精品解析：山东省烟台第一中学2023-2024学年高一下学期5月月考数学试题

山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高一5月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 则 故选 2. 采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（ ） A. 1350 B. 675 C. 900 D. 450 【答案】C 【解析】 【分析】先求出抽样比，即可求出学生总数. 【详解】由题意可得抽样比为，所以学生总数为，即这个学校共有高中学生900人． 故选：C. 3. 如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（ ） A. 四分位数 B. 中位数 C. 众数 D. 均值 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的意义可得结果. 【详解】四分位数在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值；中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数；众数一组数据中出现次数最多的数值；平均数是表示一组数据集中趋势的量数，是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数。所以选择均值较理想. 故选：D 4. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解法一：由排列组合知识可知，所求概率； 解法二：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故. 【考点定位】本题考查古典概型的概率运算，考查学生的基本运算能力. 5. 有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式即可求解. 【详解】4名男生，6名女生，从中任选2名，共有种基本情况， 假设男生编号为，女生编号为， 则恰好2名男生的基本情况为：，共6种； 恰好2名女生的基本情况为： 共15种， 所以所求概率为. 故选：D. 6. 已知中，若，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理列式后可解． 【详解】由余弦定理， 得． 故选：A． 【点睛】本题考查余弦定理，属于基础题． 7. 平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 如图所示，平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面， ，则直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角为. 故选C. 8. 如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为平面 ，平面 ，所以 ，又因为 所以可得平面 ，当点在线段 上时，总有，所以的最大值为 ，的最小值为 ，可得线段长度的取值范围是，故选D. 【方法点晴】本题主要考查正方体的性质、线面垂直的判定定理的应用，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若平面α，β垂直同一个平面，则 B. 若且，则 C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线 D. 若，且，则l与α所成的角和m与β所成的角相等 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，由空间中的直线与平面的位置关系以及平面与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若平面α，β垂直同一个平面，与可能相交，故A错误； 由线面的位置关系可知，若且，则，故B正确； 当平面相交时，在平面内平行于交线的直线与平行，故C错误； 因为两条平行直线与同一平面所成角相等，若两平面平行， 则两条平行直线与两个平行平面所成角相等，故D正确； 故选：BD 10. 一个盒子里装有个白球、个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出个．设事件{第一次取出白球}，事件{第二次取出黑球}，事件{两次至少取出1个白球}，事件{两次至少取出1个黑球}，事件{两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是（ ）． A. 与相互独立 B. 与互斥 C. 与互斥 D. 与互为对立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识逐一判断即可. 【详解】由题意可知， 样本空间“第一次取出白球，第二次取出黑球”，“第一次取出白球，第二次取出白球”，“第一次取出黑球，第二次取出白球”，“第一次取出黑球，第二次取出黑球”， 对于A，因为， 则，所以与相互独立，故A正确； 对于B，事件第一次取出白球，事件两次至少取出1个白球均包含 “第一次取出白球，第二次取出黑球”和“第一次取出白球，第二次取出白球”，故B错误； 对于C，事件两次至少取出1个白球，事件两次至少取出1个黑球均包含 “第一次取出白球，第二次取出黑球”和“第一次取出黑球，第二次取出白球”，故C错误； 对于D，事件“第一次取出白球，第二次取出黑球”，“第一次取出白球，第二次取出白球”，“第一次取出黑球，第二次取出白球”， 事件“第一次取出黑球，第二次取出黑球”，所以与对立，故D正确. 故选：AD. 11. 如图，把等腰沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将与折成互相垂直的两个平面．下面四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面平面 D. 点D在平面内的射影为的外接圆圆心 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，然后由线面垂直的判定定理判断，对于B，由两两垂直，，可得，从而可得结论，对于C，取的中点，连接，则可得是平面与平面所成的角，然后利用余弦定理求解即可，对于D，由两两垂直，可得结论. 【详解】对于A，因为等腰沿着其斜边BC上的中线AD折叠，所以， 因为将与折成互相垂直的两个平面，平面平面，平面， 所以平面，所以A正确， 对于B，由选项A可知两两垂直，因为， 所以，所以为等边三角形，所以B正确， 对于C，取的中点，连接，因为，所以， 所以是平面与平面所成的角，设，则， 所以，， 所以， 所以，所以平面与平面不垂直，所以C错误， 对于D，由选项B可知，为等边三角形，所以三棱锥为正棱锥， 所以点D在平面内的射影为的外接圆圆心，所以D正确， 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】 为纯虚数， 则 13. 已知平面向量则的值是_______ 【答案】 【解析】 【详解】因为 所以 所以 所以 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先连接交于点，结合四棱锥的侧面积是底面积的2倍，求得正方形边长，再画出折叠后的立体图形，找出外接球的球心，结合勾股定理即可求解外接球的半径. 【详解】如图所示，连接交于点， 设正方形的边长为，则，. 因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 所以，解得或(舍)， 所以. 设重合于点，该四棱锥的外接球的球心为，半径，侧棱长等于折叠前的， 则，， 在中，可得，解得， 外接球的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校在高三年级学生一次数学考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2人． （1）请估计一下这组数据的平均数； （2）现根据考试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率． 【答案】（1）（分） （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数． （2）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果． 【小问1详解】 （分）． 【小问2详解】 设90~140之间的人数是，由130~140数段的人数为2人，可知， 解得． 第一组共有人，记作、、、； 第五组共有2人，记作、 从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：，、，、 ，、，、，、，；，、，、，、 ，；，、，、，、，；，．共有15种结果， 设事件：选出的两人为“黄金搭档组”． 若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法， 故（A）． 16. 如图，在四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点 （1）若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD； （2）若BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面AME． 【答案】（1）取的中点,连接， 是的中点，， 又， ， 又平面，平面， 平面， 同理分别是的中点，， 又平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面. （2）连接，由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， 由勾股定理，在中，，得， 在中，，得， 在直角梯形中，由平面几何知识计算得：， ， ， 又，平面，平面， 平面. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，证明平面平面，即可证明平面. （2）连接，证明，即可证明平面. 【小问1详解】 取的中点,连接， 是的中点，， 又， ， 又平面，平面， 平面， 同理分别是的中点，， 又平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面， 平面. 【小问2详解】 连接，由，为的中点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， 由勾股定理，在中，，得， 在中，，得， 在直角梯形中，由平面几何知识计算得：， ， ， 又，平面，平面， 平面. 17. 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； （2）设，，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标运算转化为两角差的三角函数即可求解； （2）通过向量平行，转化为求解角的大小即可. 【小问1详解】 因为，，，则， ， 由可得，即， 解得. 【小问2详解】 因为，所以，则， 由可得， 化简可得，即， 又，则，所以，即. 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点E，F分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 【答案】（1） 证明：取中点，连接，∵四边形是矩形，点分别为中点. ∴，， 平面，平面， ∴平面，同理平面， ∵平面，∴平面平面， ∵平面，∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接．推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面； （2）根据题意可得平面，再利用线面垂直的判定定理证出平面，从而可得点到平面的距离等于点到平面的距离，由，根据三棱锥的体积公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形是矩形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 满足，所，因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 而. 所以. 所以三棱锥的体积为. 19. 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数. （1）若，求y与x的函数解析式； （2）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值； （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 【答案】（1） （2）19 （3）购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【解析】 【分析】（1）分及，分别求解析式； （2）通过频率大小进行比较； （3）分别求出，时所需费用的平均数来确定. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以y与x的函数解析式为. 【小问2详解】 由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n的最小值为19. 【小问3详解】 若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为. 若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000，10台的费用为4500，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为. 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省烟台第一中学2023-2024学年度第二学期高一5月月考 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足（是虚数单位），则的共轭复数 A. B. C. D. 2. 采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有300人，则这个学校共有高中学生的人数为（ ） A. 1350 B. 675 C. 900 D. 450 3. 如果你正在筹划一次聚会，想知道该准备多少瓶饮料，你最希望得到所有客人需要饮料数量的（ ） A. 四分位数 B. 中位数 C. 众数 D. 均值 4. 从1，2，3，4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 A. B. C. D. 5. 有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率为（ ）． A. B. C. D. 6. 已知中，若，且，则（ ） A. 2 B. C. D. 7. 平面过正方体的顶点，平面平面，平面平面，则直线与直线所成的角为 A. B. C. D. 8. 如图,在棱长为的正方体中,点、是棱、的中点, 是底面上（含边界）一动点,满足,则线段长度的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若平面α，β垂直同一个平面，则 B. 若且，则 C. 若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线 D. 若，且，则l与α所成的角和m与β所成的角相等 10. 一个盒子里装有个白球、个黑球，从中有放回地取两次球，每次取出个．设事件{第一次取出白球}，事件{第二次取出黑球}，事件{两次至少取出1个白球}，事件{两次至少取出1个黑球}，事件{两次取出的都是黑球}，则下列关系正确的是（ ）． A. 与相互独立 B. 与互斥 C. 与互斥 D. 与互为对立 11. 如图，把等腰沿着其斜边BC上的中线AD折叠，将与折成互相垂直的两个平面．下面四个结论中正确的是（ ） A. 平面 B. 为等边三角形 C. 平面平面 D. 点D在平面内的射影为的外接圆圆心 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题后的横线上． 12. 已知复数，，其中i为虚数单位，若为纯虚数，则实数a的值为_______． 13. 已知平面向量则的值是_______ 14. 如图，圆形纸片的圆心为，半径为cm，该纸片上的正方形的中心为，而为圆上的点，分别为以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，四棱锥的外接球的体积为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某校在高三年级学生一次数学考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2人． （1）请估计一下这组数据的平均数； （2）现根据考试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率． 16. 如图，在四棱锥A-BCDE中，BE∥CD，BE⊥BC，AB＝AC，平面BCDE⊥平面ABC，M为BC的中点 （1）若N是线段AE的中点，求证：MN∥平面ACD； （2）若BE＝1，BC＝2，CD＝3，求证：DE⊥平面AME． 17. 在平面直角坐标系中，设向量，，． （1）若，求的值； （2）设，，且，求的值． 18. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点E，F分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）若，求三棱锥的体积． 19. 某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图： 记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,表示购机的同时购买的易损零件数. （1）若，求y与x的函数解析式； （2）若要求“需更换的易损零件数不大于”的频率不小于0.5,求的最小值； （3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $