高一数学下学期期末押题卷01-2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第二册）

2023-2024学年高一数学下学期期末押题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·湖南长沙·月考）若复数是纯虚数，则实数a=（    ） A． B． C． D．6 2．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D． 3．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知平面向量，则 在 上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·湖北·月考）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（22-23高一下·山东滨州·期末）假设，，且A与相互独立，则（    ） A．0.9 B．0.75 C．0.88 D．0.84 6．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（    ） A．300 B．322 C．346 D．360 7．（23-24高一下·广东广州·月考）从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少1个白球，都是红球 B．至少个白球，至少个红球 C．至少1个白球，至多个白球 D．恰好个白球，恰好个红球 8．（23-24高一下·辽宁·月考）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·安徽亳州·月考）已知一组数据，，，，由生成一组新数据，，，，则（    ） A．新数据的平均数一定比原数据的平均数小 B．新数据的中位数一定比原数据的中位数小 C．新数据的标准差一定比原数据的标准差小 D．新数据的极差一定比原数据的极差小 10．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知，是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 11．（23-24高一下·海南·月考）“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 共可截去八个三棱锥， 得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体. 已知， 则下列说法正确的是（   ） A．该半正多面体的顶点数V，棱数E，面数F，那么； B．该半正多面体的体积为； C．直线AB与直线BC所成的角为60°. D．该半正多面体外接球的表面积为18π； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 13．（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 ． 14．（23-24高一下·广东广州·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·黑龙江大庆·月考）已知平面向量其中. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若向量，若与垂直，求. 16．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小： (2)若，求的面积． 17．（23-24高一下·广东清远·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 18．（23-24高一下·江苏苏州·月考）如图，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M是CD的中点. (1)在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l； (2)求证：； (3)当时，求PC与平面ABCD所成角的正切值. 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年高一数学下学期期末押题卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高一下·湖南长沙·月考）若复数是纯虚数，则实数a=（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【解析】因为，且为纯虚数， 所以，解得，经检验符合题意故选：. 2．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，已知，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】由正弦定理可得， 所以，又，且，所以或，故选：C. 3．（23-24高一下·广西柳州·月考）已知平面向量，则 在 上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以在上的投影向量为，故选：C 4．（23-24高一下·湖北·月考）对于两条不同直线m，n和两个不同平面，以下结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，则或或相交，故C错误； 对于D，若，则或，故D错误.故选：A. 5．（22-23高一下·山东滨州·期末）假设，，且A与相互独立，则（    ） A．0.9 B．0.75 C．0.88 D．0.84 【答案】C 【解析】由题意，，且A与相互独立，则, 故，故选：C 6．（23-24高一下·重庆荣昌·月考）黔江中学现有高一学生1236人，高二学生1296人，高三学生1332人，现准备采用比例分配的分层随机抽样的方法调查学生的饮食情况，从每个年级抽取一定人数的学生，其中在高二年级需抽取108人，则全校一共需要抽取的人数为（    ） A．300 B．322 C．346 D．360 【答案】B 【解析】全校一共需要抽取的人数为 人．故选：B. 7．（23-24高一下·广东广州·月考）从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（   ） A．至少1个白球，都是红球 B．至少个白球，至少个红球 C．至少1个白球，至多个白球 D．恰好个白球，恰好个红球 【答案】D 【解析】从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球， 对于A中，至少1个白球，都是红球是对立事件，所以A错误； 对于B中，至少个白球，至少个红球能同时发生，不是互斥事件，所以B错误； 对于C中，至少1个白球，至多个白球能同时发生，不是互斥事件，所以C错误； 对于D中，恰好个白球，恰好个红球不能同时发生，是互斥事件， 且这两个事件可能都不发生，故不是对立事件，所以D正确.故选：D. 8．（23-24高一下·辽宁·月考）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以为原点，六边形的左、右顶点所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系， 则圆的方程为，当在轴下方，且位于正六边形与轴平行的边上时， 的纵坐标为，可得，其中， 设，则，． 可得，， 所以， 结合，当时，有最小值， 当时，有最大值，可知， 根据图形的对称性，可知：当在正六边形其它的边上时，也成立. 综上所述，的取值范围为.故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·安徽亳州·月考）已知一组数据，，，，由生成一组新数据，，，，则（    ） A．新数据的平均数一定比原数据的平均数小 B．新数据的中位数一定比原数据的中位数小 C．新数据的标准差一定比原数据的标准差小 D．新数据的极差一定比原数据的极差小 【答案】CD 【解析】对于A，设的平均数为，即， 则新数据，，…，的平均数为，故， 当时，，故A错误， 对于B，设的中位数为，由于单调递增， 则新数据，，…，的中位数为，当时，，故B错误； 对于C，设的标准差为，则， 故新数据，，…，的平均数， 故新数据的方差为， 故新数据的标准差为， 由于，故，故新数据的标准差一定比原数据的标准差小，C正确； 对于D，设的极差为，由于单调递增， 故新数据极差为，由于，故新数据的极差比原数据的小，D正确.故选：CD 10．（23-24高一下·河南南阳·月考）已知，是两个不同的非零复数，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】ABD 【解析】设，（，且不同时为0，不同时为0）， 对于A，则，，， 由得， 则，故A正确； 对于B，由，得，，，故B正确； 对于C，当，时，满足，此时，且，则C错误； 对于D，由，得，则，即，故D正确.故选：ABD. 11．（23-24高一下·海南·月考）“阿基米德多面体”又称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥， 共可截去八个三棱锥， 得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体. 已知， 则下列说法正确的是（   ） A．该半正多面体的顶点数V，棱数E，面数F，那么； B．该半正多面体的体积为； C．直线AB与直线BC所成的角为60°. D．该半正多面体外接球的表面积为18π； 【答案】BCD 【解析】A选项，该半正多面体的顶点数，棱数，面数， 那么，A错误； B选项，因为，所以，， 该半正多面体是由棱长为3的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的， 所以该几何体的体积为，B正确； C选项，由平行关系和棱长可得六边形为正六边形， 故，直线AB与直线BC所成的角为60°，C正确； D选项，由几何性质可得，正四棱柱的外接球即为该几何体的外接球， 其中，， 故正四棱柱的外接球半径为， 该半正多面体外接球的表面积为，D正确.故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高一下·江苏南京·期末）一只不透明的口袋中装有形状、大小都相同的6个小球，其中2个白球，1个红球和3个黄球，从中1次随机摸出2个球，则恰有一球是黄球的概率是 ． 【答案】/0.6 【解析】根据题意，设2个白球的编号为，1个红球的编号为c，3个黄球编号为， 从中1次随机摸出2个球，共有： ， 共15种基本事件，其中满足恰有一球是黄球的基本事件有9种， 故所求概率．     故恰有一球是黄球的概率为：． 故答案为：． 13．（23-24高一下·辽宁大连·期中）如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为 ． 【答案】 【解析】根据题意，由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图， 由斜二测法则知，， 所以， 故答案为： 14．（23-24高一下·广东广州·期中）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若为锐角三角形，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】在中，由及正弦定理得， 即 而，则，而是锐角三角形，则， 于是或， 当时，，则与矛盾， 即有，则，解得， 此时，解得，， . 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高一下·黑龙江大庆·月考）已知平面向量其中. (1)若，且，求向量的坐标； (2)若向量，若与垂直，求. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）设，因为，且，， 所以，解得或，所以或； （2）因为， 所以， 因为与垂直，所以， 即，解得（舍去）或，所以， 所以，所以. 16．（23-24高一下·四川成都·期中）已知的内角为A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小： (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 由正弦定理得，即， 得，即， 又，所以，即， 又，所以； （2）由，得， 由余弦定理得，得， 所以， 又，所以. 由（1）知，， 由余弦定理得， 又，所以，由，解得， 所以，故. 17．（23-24高一下·广东清远·月考）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1)0.030；(2)84；(3)平均数为62；方差为23 【解析】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，，解得. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数， 由，解得， 所以第75百分位数为84； （3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为，所以； 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 18．（23-24高一下·江苏苏州·月考）如图，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M是CD的中点. (1)在图中作出并指明平面PAM和平面PBC的交线l； (2)求证：； (3)当时，求PC与平面ABCD所成角的正切值. 【答案】(1)图象见解析；(2)证明见解析；(3). 【解析】（1）如图，延长AM与BC交于点Q，连接PQ，直线PQ即为所求交线l． 平面，，则平面，同理平面， 而平面，同理平面，因此平面平面， 所以直线即为所求直线. （2）由四边形ABCD是正方形，得， 又平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，则平面PAB， 又平面PAB，所以. （3）在平面PAB内过点P作于点H，连接CH，如图， 由平面平面ABCD，平面平面，得平面ABCD， 则即为PC与平面ABCD所成的角， 在中，，，，所以，， 从而，，在中，，因此， 所以PC与平面ABCD所成角的正切值为． 19．（23-24高一下·安徽合肥·期中）现定义“维形态复数”：，其中为虚数单位，，. (1)当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； (2)若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； (3)若正整数，，满足，，证明：存在有理数，使得. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【解析】（1）当时, , 则，. 因为， 故“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系. （2）因为“2维形态复数”与“3维形态复数”相等,所以, 因此， 解，得或, 解，得或, 由于两个方程同时成立,故只能有,即. 所以. （3）由，得， 由(2)同理可得，即. 因为,所以. 因为,由(1)知,所以. 由(2)同理可得,即. 因为,所以，所以, 又因为,所以,所以, 即， 所以存在有理数,使得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$