1.3.1等比数列的概念及其通项公式同步课时训练-2023-2024学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

1.3.1等比数列的概念及其通项公式 一、选择题 1．已知各项均为正数的等比数列，满足，若存在不同两项，使得，则的最小值为( ) A.9 B. C. D. 2．在等比数列中,,则( ) A.-3 B.3 C.-2 D.2 3．在等比数列中，，，则( ) A.81 B.243 C.9 D.27 4．在等比数列中,,,则的值为( ) A.-2 B.0 C. D.1 5．等比数列中，，，则( ) A.32 B.24 C.20 D.16 6．设各项均不相等的等比数列的前n项和为，若，，则公比( ) A. B. C. D. 7．已知等比数列的各项均为正数，若，，则( ) A.4 B. C. D. 8．已知等比数列的前n项积为，若，则( ) A.512 B.256 C.64 D.16 二、多项选择题 9．已知数列为等比数列,则下列结论正确的是( ) A.数列为等比数列 B.数列为等比数列 C.数列为等比数列 D.数列为等比数列 10．若1,a,b,c, 16成等比数列,则( ) A. B. C. D. 11．若为等比数列,则下列数列为等比数列的是( ) A. B. C. D. 三、填空题 12．某城市今年空气质量为“优”的天数为54,力争3年后使空气质量为“优”的天数达到128,则这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为______. 13．在等比数列中,,则的值为__________. 14．已知公比为2的等比数列满足,则______. 四、解答题 15．已知数列满足，数列满足. （1）求，. （2）求证：数列是等比数列，并求其通项公式. （3）已知，求证：. 16．已知各项都为正数的数列满足. （1）证明：数列为等比数列； （2）若，，求的通项公式. 17．已知数列的前n项和为，且. （1）求，； （2）证明：数列是等比数列. 18．在等差数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知数列是首项为2，公比为-2的等比数列，求数列的通项公式. 19．已知正项等比数列，，. （1）求数列的通项公式； （2）已知，①求数列的前n项和； ②，恒成立，求实数的范围. （3）求前2n项和. （4）请同学们只分析通项公式，确定求和方法即可，无需求和. 通项公式 求和方法 ① ② ③ 参考答案 1．答案：B 解析：设等比数列的公比为q，则， 而，则，故（舍）或， 故，而，故，故， 因为m，n为正整数，故或或， 若，则；若，则； 若，则， 而，故的最小值为. 故选：B. 2．答案：A 解析：设数列的公比为q,由可得,故. 3．答案：D 解析：由题意得，等比数列的公比为，所以. 4．答案：C 解析：等比数列, 公比, , , 故选：C. 5．答案：A 解析：由题得，，. 所以. 故选：A. 6．答案：C 解析：由数列为各项均不相等的等比数列，设公比为q， 由，得，又因为， 当时，则，化简得，解得，或（舍）； 当，则，化简得，因， 所以无解； 综上可得，故C正确. 故选：C. 7．答案：B 解析：因为，且各项均为正数，所以. 8．答案：C 解析：设等比数列的公比为q， 因为，所以. 故选：C. 9．答案：BD 解析：当时,;当时,.AC均错; ,则,,是等比数列, ,,是等比数列. 故选:BD. 10．答案：BD 解析：因为,且b与首项1同号,所以, 因为a,c同号,且,所以或． 故选：BD． 11．答案：ABC 解析：由于为等比数列,所以(常数),所以:对于A:(常数),故A正确; 对于B:(常数),故B正确; 对于C:(常数),故C正确; 对于D:满足(常数),故为等差数列,故D错误. 故选:ABC. 12．答案： 解析：设这个城市空气质量为“优”的天数的年平均增长率为q,则,解得. 13．答案：1或-1 解析：设等比数列的公比为,因为,所以,从而,又5, 所以,又,所以,所以,所以, 当时,由,得,当时,由,得, 综上,的值为1或-1. 14．答案： 解析：由题意可得,解得,故答案为. 15．答案：（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 解析：（1）由数列的递推关系，知，. （2）. 因为，所以数列的各项均不为0， 所以，即数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. （3）由（2）知. 所以 . 16、 （1）答案：证明见解析 解析：由，得. 因为数列的各项都为正数，所以，所以是公比为3的等比数列. （2）答案： 解析：由（1）得， 整理得. 又，所以，所以， 所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以数列的通项公式为. 17．答案：（1）； （2）数列是首项和公比均为的等比数列 解析：（1）当时，，所以. 当时，，所以. （2）由，得，所以，所以. 又，所以数列是首项和公比均为的等比数列. 18．答案：（1） （2） 解析：（1）设数列的公差为d， 由得解得 所以. （2）因为数列是首项为2，公比为-2的等比数列，所以，又，所以. 19．答案：（1） （2）①②. （3）. （4）①错位相减；②奇偶讨论并项求和；③列项相消. 解析：（1）设等比数列的公比为q，，又， 则 解得，（舍） 又，. 则 （2）①， 则 ， 所以 则 . ②，. 记则 所以当时，，即， 当时，，即 所以当时，有最大值 故实数的范围为 （3） 时， . （4）①通项公式可以化为可以看作一个等差数列和一个等比数列乘积的形式，所以求和可以用错位相减； ②根据通项公式，可 所以当为偶数时，， 当为奇数时，， 最后写成分段函数的形式即可，所以采用的是奇偶讨论并项求和的方法； ③，所以可采用列项相消求和的方法. 学科网（北京）股份有限公司 $$