专题01利用勾股定理判定直角的六种方法-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题01利用勾股定理判定直角的六种方法 【解题策略】 说明垂直的方法: 1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条; 2.等腰三角形中“三线合一”; 3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先说明垂直,再利用垂直的性质来解相关问题. 题型01利用三边数量关系说明直角 【典例分析】 【例1-1】已知：为的三边且满足，试判断的形状. 【例1-2】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解： ∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 第一步 ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， 第二步 ∴c2=a2+b2， 第三步 ∴△ABC为直角三角形． 第四步 问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：　_________　； （2）错误的原因是：　_________　； （3）本题正确的结论是：　_________　． 【例1-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式演练】 【变式1-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【变式1-2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状． 【变式1-3】如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5． （1）判断△DEC的形状，并说明理由； （2）求∠ADB的度数． 题型02利用等线段转化法构造直角三角形 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在如图三角形中，，那么三角形的形状为（    ）三角形． A．等边 B．锐角 C．直角 D．钝角 【例2-2】（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2-3】如图，在中，点是边的中点，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【变式演练】 【变式2-1】（2022春•高唐县期中）已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且． （1）判断的形状并说明理由； （2）若，，求的长． 【变式2-2】（21-22八年级下·广西河池·期中）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式2-3】．（2022春•柘城县期末）如图，在中，是的中点，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 题型03利用倍长中线法构造直角三角形 【典例分析】 【例3-1】如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【例3-2】如图所示，在中，，，边上的中线，的长为 ． 【例3-3】如图，在中，，，边上的中线，求的长． 【变式演练】 【变式3-1】如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝ ． 【变式3-2】如图所示，在中，，，中线，则长为 ． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积． 题型04利用化分散为集中法构造三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．始终为等腰直角三角形 【例4-2】（21-22八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，点O为等边内一点，，，将绕点A顺时针方向旋转，使与重合，点O旋转至点处，连接，则四边形的面积是 ． 【例4-3】（2024·浙江温州·期中考试）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置，若，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式4-2】（21-22八年级下·山东青岛·期中）如图，点O为等边△ABC内一点，，，将△AOC绕点A顺时针方向旋转，使AC与AB重合，点O旋转至点处，连接，则的面积是 ． 【变式4-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，E是等边三角形内的一点，且．若将绕点A按逆时针方向旋转后，得到．求 (1)求线段的长度 (2)求的度数 题型05利用“三线合一”法构造直角三角形 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，点D是边的中点，，交于E，交于F，若，，则（　　　　） A． B． C． D． 【例5-2】已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在直线的同侧，点E是的中点，B，D两点之间的距离为 ．    【例5-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，为的中点，分别为，上的点，且． 求证： (1)； (2)． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，若分别是上的动点，则的最小值是 ．    【变式5-3】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，且平分．    (1)如图1，现有点E在线段上，连接，将沿着所在直线折叠，点C的对应点为点M．若点M恰好与点A重合，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点P在边上，作直线，现将点C沿着折叠，对应点记作点F． ①当点F落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点F的位置； ②连接，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 ． 题型06利用轴对称的性质构造直角三角形 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在等边中，是高，点G是边上的动点，若，则的最小值等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【例6-2】（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ． 【例6-3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，等边三角形中，是中线，于点，点在的延长线上，且点与点关于对称，连结． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【变式6-2】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，Rt中，平分，如果点，点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，若是上一点，点关于直线的对称点，连结，且的延长线交延长线于点，连结    (1)若，求和的度数． (2)若是中点； ①求证：； ②若时，直接写出的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01利用勾股定理判定直角的六种方法 【解题策略】 说明垂直的方法: 1.在同一平面内,如果一条直线垂直于两条平行线中的一条,那么它也垂直于另一条; 2.等腰三角形中“三线合一”; 3.直角三角形的判定.在几何中,我们常常先说明垂直,再利用垂直的性质来解相关问题. 题型01利用三边数量关系说明直角 【典例分析】 【例1-1】已知：为的三边且满足，试判断的形状. 【答案与解析】 解：∵ ∴ ∴， ∴△ABC是直角三角形. 【总结升华】此类问题中要判断的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把题目中已知的条件等式进行变形，从而得到三角形的三边关系.对条件等式进行变形常用的方法有配方法，因式分解法等. 【例1-2】请阅读下列解题过程：已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状． 解： ∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4， 第一步 ∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）， 第二步 ∴c2=a2+b2， 第三步 ∴△ABC为直角三角形． 第四步 问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误：　_________　； （2）错误的原因是：　_________　； （3）本题正确的结论是：　_________　． 【答案】 解：（1）第三步； （2）方程两边同时除以（a2﹣b2）时，没有考虑（a2﹣b2）的值有可能是0； （3）∵c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） ∴c2=a2+b2或a2﹣b2=0 ∵a2﹣b2=0 ∴a+b=0或a﹣b=0 ∵a+b≠0 ∴c2=a2+b2或a﹣b=0 ∴c2=a2+b2或a=b ∴该三角形是直角三角形或等腰三角形． 【例1-3】（23-24八年级下·湖北武汉·期中）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长为14 【变式演练】 【变式1-1】如果线段能组成一个直角三角形，那么________组成直角三角形．(填“能”或“不能”)． 【答案】能； 【解析】设为斜边，则，两边同乘以，得，即 ． 【变式1-2】已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，且a+b+c=12，请你探索△ABC的形状． 【答案与解析】 解：令=k． ∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k， ∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8． 又∵a+b+c=12， ∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12， ∴k=3． ∴a=5，b=3，c=4． ∴△ABC是直角三角形． 【总结升华】此题借用设比例系数k的方法，进一步求得三角形的三边长，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状． 【变式1-3】如图，点D是△ABC内一点，把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5． （1）判断△DEC的形状，并说明理由； （2）求∠ADB的度数． 【思路点拨】把△ABD绕点B顺时针方向旋转60°，注意旋转只是三角形的位置变了，三角形的边长和角度并没有变，并且旋转的角度60°，因此出现等边△BDE，从而才能更有利的判断三角形的形状和求∠ADB的度数． 【答案与解析】 解：（1）根据图形的旋转不变性， AD=EC，BD=BE， 又∵∠DBE=∠ABC=60°， ∴△ABC和△DBE均为等边三角形， 于是DE=BD=3，EC=AD=4， 又∵CD=5， ∴DE2+EC2=32+42=52=CD2； 故△DEC为直角三角形． （2）∵△DEC为直角三角形， ∴∠DEC=90°， 又∵△BDE为等边三角形， ∴∠BED=60°， ∴∠BEC=90°+60°=150°， 即∠ADB=150°． 【总结升华】此题考查了旋转后图形的不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论． 题型02利用等线段转化法构造直角三角形 【典例分析】 【例2-1】（22-23八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在如图三角形中，，那么三角形的形状为（    ）三角形． A．等边 B．锐角 C．直角 D．钝角 【答案】B 【分析】 本题考查了勾股定理，三角形的分类，令，根据已知，利用勾股定理得出，据此可判定，即可得出答案． 【详解】解：如图，令， ，， ， 三角形的形状为锐角三角形， 故选：B 【例2-2】（21-22八年级上·四川眉山·期末）如图，在中，D是的中点，交于点E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴设，则， 在中 ∴， 解得： ∴ 【例2-3】如图，在中，点是边的中点，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长度． 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）由是的中点可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得的长． 【解答】（1）证明：连结， 是的中点，， ， ， ， ， 是直角三角形，即； （2）解是的中点，， ， ，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长为． 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． 【变式演练】 【变式2-1】（2022春•高唐县期中）已知，如图，在中，是的中点，，垂足为，交于点，且． （1）判断的形状并说明理由； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合条件可求得，可证得结论； （2）在中可求得，则可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得． 【解答】解：（1）是直角三角形，理由如下： 连接，如图， 是的中点，， ， ， ， ， 是直角三角形，即， 是直角三角形； （2），，， ， ， 是的中点，， ， 在中：， ，解得． 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． 【变式2-2】（21-22八年级下·广西河池·期中）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点D、E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解； （2）设，则，在中，根据列出方程计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵边上的垂直平分线为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴的长为． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，注意方程思想的运用． 【变式2-3】．（2022春•柘城县期末）如图，在中，是的中点，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质可求得，再结合可求得，可证得结论； （2）由是的中点可求得，在中，利用勾股定理结合已知条件可得到关于的方程，可求得． 【解答】（1）证明：连接，如图， 是的中点，， ， ， ， ， 是直角三角形，即； （2）解：是的中点，， ， ，， ， 在中，， ， ， 解得：， 的长为． 【点评】本题主要考查勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程思想在这类问题中的应用． 题型03利用倍长中线法构造直角三角形 【典例分析】 【例3-1】如图，中，AD为中线，，，，则AC长（    ） A．2.5 B．2 C．1 D．1.5 【答案】D 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 【详解】延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键 【例3-2】如图所示，在中，，，边上的中线，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理及逆定理；延长到E使，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，，勾股定理的逆定理得，再由勾股定理即可求解；掌握判定方法及性质，能作出辅助线，用“倍长中线法”是解题的关键． 【详解】解：延长到E使，连接， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ； 故答案： 【例3-3】如图，在中，，，边上的中线，求的长． 【答案】 【分析】延长到，使，连接，证，得，然后由勾股定理逆定理证是直角三角形，得，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ∴， ， ， ， ，， ， 是直角三角形，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理和勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，证明三角形全等是解题的关键 【变式演练】 【变式3-1】如图所示，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，∠BAD＝ ． 【答案】90° 【分析】延长AD到M，使DM＝AD，易得△ABD≌△MCD，CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12 ∠AMC＝∠BAD，再根据勾股定理逆定理即可得到答案. 【详解】解：如图所示：延长AD到M，使DM＝AD， ∵BC边上的中线为AD ∴BD=CD ∵∠ADB=∠MDC，DM＝AD ∴△ABD≌△MCD． ∴CM＝AB＝5，AM＝2AD＝12 在△ACM中，， ∴ ∴∠AMC＝90° ∴∠BAD＝90° 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【变式3-2】如图所示，在中，，，中线，则长为 ． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，先根据全等三角形的判定定理得出，再由勾股定理的逆定理可知，再根据勾股定理得到的长度，则． 【详解】解：延长至，使，连接， 是的中线， ， 在和中 ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ∴， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，判断出的形状，再利用勾股定理算出的长度． 【变式3-3】如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D是BC的中点，AD＝2，求△ABC的面积． 【答案】6 【分析】延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，证明，则的面积等于的面积，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而计算其面积． 【详解】解：延长AD至E，使ED＝AD＝2，连接BE，则AE＝4． ∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△BDE和△CDA中， ， ∴△BDE≌△CDA（SAS）， ∴BE＝AC＝3，， ． ∵AE＝4，AB＝5，BE＝3， ∴， ∴△ABE是直角三角形，且． ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，勾股定理的逆定理，解题的关键是作出正确的辅助线，将问题转化． 题型04利用化分散为集中法构造三角形 【典例分析】 【例4-1】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，点D为中点．，绕点D旋转，分别与交于E，F两点．下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D．始终为等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，连接；A：证即可判断；B：由题意可推出，，据此即可判断；C：根据即可判断；D：根据即可判断； 【详解】解：连接， ∵是等腰直角三角形，且D为斜边的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 故A选项中的结论正确． ∵， ∴， 即． ∴， 又∵， 而与不一定相等， ∴不一定等于． 故B选项中的结论错误． 在中， ∴． 故C选项中的结论正确． ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形． 故D选项中的结论正确． 故选：B 【例4-2】（21-22八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，点O为等边内一点，，，将绕点A顺时针方向旋转，使与重合，点O旋转至点处，连接，则四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，从而可得是等边三角形，然后利用勾股定理的逆定理，进行计算可得是直角三角形，从而可得，最后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【详解】解：由旋转得： 是等边三角形， 作， ， ， ， 在中， 是直角三角形， 故； 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质，以及勾股定理的逆定理是解题的关键 【例4-3】（2024·浙江温州·期中考试）如图，绕点O旋转得到，点A的对应点为点C．分别延长，至点E，F且，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，根据，得出，根据平行四边形的判定即可得出结论； （2）作于点H．根据等腰三角形的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，，求出，证明为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵绕点O旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：如图，作于点H． 根据解析（1）可知：， ∵， ∴， ∴·， ∵， ∴， 在中，，，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， 则， ∴， ∴四边形的周长为： ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质 【变式演练】 【变式4-1】（22-23八年级下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置，若，，，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，可证为等腰直角三角形；再根据勾股定理的逆定理可证为直角三角形，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：    由题意得： ∴ ∵ ∴ ∴ 故 故选：A 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理及逆定理．连接是解题关键 【变式4-2】（21-22八年级下·山东青岛·期中）如图，点O为等边△ABC内一点，，，将△AOC绕点A顺时针方向旋转，使AC与AB重合，点O旋转至点处，连接，则的面积是 ． 【答案】 【分析】根据旋转得出，，，得出为等边三角形，得出，根据，得出为直角三角形，即可求出其面积． 【详解】解：∵将△AOC绕点A顺时针方向旋转60°得到， ∴，，， ∴为等边三角形， ， ， ∴为直角三角形， ． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理逆定理，得出为直角三角形是解题的关键 【变式4-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）如图，E是等边三角形内的一点，且．若将绕点A按逆时针方向旋转后，得到．求 (1)求线段的长度 (2)求的度数 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）连接，根据旋转的性质可得，从而得到，再由等边三角形的性质可得，从而得到，可证得为等边三角形，即可求解； （2）根据旋转的性质可得，再由勾股定理逆定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵将绕点A按逆时针方向旋转后，得到， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵将绕点A按逆时针方向旋转后，得到， ∴， 在，， ∴， ∴， 又∵为等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，图形的旋转，勾股定理逆定理，熟练掌握等边三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，勾股定理逆定理是解题的关键 题型05利用“三线合一”法构造直角三角形 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在中，，，点D是边的中点，，交于E，交于F，若，，则（　　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等腰直角三角形性质的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，三角形全等的判定与性质．证明，推出是等腰直角三角形，利用勾股定理即可得到答案． 【详解】解：连接，， ∵，，点是边的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【例5-2】已知与中，，，将与按如图位置摆放，其中点B，C，E，F在同一直线上，点A，D在直线的同侧，点E是的中点，B，D两点之间的距离为 ．    【答案】 【分析】连接．证明，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键 【例5-3】（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图，在中，，为的中点，分别为，上的点，且． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）连接，利用证明即可求证； （）利用证明，得到，进而得到，即可由勾股定理可得； 本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，余角性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：连接， ∵，为的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 即 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交边于点G，联结交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质可判断，，进而可得出答案． 【解答】解：是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵，是的平分线， ∴，故A结论正确； ， ， ， ∴垂直平分， ， ， ， ， ，故C结论正确； ，故B结论正确； ∴D结论不一定正确． 故选：D 【变式5-2】（22-23七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，，是的平分线，若分别是上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，利用勾股定理可求出的长，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解． 【详解】解：，是的平分线， 垂直平分， ，，， 由勾股定理，得． 如图，过点作于点，交于点，则此时取最小值，最小值为的长，如图所示．      ， ， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积、勾股定理，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点 【变式5-3】（23-24八年级上·江苏泰州·期末）在中，，且平分．    (1)如图1，现有点E在线段上，连接，将沿着所在直线折叠，点C的对应点为点M．若点M恰好与点A重合，试判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点P在边上，作直线，现将点C沿着折叠，对应点记作点F． ①当点F落在边上时，只使用圆规一次，在图3中画出点F的位置； ②连接，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为 ． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2)①点F的位置见解析；②为直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟练掌握各定理是解题的关键， （1）由翻折得，推出，由此得到为等边三角形； （2）①以点D为圆心，为半径画弧，交于点F；②连接，根据等腰三角形的性质得到，推出，得到，求出，进而得到是直角三角形； （3）当点F落在边上时，连接，证得，求出；当点F落在边上时，如图，则，勾股定理求出，再根据勾股定理求出，即可得到当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围． 【详解】（1）由翻折得， ∵， ∴， ∴为等边三角形； （2）①如图，点F即为所求；    ②连接，如图，    ∵，且平分， ∴， ∵, ∴， ∴ ∴，即， ∴是直角三角形； （3）当点F落在边上时，连接，    ∵垂直平分， ∴， ∴， 由（2）可知，无论点F落在哪里，始终有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点F落在边上时，如图，则，    ∵，且平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当点F落在内（不含的边上）时，长的取值范围为． 题型06利用轴对称的性质构造直角三角形 【典例分析】 【例6-1】（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在等边中，是高，点G是边上的动点，若，则的最小值等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等知识，作点F关于的对称点，连接交于点G，连接，则，当、G、三点共线时，的值最小，求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】作点F关于的对称点，连接交于点G，连接， 则， ∴， 当、G、三点共线时，的值最小， ∵是等边三角形，是高， ∴， 由对称可知，， ∴， ∴， ∴的最小值等于5． 故选：B 【例6-2】（23-24八年级下·河南南阳·期中）如图， 直线 与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解． 【详解】解：， 当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接， ， ，， 在中，，即：， ， 点在轴的负半轴上， ． 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 故答案为：或 【例6-3】（22-23八年级上·广西南宁·期末）如图，等边三角形中，是中线，于点，点在的延长线上，且点与点关于对称，连结． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质、等边三角形的性质、含角直角三角形的特征、轴对称图形的性质： （1）根据等边三角形的性质得，，再根据轴对称图形的性质得，，进而可得，再根据等腰三角形的判定即可求解； （2）根据边三角形的性质及直角三角形的特征得，进而可得，再根据轴对称图形的性质即可求解； 熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是等边三角形，是中线， ，， 点与点关于对称， ，， 是等腰三角形， ， ， ， ， 是等腰三角形． （2）， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 点与点关于对称， 【变式演练】 【变式6-1】（23-24八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在中，平分交于点，分别是上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查的是轴对称的性质、勾股定理的应用、垂线段最短等知识，解题的关键是学利用对称，解决最短问题．如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H．因为，推出当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小． 【详解】解：如图所示：在上取点，使，过点C作，垂足为H． 在中， ． ， ， ∵， ∴当C、E、共线，且点与H重合时，的值最小，最小值为的长， 的值最小为， 故选：C 【变式6-2】（23-24八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，Rt中，平分，如果点，点分别为上的动点，那么的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，角平分线的性质，三角形面积公式是解题的关键． 过点作交于点，交于点，过点作交于点，此时的值最小，再由三角形的面积求出边上的高即为所求． 【详解】解：过点作交于点，交于点，过点作交于点， 平分， ， ， 此时的值最小， ∵ ∴ 的面积， ， 的值最小为， 故答案为： 【变式6-3】（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，若是上一点，点关于直线的对称点，连结，且的延长线交延长线于点，连结    (1)若，求和的度数． (2)若是中点； ①求证：； ②若时，直接写出的长． 【答案】(1)， (2)①见详解② 【分析】（1）连接，根据轴对称的性质，得，再结合正方形性质以及内角和180°，进行列式计算，即可作答． （2）①连接，结合正方形性质以及内角和，进行列式计算，得，因为内错角相等，即可证明． ②先证明是的中位线，得，结合等边对等角以及三角形内角和列式，得出，通过等面积法，求出，根据勾股定理列式，得，即可作答． 【详解】（1）解：连接，如图所示：    ∵点关于直线的对称点， ∴ ∵四边形是正方形 ∴ ∴ 则 ∴； （2）解：①连接，如图所示：    设， ∵点关于直线的对称点， ∴ ∵是中点 ∴ 则 ∵ ∴ ∴； ②如图：连接，点关于对称    ∵的延长线交延长线于点，连结，且是中点，四边形是正方形 ∴， ∴ ∴ ∴ 则三点共线 ∵ ∴ ∴是的中位线 ∴ ∵ ∴ 根据等面积法，得 即 设， 由(1)知，， ∴ 则 ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、等边对等角、三角形的内角和，轴对称的性质、平行线的判定，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$