专题拓展：分段函数常见考法（技巧解密+8考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

专题拓展：分段函数常见考法 一、分段函数 1、分段函数的定义 函数与函数是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式． 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． 2、对分段函数的理解 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 3、分段函数常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2）． （3）含绝对值符号的函数．如． （4）自定义函数．如 二、有关分段函数的求解问题 1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。重要的是分段函数虽由几部分构成，但它表示的仍是一个函数． 2、作分段函数的图象时，应按分段区间分别作出其图象，在作每一段图像时，先不考虑定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”． 3、在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可．反之由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解． 4、由于分段函数在自变量的不同取值范围内有不同的对应关系，因此我们在解决有关分段函数的问题时，要讨论自变量的取值，确定自变量的取值属于哪一个区间范围，从而选择相应的对应关系． 5、分段函数解析式的求法：在定义域的不同段内，分别求其解析式，做到不重不漏，然后写成统一的分段解析式形式，注意要标明每段中自变量的取值范围． 考点一：分段函数求函数值 例1．（23-24高一上·河南南阳·月考）已知函数，则等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【变式1-1】（23-24高一上·辽宁阜新·月考）函数，则的值为(   ) A．-2 B．2 C．4 D．-4 【变式1-2】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 【变式1-3】（23-24高一上·重庆·月考）设函数，则 ． 考点二：已知函数值求参数 例2.（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【变式2-1】（23-24高一上·河南·月考）设，若，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 【变式2-2】（23-24高一上·上海·月考）函数，若，则实数的值为 . 【变式2-3】（23-24高一上·河南郑州·月考）已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 考点三：分段函数的单调性 例3. （23-24高一上·江苏淮安·期中）下列函数中与函数在区间上单调性不一致的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·黑龙江大庆·月考）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四：分段函数的奇偶性 例4.（23-24高一上·贵州·月考）设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·天津·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【变式4-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则等于 . 考点五：分段函数的值域 例5.（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，则的最大值是（    ） A．60 B．58 C．56 D．52 【变式5-1】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点六：解分段函数不等式 例6.（23-24高一上·山西朔州·月考）已知函数,若，则的取值范围是 . 【变式6-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）函数，若关于的不等式的解集 . 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一上·山东·月考）已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点七：分段函数的图象 例7.（23-24高一上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数． (1)在给定的坐标系中，作出函数的图象； (2)若，求m的值. 【变式7-2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 【变式7-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 考点八：max/min型分段函数 例8.（23-24高一下·浙江·月考）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【变式8-1】（23-24高一上·广东惠州·月考）记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【变式8-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-3】（23-24高一上·浙江温州·月考）给定函数，对，用表示的较大者，记为.例如，当时，. (1)用分段函数表示； (2)求不等式的解集. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数则（    ） A．5 B． C． D．2 2．（23-24高一下·云南·月考）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高一下·湖北恩施·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 二、多选题 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 三、填空题 9．（23-24高一上·吉林延边·月考）设，则 10．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知为偶函数，则实数 ． 11．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 四、解答题 12．（23-24高一上·广西河池·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 13．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题拓展：分段函数常见考法 一、分段函数 1、分段函数的定义 函数与函数是同一函数，但在表达方式上有所区别，前者在定义域内有一个表达式，而后者的定义域被分成两部分，而在不同的部分有不同的解析式． 在函数的定义域内，对于自变量在不同取值范围内，函数有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数． 2、对分段函数的理解 （1）分段函数是一个函数而不是几个函数。处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系； （2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集； （3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集． 3、分段函数常见的几种类型 （1）取整函数：（表示不大于的最大整数）． （2）． （3）含绝对值符号的函数．如． （4）自定义函数．如 二、有关分段函数的求解问题 1、分段函数的表达式因其特点可以分解成两个或两个以上的不同表达式，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或线段，而分段函数的值域，也就是各部分的函数值集合的并集，最好的求解方法是“图象法”。重要的是分段函数虽由几部分构成，但它表示的仍是一个函数． 2、作分段函数的图象时，应按分段区间分别作出其图象，在作每一段图像时，先不考虑定义域的限制，用虚线作出其图象，再用实线保留定义域内的一段图象即可，即“分段作图”． 3、在求分段函数值时，分清所在的取值范围是关键，然后选择相应的解析式代入即可．反之由的值求，可通过图像得出所在的范围，再选择相应的解析式列方程求解． 4、由于分段函数在自变量的不同取值范围内有不同的对应关系，因此我们在解决有关分段函数的问题时，要讨论自变量的取值，确定自变量的取值属于哪一个区间范围，从而选择相应的对应关系． 5、分段函数解析式的求法：在定义域的不同段内，分别求其解析式，做到不重不漏，然后写成统一的分段解析式形式，注意要标明每段中自变量的取值范围． 考点一：分段函数求函数值 例1．（23-24高一上·河南南阳·月考）已知函数，则等于（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【解析】由解析式知：.故选：C 【变式1-1】（23-24高一上·辽宁阜新·月考）函数，则的值为(   ) A．-2 B．2 C．4 D．-4 【答案】C 【解析】因为，则； 因为，则 所以.故选：C. 【变式1-2】（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数，则 ． 【答案】 【解析】由题意知当，，则， 所以. 故答案为：. 【变式1-3】（23-24高一上·重庆·月考）设函数，则 ． 【答案】7 【解析】函数， ， 故答案为：7. 考点二：已知函数值求参数 例2.（23-24高一上·福建三明·期末）函数若，则实数的取值是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】D 【解析】当时，，解得：； 当时，，解得：； 即实数的取值是5或.故选：D. 【变式2-1】（23-24高一上·河南·月考）设，若，则（    ） A． B． C．或 D．不存在 【答案】A 【解析】函数， 由，得或或，解得，所以.故选：A 【变式2-2】（23-24高一上·上海·月考）函数，若，则实数的值为 . 【答案】1 【解析】由题意，解得，即实数的值为1. 故答案为：1. 【变式2-3】（23-24高一上·河南郑州·月考）已知实数，函数，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，， 所以，， 因为，所以，解得.故选：A. 考点三：分段函数的单调性 例3. （23-24高一上·江苏淮安·期中）下列函数中与函数在区间上单调性不一致的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，，所以函数在区间上单调递增， 对于A，由一次函数的图像可知，在上单调递增，故A不合题意； 对于B，由反比例函数的图像可知，在上单调递减，故B符合题意； 对于C，，由幂函数的图像可知，在上单调递增，故C不合题意； 对于D，由二次函数的图像可知，在上单调递增，故D不合题意；故选：B． 【变式3-1】（23-24高一上·黑龙江大庆·月考）函数的单增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】. 因为，， 所以的增区间是．故选：D 【变式3-2】（23-24高一上·北京·期中）已知,在满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，故为上的减函数， 故，故，故选：B. 【变式3-3】（22-23高一上·江苏宿迁·期末）若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数, 当时，， 当时，，函数图像的对称轴为， 函数不是单调函数，不满足题意，排除B、C； 当时，， 当时，， 函数图像的对称轴为，函数不是单调函数，排除D.故选：A． 考点四：分段函数的奇偶性 例4.（23-24高一上·贵州·月考）设函数，若是奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由函数，可得， 因为函数为奇函数，可得， 又由，即，可得.故选：A. 【变式4-1】（23-24高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】由于函数是奇函数， 故时，，则， 故，故选：B 【变式4-2】（23-24高一上·天津·期中）已知定义在上的偶函数满足：当时，，则的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【解析】因为在上的偶函数,所以， .故选：A. 【变式4-3】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知函数是定义在上的偶函数，则等于 . 【答案】 【解析】因为是定义在上的偶函数， 所以. 故答案为：. 考点五：分段函数的值域 例5.（23-24高一上·四川达州·期末）已知函数，则的最大值是（    ） A．60 B．58 C．56 D．52 【答案】C 【解析】当时，， 此时， 当时，在上单调递减， 此时， 综上所述，.故选：C. 【变式5-1】（23-24高一上·河南南阳·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】法一：因为且， 所以当时，，当时，； 当时，， 所以函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 法二：画出的草图，如图所示，由图象可知函数的最小值为，最大值为3， 故函数的值域为. 故选：D 【变式5-2】（23-24高一上·云南大理·期末）已知，，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：， 其图象，如图所示： 由图象知：函数y的值域为，故选：A 【变式5-3】（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故，故选：D. 考点六：解分段函数不等式 例6.（23-24高一上·山西朔州·月考）已知函数,若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】根据分段函数的定义可知， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为，解得； 当，不等式可化为，无解. 综上知，的取值范围为 故答案为： 【变式6-1】（22-23高一上·重庆万州·月考）函数，若关于的不等式的解集 . 【答案】 【解析】由题意得原不等式等价于或，解得或， 即关于的不等式的解集为： 故答案为： 【变式6-2】（23-24高一上·广东深圳·期中）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图： 根据函数图象，及可知： ，得或，故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·山东·月考）已知函数，则满足的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，， 则，故无解； 当时，，故无解； 当时，要使，有两种情况， 第一种情况，，即时， 此时由于函数在上单调递增， 则，解得； 第二种情况，，即时， 此时， 则，解得， 综上所述，a的取值范围是.故选：D. 考点七：分段函数的图象 例7.（23-24高一上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.下面的图象对应的函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图象可知，函数的定义域为， 因为的定义域为，所以排除C， 因为的定义域为，所以排除D， 因为当时，，所以排除A，故选：B 【变式7-1】（23-24高一上·福建福州·月考）已知函数． (1)在给定的坐标系中，作出函数的图象； (2)若，求m的值. 【答案】(1)图见解析；(2)的值为或或 【解析】（1）函数的图象，如图所示， （2）当时，， 当时，， 当时，； 综上所述：的值为或或. 【变式7-2】（23-24高一上·天津红桥·期中）已知函数. (1)求； (2)若，求； (3)画出函数的图象 【答案】(1)；(2)或；(3)图象见解析 【解析】（1）因为， 所以，则. （2）当时，由得，解得； 当时，由得，解得或（舍去）； 所以或. （3）当，即或时，， 当，即时，， 所以的图象如图， 【变式7-3】（23-24高一上·广东佛山·月考）设函数 (1)将函数写成分段函数并画出函数的图像； (2)求的值； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)，图像见解析；(2)；(3) 【解析】（1）当时，， 当时，， 所以，函数图像如图： （2）因为，所以； （3）令，则，由图像及（2）知， 故只需解，当时，，解得或（舍去）， ，解得，所以或， 由图可知当时，. 所以不等式的解集为. 考点八：max/min型分段函数 例8.（23-24高一下·浙江·月考）定义表示中的最小者，设函数，若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】令，解得或， 令，解得， 当或时，，由，可得：，所以； 当时，，由，可得：或，所以. 综上，由，可得． 故答案为： 【变式8-1】（23-24高一上·广东惠州·月考）记表示x，y，z中的最大者，设函数，则 ；若，则实数的取值范围 . 【答案】 2 【解析】解：作出函数的图象，如图所示： 由图象知：，令，解得或； 令，解得；令，解得， 由图象知：当时，或或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：2， 【变式8-2】（23-24高一上·浙江湖州·期末）已知函数，其中，若，使得关于x的不等式成立，则正实数a的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解析】由题意可知， 若，使得关于x的不等式成立， 则在上的最小值， ， 为正实数，则当时，，解得； 当时，，解得， 综上，正实数a的取值范围为或，故选：B. 【变式8-3】（23-24高一上·浙江温州·月考）给定函数，对，用表示的较大者，记为.例如，当时，. (1)用分段函数表示； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）当即时，解得， 当即时，解得或， 所以； （2）由已知可得，或，或， 解得，或，或， 所以不等式的解集为. 一、单选题 1．（23-24高一上·湖南株洲·月考）已知函数则（    ） A．5 B． C． D．2 【答案】B 【解析】由可得：，故选：B. 2．（23-24高一下·云南·月考）已知函数，若，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】由已知得： 当时，，解得：，或（舍）， 当时，，解得：， 综上：的值为或,故选：C. 3．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是上的增函数， 则，解得.故选：B 4．（23-24高一上·广东汕头·期末）已知函数，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】若，则有，∴； 若，则， ∴，此时若，则有．故选：D． 5．（23-24高一下·广东广州·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 6．（22-23高一下·湖北恩施·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的单调递增区间是 B．的最小值是0， 没有最大值 C．的图象关于轴对称 D．=1 【答案】B 【解析】，得或， 所以， 如图，画出函数的图象， 函数的单调递增区间是，最小值，无最大值， 函数不关于轴对称，.故选：B 二、多选题 7．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【解析】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确．故选：BD． 8．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）狄利克雷是德国著名数学家，函数被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数的结论中正确的是（    ） A．为偶函数 B．为偶函数 C．，使得 D． 【答案】AB 【解析】对于A中，函数的定义域为，关于原点对称， 若为有理数，则也为有理数，则有； 若为无理数，则也为无理数，则有， 所以为定义域上的偶函数，所以A正确； 对于B中，当为有理数时， ，则； 若为无理数时，，则， 所以对，均有，所以函数为偶函数，所以B正确； 对于C中，由B知，对，均有，所以C错误； 对于D中，当时，，， 此时，则，所以D错误.故选：AB. 三、填空题 9．（23-24高一上·吉林延边·月考）设，则 【答案】 【解析】，则. 故答案为：. 10．（23-24高一上·山东淄博·期中）已知为偶函数，则实数 ． 【答案】 【解析】由为偶函数， 则当时，， 则，得. 经验证，，为偶函数. 故答案为： 11．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象， 由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 四、解答题 12．（23-24高一上·广西河池·月考）已知函数 (1)求的值； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)，，；(2) 【解析】（1）由题可得， 因为， 所以； . 所以. （2）设，当时，若，不符合. 当时，若， 当时，若，不符合. 综上所述，的值为0，即. 当时，若，不符合. 当时，若，不符合. 当时，若， 综上所述. 13．（23-24高一上·北京·期中）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像； (3)用表示，中的较大者，即 ，若 ，则求 的值 . 【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)，图象见解析；(3)或 【解析】（1）函数为上的奇函数， 因为，所以函数为上的奇函数； （2）， 图象如图所示， （3），若，则， 此时，，满足题意； 若，显然时，无解； 因此，，解得，此时满足题意． 所以或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$