第12章 全等三角形 全章复习与测试-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第12章 全等三角形全章复习与测试 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题. 2.掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题 知识点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 知识点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点四、全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 知识点五、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点六、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 　　　 已知条件 　　可选择的判定方法 　　一边一角对应相等 　　SAS AAS ASA 　　两角对应相等 　　ASA AAS 　　两边对应相等 　　SAS SSS 知识点七、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； 2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点八、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 一．全等图形（共2小题） 1．（2023秋•凤山县期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据图形全等的定义对题目中给出的四个选项注意进行判断即可得出答案． 【解答】解：选项中的两个图形的形状一样，大小相等， 该选项中的两个图形是全等形， 故选项符合题意； 选项，，中的两个图形形状一样，当大小不相等， 选项，，中的两个图形不是全等形， 故选项，，不符合题意． 故选：． 【点评】此题主要考查了图形全等的定义，正确理解图形全等的定义是解决问题的关键． 2．（2023秋•无锡期末）下列说法中，正确的是　　 A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 【分析】全等图形指的是完全重合的图形，包括边长、角度、面积、周长等，但面积、周长相等的图形不一定全等，要具体进行验证分析． 【解答】解：、面积相等，但图形不一定能完全重合，说法错误； 、形状相等的两个图形也不一定是全等形，说法错误； 、周长相等的两个图形不一定能完全重合，说法错误； 、符合全等形的概念，正确． 故选：． 【点评】本题考查了全等形的概念，做题时一定要严格紧扣概念对选项逐个验证，这是一种很重要的方法，注意应用． 二．全等三角形的性质（共3小题） 3．（2023秋•公主岭市期末）如图，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【解答】解：， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等． 4．（2023秋•台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 【分析】由全等三角形的性质可知，然后问题可求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 5．（2024春•新郑市期末）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的性质得出，再求出答案即可； （2）根据全等三角形的性质得出，根据对顶角相等和三角形内角和定理得出，，，求出即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ， ， ，，， ． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等． 三．全等三角形的判定（共6小题） 6．（2024春•新郑市期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是　　 A． B．，， C．，， D．，， 【分析】根据三角形三边的关系对选项进行判断；根据全等三角形的判定方法可对、、选项进行判断． 【解答】解：．，不符合全等三角形的条件，所以选项不符合题意； ．、、不能组成三角形，所以选项不符合题意； ．，，，不符合三角形全等的条件，所以选项不符合题意． ．，，，符合三角形全等的条件，所以选项符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 7．（2024春•昆山市期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，添加下列一个条件，仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 【分析】先证明，由于已知，则根据全等三角形的判定方法各选项进行判断． 【解答】解：， ， 即， ， 当添加时，，所以选项不符合题意； 当添加时，不能判断与全等，所以选项符合题意； 当添加时，，所以选项不符合题意； 当添加时，，所以选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 8．（2023秋•巴南区期末）如图，，，添加下面条件不能判断的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用等式的性质可得，然后利用全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：， ， ， 、，，， 和不一定全等， 故符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 、，，， ， 故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 9．（2024春•上海期末）如图，在和，、、、在同一直线上，，，当添加条件 　或　时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）． 【分析】要使，已知，，，具备了两边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法进行解答即可． 【解答】解：可添加，利用得到； 可添加，利用得到； 故答案为：或． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．添加时注意：、不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．注意本题答案不唯一． 10．（2023秋•徐州期末）已知：如图，在中，，，于点，，求证：． 【分析】由垂直的定义可知，，由平行线的性质可得，，进而由可得结论． 【解答】证明：，， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定，垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础． 11．（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 【分析】（1）由证明，根据对应边相等求得的长； （2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值． 【解答】解：（1），， ， ． 又，， ， ． （2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． ②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，． ，， 当时，． ，， ，解得． 综上，或2． 【点评】本题考查全等三角形的判定．这部分内容是初中几何中非常重要的内容，一定要深刻理解，做到活学活用． 四．直角三角形全等的判定（共3小题） 12．（2023秋•潮南区期末）如图所示，是的中线，，，垂足分别为，，．求证：． 【分析】先根据直角三角形的性质得出，再由全等三角形的判定定理即可得出结论． 【解答】证明：是的中线， ， ，， ， ， 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，熟记定理内容是解题关键． 13．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【分析】先判断为等腰直角三角形得到，然后根据“”证明． 【解答】证明：， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了直角三角形全等的判定：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 14．（2022秋•雄县校级期末）如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由已知条件，证明，再利用角与角之间的关系求证，即可证明； （2）同（1），先证，再利用角与角之间的关系求证，即可证明． 【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ． ，． ，， ． ． ． （2）．理由如下： 同（1）一样可证得． ，， ， ，即， ． 【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，借助全等三角形的性质得到相等的角，然后证明垂直是经常使用的方法，注意掌握、应用． 五．全等三角形的判定与性质（共3小题） 15．（2024春•松江区期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，联结，过点作的垂线，垂足为，交于点． （1）若，求的度数； （2）试说明的理由． 【分析】（1）由题干得出是角平分线，所以，进而在中求角度即可； （2）利用等角转换证，先证，，之后即可证出． 【解答】解：（1），是中线，， ， ， ， ， ． （2），是中线， ，即， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 16．（2023秋•兴宾区期末）如图，点、、、在一条直线上，，，交于． （1）求证：； （2）若．求证：． 【分析】（1）平行线的性质得出，进而利用证明即可； （2）根据全等三角形的判定和性质得出与全等，进而利用全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【解答】证明：（1）， ， 在与中 ， ； （2）， ， ， ， 在与中 ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键． 17．（2023秋•临江市期末）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断： 　　（用“”、“ ”、“ ”填空）； （2）探究：与之间的关系； （3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案； （2）由条件可得出，可证得，可得结论； （3）根据题意画出图形，结合（1）可证得，可得结论． 【解答】解：（1）设、交于， 、是高， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）结论：，， 证明：、是的高， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 而， ， 即， ； 即，； （3）上述结论成立，理由如下： 如图所示： 、是的高， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 六．全等三角形的应用（共3小题） 18．（2024春•荥阳市期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设，两点分别为茗阳阁底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性； （2）如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）由甲和乙的方案比较即可得到结论． 【解答】解：（1）甲同学的方案： 在与中， ， ， ， （2）乙同学的方案： ， ， 在与中， ， ， ． （2）选择甲同学的方案， 理由：甲同学的方案测量简单，好操作． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 19．（2023秋•夏邑县期末）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　甲　（填“甲”或“乙” ，并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　　． 【分析】（1）甲同学作出的是全等三角形，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的； （2）甲根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）甲同学的方案可行． 理由：由题意得， 在与中， ， ， ， 故甲同学的方案可行． （2）； 理由： ， 在与中， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 20．（2024春•未央区月考）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度． 【分析】根据，得出，，结合角的等量代换得出，即可证明，然后进行边的运算，即可作答． 【解答】解：由题意得． ，， ． 在与中， ， ． ，， ， 即． 答：博智楼的高度是18米． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是全等三角形判定定理的应用． 七．角平分线的性质（共3小题） 21．（2023秋•广安期末）如图，于，于，和交于，且，求证：平分． 【分析】先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【解答】证明：于，于， ． 在与中， ， ， ， 平分． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键． 22．（2023秋•大同期末）已知：如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、，点是上的另一点，连接，．求证：． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用“边角边”证明和全等，然后利用全等三角形对应边相等证明即可． 【解答】证明：是的平分线，，， ， 在和中，， ， ， 是的平分线， ， 在和中，， ， ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，难点在于二次证明三角形全等． 23．（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【分析】（1）利用角平分线的性质以及三角形外角的性质得出即可； （2）首先过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，又由在中，，，求得，又由，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得； （3）过点作于．作于，连接，根据角平分线的性质，可得，由，即可求得，，继而求得，利用，即可证得，由全等三角形的对应边相等，即可证得． 【解答】解：（1）、分别是、的平分线， ，， ，， ； （2）相等， 理由：如图①，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 在中，，， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ； （3）成立． 理由：如图②，过点作于．作于，连接， 是角平分线交点， 也是角平分线， ，， 四边形是圆内接四边形， ， ， ， ． 又，， ， 在和中， ， ． 【点评】此题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法． 八．作图—尺规作图的定义（共2小题） 24．（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 【分析】如图，由作图可知，，．根据证明． 【解答】解：如图，由作图可知，，． 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查作图尺规作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 25．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 【分析】（1）根据角平分线的作法作出图形即可； （2）根据线段垂直平分线的作法作出图形即可． 【解答】解：（1）如图所示； （2）如图所示． 【点评】本题考查了作图尺规作图的定义，三角形的角平分线、中线和高，正确地作出图形是解题的关键． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 【分析】直角三角形全等的判定方法：，，，，，做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证． 【解答】解：、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、全等三角形的判定必须有边的参与，故本选项错误，符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意； 、符合判定，故本选项正确，不符合题意． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形全等的判定方法，判定两个直角三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 2．（2022•金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 【分析】根据全等三角形对应角相等解答即可． 【解答】解：两个三角形全等， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟记性质并准确识图，确定出对应角是解题的关键． 3．如图所示，已知，，、相交于点，则图中全等三角形共有　　 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】从已知条件入手，结合全等的判定方法，通过分析推理，一一进行验证，做到由易到难，不重不漏． 【解答】解：在和中， ； ， ，， ， 在和中， ； ， 在和中， ； 在和中， ． 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 4．如图，，，为的三边长，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 【分析】根据全等三角形的判定一一判断即可． 【解答】解：根据可以判定乙与全等，根据可以判定丙与全等， 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．（2023秋•雨花区期末）如图所示，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】证明，根据全等三角形的性质可得，，即可求解． 【解答】解：、是锐角的高， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 6．（2023秋•成武县期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，是三条角平分线的交点，则等于　　 A． B． C． D． 【分析】利用角平分线上的一点到角两边的距离相等的性质，可知三个三角形高相等，底分别是20，30，40，所以面积之比就是． 【解答】解：过点作于，于，于， 点是内心， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了角平分线性质，三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 7．（2024•甘谷县校级三模）在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是　　 A．3 B．4 C．5 D．7 【分析】由角平分线的性质，线段的和差，等量代换，求得点到直线的距离为3． 【解答】解：过点作交于点， 如图所示： ， ， 又是的角平分线，， ， 又，，， ， ， 即点到的距离是3， 故选：． 【点评】本题综合考查了角平分线的性质和线段的和差，等量代换等知识点，重点掌握角平分线的性质． 8．（2023秋•夏津县期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【分析】根据全等三角形的性质可得，，然后由求出的值，即可获得答案． 【解答】解：，，， ，， 点、、在同一直线上， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质是解题的关键． 9．（2022春•高州市期中）如图，在中，，，，若，则的度数为　　 A．48 B． C． D．84 【分析】由等腰三角形的性质可得，由“”可证，可得，由三角形外角的性质可得，即可求的度数． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，熟练运用全等三角形的性质是本题的关键． 10．（2021秋•张家川县期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，过作，垂足为，交的延长线于点，连结．四边形的面积为12，，则的长是　　 A．2 B．2.5 C．3 D． 【分析】证明，得，证明，同理，得，然后求得的面积，进而得到的长． 【解答】解：在与中， ， ， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， 同理：， ， ， ， ， ， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形面积等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，解题时注意：全等三角形的面积相等． 二．填空题（共8小题） 11．（2022春•元阳县期末）已知的三边长为，3，6，的三边长为5，6，．若与全等，则的值为 　8　． 【分析】根据全等三角形对应边相等解答即可． 【解答】解：因为与全等， 所以，， 所以， 故答案为：8． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质并准确识图是解题的关键． 12．（2023秋•于都县期末）如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 　或或或（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【分析】由全等三角形的判定定理可求解． 【解答】解：若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 若添加，且，由“”可证； 故答案为：或或或（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键． 13．如图是的平分线，于点，，，则的长是　5　． 【分析】根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：如图， 过点作于点， 是的平分线，， ， ， 即 ． 故答案为5． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质． 14．（2022秋•天河区校级期末）在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是 　　． 【分析】延长到，使，连接，证明，推出，在中，根据三角形三边关系定理得出，代入求出即可． 【解答】解：延长到，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理的应用，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 15．（2021秋•龙岩校级期中）如图，、分别是四边形的边、上的点，，，，则的周长为 　4　． 【分析】延长至，设，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，再证明，得出，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：延长至，设，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 16．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，已知是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点作射线，则是的平分线，其理由是　　． 【分析】由作图过程可得，，再加上公共边可利用定理判定． 【解答】解：在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合， ，， 在和中， ， ， 故答案为： 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 17．如图，在中，，，于，于，，，则的长是 　2　． 【分析】证明，根据全等三角形的性质计算即可． 【解答】解：，， ， 在和中， ， ， ，， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 18．如图，四边形中，，，，则四边形的面积为 　18　． 【分析】根据已知线段关系，将绕点逆时针旋转，与重合，得到，证明、、三点共线，则是等腰直角三角形，四边形面积转化为面积． 【解答】解：，且， 将绕点逆时针旋转，与重合，得到． ，． 根据四边形内角和，可得 ． 、、三点共线． 是等腰直角三角形． 四边形面积面积； 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的性质以及转化思想，解决这类问题要结合已知线段间的数量关系和位置关系进行选择，使不规则图形转化为规则图形． 三．解答题（共6小题） 19．（2023秋•东阳市期末）如图，，，，求证：． 【分析】求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【解答】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 20．如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 【分析】（1）过作的延长线与，根据全等三角形的判定证得，得到，再证得得到，即可证得即可证得结论； （2）由（1）得，，，根据全等三角形的性质得到，，再根据线段的和差即可证得结论． 【解答】证明：（1）过作的延长线与， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是的中点； （2）由（1）得，，， ，， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解决问题的关键． 21．（2023秋•凉州区校级期末）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，即可证明； （2）设与交于点，由得到从而证明即可得到答案． 【解答】（1）证明：与均为等腰直角三角形， ，，， ，即， ， ； （2）解：设与交于点， ， ， 又， ； ． 【点评】本题主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质是解题的关键． 22．（2023秋•江州区期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　． （2）线段的长度为何值时，，请说明理由． （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【分析】（1）由平角的定义和三角形外角的性质可求，的度数； （2）当时，由“”可证； （3）分，，三种情况讨论，由三角形内角和和三角形外角的性质可求的度数． 【解答】解：（1），且，， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）当时，， 理由如下： ，，， ，且，， ； （3）若时， ，， ， ， ， ， 若时， ，， ， ， ， ， ， 若时，， ， 此时与重合，不合题意，舍去． 综上所述：当或时，的形状可以是等腰三角形． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 23．（2021秋•昭阳区校级期末）如图①，，平分，平分． （1）求的度数； （2）如图②，过点的直线交射线于点，交射线于点．求证：． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，，于是得到结论； （2）在上截取，连接，根据全等三角形的性质得到，，等量代换即可得到结论． 【解答】解：（1）， ， 平分，平分， ，， ， ； （2）在上截取，连接， 在与中， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 24．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 【分析】（1）根据直线，直线得，而，根据等角的余角相等得，由证得，则，，即可得出结论； （2）由，则，得出，由证得即可得出答案； （3）由，，可得，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出即可得出结果． 【解答】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：结论成立；理由如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：，， ， 在和中， ， ， ， 设的底边上的高为，则的底边上的高为， ，， ， ， ， 与的面积之和为8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 全等三角形全章复习与测试 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式，而且要用利用图形全等的解决实际生活中存在的问题. 2.掌握角的平分线的性质和判定，会应用角的平分线的性质和判定解决相关问题 知识点一、全等形 形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形. 要点归纳：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等. 知识点二、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 知识点三、对应顶点，对应边，对应角 1. 对应顶点，对应边，对应角定义 两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角. 要点归纳： 在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2. 找对应边、对应角的方法 （1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边； （2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角； （3）有公共边的，公共边是对应边； （4）有公共角的，公共角是对应角； （5）有对顶角的，对顶角一定是对应角； （6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等. 知识点四、全等三角形的性质 　　全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等. 要点归纳：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具. 知识点五、全等三角形的性质与判定 1.全等三角形的性质 全等三角形对应边相等，对应角相等. 2.全等三角形的判定定理 全等三角形判定1——“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. “ 全等三角形判定2——“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 全等三角形判定3——“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 全等三角形判定4—— “边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点归纳：（1）如何选择三角形证全等，可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点六、判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 　　　 已知条件 　　可选择的判定方法 　　一边一角对应相等 　　SAS AAS ASA 　　两角对应相等 　　ASA AAS 　　两边对应相等 　　SAS SSS 知识点七、如何选择三角形证全等 1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； 2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； 3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； 4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 知识点八、全等三角形证明方法 全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.可以适当总结证明方法. 1． 证明线段相等的方法： (1) 证明两条线段所在的两个三角形全等. (2) 利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等. (3) 等式性质. 2． 证明角相等的方法： (1) 利用平行线的性质进行证明. (2) 证明两个角所在的两个三角形全等. (3) 利用角平分线的判定进行证明. (4) 同角（等角）的余角（补角）相等. (5) 对顶角相等. 3． 证明两条线段的位置关系（平行、垂直）的方法； 可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明. 4． 辅助线的添加: (1)作公共边可构造全等三角形； (2)倍长中线法； (3)作以角平分线为对称轴的翻折变换全等三角形； (4)利用截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形. 5. 证明三角形全等的思维方法: （1）直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件. （2）如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件. （3）如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质. 一．全等图形（共2小题） 1．（2023秋•凤山县期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•无锡期末）下列说法中，正确的是　　 A．面积相等的两个图形是全等图形 B．形状相等的两个图形是全等图形 C．周长相等的两个图形是全等图形 D．能够完全重合的两个图形是全等图形 二．全等三角形的性质（共3小题） 3．（2023秋•公主岭市期末）如图，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 5．（2024春•新郑市期末）如图，已知，其中和，与是对应边，点在边上，与交于点． （1）求证：； （2）若，求的度数． 三．全等三角形的判定（共6小题） 6．（2024春•新郑市期末）下列所给的四组条件中，能作出唯一三角形的是　　 A． B．，， C．，， D．，， 7．（2024春•昆山市期末）如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，添加下列一个条件，仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 8．（2023秋•巴南区期末）如图，，，添加下面条件不能判断的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•上海期末）如图，在和，、、、在同一直线上，，，当添加条件 　　时，就可得到（只需填写一个你认为正确的条件即可）． 10．（2023秋•徐州期末）已知：如图，在中，，，于点，，求证：． 11．（2023秋•望城区期末）如图，的两条高与交于点，，． （1）求的长； （2）是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值． 四．直角三角形全等的判定（共3小题） 12．（2023秋•潮南区期末）如图所示，是的中线，，，垂足分别为，，．求证：． 13．（2023秋•浦北县期末）如图所示，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 14．（2022秋•雄县校级期末）如图，在中，，是过点的直线，于，于点； （1）若、在的同侧（如图所示）且．求证：； （2）若、在的两侧（如图所示），且，其他条件不变，与仍垂直吗？若是请给出证明；若不是，请说明理由． 五．全等三角形的判定与性质（共3小题） 15．（2024春•松江区期末）如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，联结，过点作的垂线，垂足为，交于点． （1）若，求的度数； （2）试说明的理由． 16．（2023秋•兴宾区期末）如图，点、、、在一条直线上，，，交于． （1）求证：； （2）若．求证：． 17．（2023秋•临江市期末）如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断： 　　（用“”、“ ”、“ ”填空）； （2）探究：与之间的关系； （3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 六．全等三角形的应用（共3小题） 18．（2024春•荥阳市期末）茗阳阁位于河南省信阳市浉河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日，是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一．设，两点分别为茗阳阁底座的两端（其中，两点均在地面上）．因为，两点间的实际距离无法直接测量，某学习小组分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长即可得线段的长． （1）请用所学知识论证甲、乙两种方案的合理性； （2）如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 19．（2023秋•夏邑县期末）鹿邑老子文化广场位于河南省周口市鹿邑县太清宫镇，在太清宫对面，与太清宫相互辉映．广场中央矗立着地标性建筑老子雕像，总高27米，、两点分别为雕像底座的两端（其中、两点均在地面上）．因为、两点间的实际距离无法直接测量，甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可． 乙：如图2，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可． （1）甲、乙两同学的方案哪个可行？　　（填“甲”或“乙” ，并说明方案可行的理由； （2）对于（1）中不可行的方案，请添加一个使该方案可行的条件：　　． 20．（2024春•未央区月考）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼的高度．他们的测量方案如下：在大树与博智楼之间找到一点，使得此时树的顶端点处的视线与博智楼的顶端处的视线交于点，此时，测量得知与互余，且米，米．请你求出博智楼的高度． 七．角平分线的性质（共3小题） 21．（2023秋•广安期末）如图，于，于，和交于，且，求证：平分． 22．（2023秋•大同期末）已知：如图，是的平分线，是上的一点，，，垂足分别为、，点是上的另一点，连接，．求证：． 23．（2023秋•黄冈期末）如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． （1）求证：； （2）请你判断并与之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 八．作图—尺规作图的定义（共2小题） 24．（2023秋•凉州区校级期末）如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是　　 A． B． C． D． 25．（2023秋•诸暨市校级月考）如图所示，已知，用直尺和圆规作：（保留作图痕迹，不要求写作法） ①的角平分线； ②边上的中线． 一．选择题（共10小题） 1．（2023秋•贵池区期末）下列条件，不能判定两个直角三角形全等的是　　 A．斜边和一直角边对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一锐角和斜边对应相等 D．两条直角边对应相等 2．（2022•金华模拟）如图所示的两个三角形全等，则的度数是　　 A． B． C． D． 3．（2020春•浦东新区期末）如图所示，已知，，、相交于点，则图中全等三角形共有　　 A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 4．如图，，，为的三边长，则甲、乙、丙三个三角形中和全等的是　　 A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．只有丙 5．（2023秋•雨花区期末）如图所示，、是锐角的高，相交于点，若，，，则的长为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 6．（2023秋•成武县期中）如图，的三边，，的长分别为20，30，40，是三条角平分线的交点，则等于　　 A． B． C． D． 7．（2024•甘谷县校级三模）在中，，的角平分线交于点，，，则点到的距离是　　 A．3 B．4 C．5 D．7 8．（2023秋•夏津县期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 9．（2022春•高州市期中）如图，在中，，，，若，则的度数为　　 A．48 B． C． D．84 10．（2021秋•张家川县期末）如图，在和中，，，，过作，垂足为，过作，垂足为，交的延长线于点，连结．四边形的面积为12，，则的长是　　 A．2 B．2.5 C．3 D． 二．填空题（共8小题） 11．（2022春•元阳县期末）已知的三边长为，3，6，的三边长为5，6，．若与全等，则的值为 　　． 12．（2023秋•于都县期末）如图，，，垂足分别为，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 　　．（写出一个即可） 13．如图是的平分线，于点，，，则的长是　　． 14．（2022秋•天河区校级期末）在中，是边上的中线，若，，则的取值范围是 　　． 15．（2021秋•龙岩校级期中）如图，、分别是四边形的边、上的点，，，，则的周长为 　　． 16．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，已知是任意一个角，在边，上分别截取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，过角尺顶点作射线，则是的平分线，其理由是　　． 17．如图，在中，，，于，于，，，则的长是 　　． 18．如图，四边形中，，，，则四边形的面积为 　　． 三．解答题（共6小题） 19．（2023秋•东阳市期末）如图，，，，求证：． 20．如图，，，三点共线，，，三点共线，，于点，． （1）求证：是的中点； （2）求证：． 21．（2023秋•凉州区校级期末）如图，与均为等腰直角三角形，连接，，相交于点． （1）求证：； （2）求的大小． 22．（2023秋•江州区期末）如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　． （2）线段的长度为何值时，，请说明理由． （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 23．（2021秋•昭阳区校级期末）如图①，，平分，平分． （1）求的度数； （2）如图②，过点的直线交射线于点，交射线于点．求证：． 24．（1）如图①，已知：中，，，直线经过点，于，于，求证：； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：中，，、、三点都在直线上，并且，为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在中，是钝角，，，，直线与的延长线交于点，若，的面积是16，求与的面积之和． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$