向量法求解判断；D. 利用线面角的空间向量法求解判断； 【详解】建立如图所示空间直角坐标系： A. ， ，故正确； B. 则，所以 ， 所以，所以AO与B1C不垂直，故错误； C. 易知平面BCC1B1所的一个法向量 ， 设AO与平面BCC1B1所成的角为， 则， 因为，所以 ，故正确； D. 则，所以， 设侧面的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 设AO与平面BCC1B1所成的角为， 则，故正确； 故选：ACD 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高二上·全国·课后作业）已知菱形中，，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面，则平面与平面夹角的余弦值为 .    【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，根据二面角余弦值的空间向量求解方法进行计算即可. 【详解】设菱形的边长为1，取的中点，连接，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以.    如图，建立空间直角坐标系，则，，， 所以，. 设平面的一个法向量为，则， 令，则，同理，平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 13．（23-24高二上·浙江绍兴·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则有，可取， 设平面的法向量为， 则有，可取， 则， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 故答案为：. 14．（2024高二上·陕西西安·阶段练习）在直三棱柱中,,且,,,点在棱上,且三棱锥的体积为,则直线与平面所成角的正弦值等于 ． 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系,根据三棱锥的体积求出点的位置,进而求出各个点的坐标,求出平面的法向量,再求出夹角的余弦值的绝对值,即线与面夹角的正弦值. 【详解】解:由题知直三棱柱中,, 所以以为原点,方向为轴,方向为轴, 方向为轴,建立如图所示空间直角坐标系: ,,, 又有三棱锥的体积为4, 即, , , 记平面法向量为, 则,即, 令可得, , 故直线与平面所成角的正弦值等于. 故答案为:. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（23-24高三上·北京·开学考试）如图，四棱柱中，底面是菱形，，对角面是矩形，且平面平面.      (1)证明：侧棱平面： (2)设，若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质来进行证明即可； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）四边形是矩形，， 又平面平面，平面平面，平面， 平面. （2）四边形为菱形，， 以为坐标原点，正方向为轴，平行于的直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    设，则，，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 平面轴，平面的一个法向量， ， 二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 16．（23-24高二上·北京房山·期末）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，为的中点. (1)求证：； (2)求平面与平面所成的角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成的角的余弦值. 【详解】（1）证明：平面，平面，则， 因为四边形为矩形，则， ，平面， 平面，故. （2）解：平面，，点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，，， 设平面的法向量为， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为，， 因此，平面与平面所成的角的余弦值为. 17．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥中，D为线段PA的中点，，． (1)证明：； (2)若，平面平面ABC，求平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）欲证，需证垂直直线所在的一个平面，取AC的中点O，连接DO，BO，可证与、垂直，得到线面垂直，可得线线垂直. （2）根据题意，可以为原点，建立空间直角坐标系，明确点的坐标，求平面的法向量，利用空间向量法即可求二面角的余弦值. 【详解】（1）在中，因为D为线段PA的中点，且， 则为直角三角形，且． 取AC的中点O，连接DO，BO，如图： 则，所以． 因为，所以． 因为，BO，平面BOD， 所以平面BOD． 因为平面BOD，所以． （2）因为平面平面ABC，平面平面，，平面PAC， 所以平面ABC， 则以O为坐标原点，分别以OB，OC，OD所在直线为x轴、y轴、之轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面PBC的法向量为， 则， 取，则． 设平面DBC的法向量为， 则， 取，则， 所以， 即平面PBC与平面DBC的夹角的余弦值为． 18．（2024高二上·江西新余·阶段练习）如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在长方体中，由平面，证得，再由，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，则，证得平面，得到平面平面的一个法向量为，再求得平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：在长方体中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面. （2）解：以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 因为平面，且平面，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 则， 因为平面，平面，所以, 又因为，且，平面，所以平面， 所以取平面的一个法向量为， 设平面的法向量， 因为，则 ， 取，可得，所以， 则， 由图象可得，二面角为锐二面角， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19．（2024·辽宁·模拟预测）如图，为圆的直径，点E，F在圆上，AB//EF，矩形ABCD和圆所在的平面互相垂直，已知． （1）求证：平面平面； （2）当的长为何值时，二面角的大小为60°． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据面面垂直性质定理得平面，即得，再根据圆性质得，根据线面垂直判定定理得平面，，最后根据面面垂直判定定理得结论. （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组求平面DCF的法向量，由（1）可知平面,取平面的一个法向量为，根据向量数量积求向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系建立方程，求出的长 【详解】解：（1）：平面平面， 平面平面，所以平面 因为平面 所以 又因为为圆的直径，所以， 所以平面 因为平面 所以平面平面 （2）设的中点分别为，以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图），设， 则点D的坐标为， 设平面DCF的法向量为)，则， 即 取，则， 由（1）可知平面， 取平面的一个法向量为 ， 解得 所以线段 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$