第01讲 分式（5大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第01讲 分式 课程标准 学习目标 1. 分式的概念 2. 分式的基本性质 1. 掌握分式的概念，能够熟练判断分式． 2. 掌握分式的基本性质，能进行分式的约分. 知识点01 分式的概念 1． 分式的概念： 2． 一个 除以一个 （g中含有字母），所得的商记作，把代数式 叫作 ，其中f是分式的 ，g是分式的 . 【即学即练1】 1．下列各式：，，，，，，其中分式共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 分式的值存在或不存在的条件 1.分式的值存在或不存在的条件： 当分母g 时，分式的值存在，此时，也说分式 ，当分母g 0，分式的值不存在，也说分式 . 【即学即练1】 1．要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 知识点03 分式的值为0的条件 1.分式的值为0的条件： 当分子f 0时，分式的值为0. 【即学即练1】 1.若分式的值为0，则的值为（   ） A． B．7 C．7或 D．49 知识点04 分式的基本性质 1.分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个 ，所得的分式与 ，即对于分式，有 (h≠0). 【即学即练1】 1.若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．保持不变 D．缩小为原来的倍 知识点05 分式的约分 1. 分式的约分： 根据分式的基本性质，把一个分式的 与 的公因式约去（即分子与分母都除以它们的 ），叫作分式的约分.分子与分母没有 的分式叫作最简公分式. 【即学即练1】 1．化简 得（   ） A． B． C． D． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 题型01 判断分式 【典例1】下列各式：，，，，，，只是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1】下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】若是分式，则可以是（       ） A．π B．x C．0 D．2024 题型02 分式有意义和为零的条件 【典例1】下列关于分式的说法中，错误的有（    ） ①分数一定是分式，②分式的分子中一定含有字母；③对于任意有理数x，分式总有意义；④当，时，分式的值为0（A，B是整式） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【变式2】要使分式有意义，的取值应满足 ． 【变式3】若分式的值是零，则的值为 ． 题型03 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 题型04 分式的约分 【典例1】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 1．下列代数式中，其中是分式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 3．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 4．下面选项的值使分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 5．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 6．若，则（　　） A．2 B． C．或 D． 7．小张同学在化简分式时得到的结果为，部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测部分的代数式应该是（    ） A． B． C． D． 8．化简 得（   ） A． B． C． D． 9．若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 10．设，，，则三数，，中（    ） A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 11．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ． 12．分式与的最简公分母是 ，通分后的结果是 、 ． 13．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 14．已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 15．当时，分式无意义，则的值为 ． 16．已知分式（其中为常数）满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值为 值为 则的值为 ． 17．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 18．约分的结果是 19．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 20．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 分式 课程标准 学习目标 1. 分式的概念 2. 分式的基本性质 1. 掌握分式的概念，能够熟练判断分式． 2. 掌握分式的基本性质，能进行分式的约分. 知识点01 分式的概念 1． 分式的概念： 2． 一个整式f除以一个非零整式g（g中含有字母），所得的商记作，把代数式 叫作分式，其中f是分式的 分子 ，g是分式的分母 . 【即学即练1】 1．下列各式：，，，，，，其中分式共有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义和形式是解题的关键． 形如的形式，是整式，中含有字母，则是分式，由此即可求解． 【详解】解：，分母中不含字母，不是分式； ，是分式； ，是整式，不是分式； ，是分式； ，是分式； ，是单项式，属于整式，不是分式，是常数； ∴分式共有3个， 故选： B． 方法归纳：判断一个代数式是否是分式，关键看它的分母中是否含有字母. 知识点02 分式的值存在或不存在的条件 1.分式的值存在或不存在的条件： 当分母g ≠ 0时，分式的值存在，此时，也说分式有意义，当分母g = 0，分式的值不存在，也说分式无意义. 【即学即练1】 1．要使分式有意义，x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题时注意分式的分母不等于零，否则无意义．分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：要使分式有意义，的取值应满足， 解得， 故选：C 知识点03 分式的值为0的条件 1.分式的值为0的条件： 当分子f = 0时，分式的值为0. 【即学即练1】 1.若分式的值为0，则的值为（   ） A． B．7 C．7或 D．49 【答案】A 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式的值为0，要求分子为0，分母不等于0，即可求解． 【详解】∵分式的值为0， ∴且， 解得：， 故选：A 知识点04 分式的基本性质 1.分式的基本性质： 分式的分子与分母都乘同一个 非零整式 ，所得的分式与 原分式 ，即对于分式，有 (h≠0). 【即学即练1】 1.若把分式中的和同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍 C．保持不变 D．缩小为原来的倍 【答案】C 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式中的和同时扩大为原来的2倍，得出，再整理得，即可作答． 【详解】解：∵分式中的和同时扩大为原来的2倍， 则扩大后的分式为， ∴则分式的值保持不变， 故选：C． 知识点05 分式的约分 1. 分式的约分： 根据分式的基本性质，把一个分式的 分子 与 分母 的公因式约去（即分子与分母都除以它们的 公因式 ），叫作分式的约分.分子与分母没有 公因式 的分式叫作最简公分式. 【即学即练1】 1．化简 得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的约分，先把分式的分子与分母分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故选B． 2．下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了最简分式，分子和分母中除了1以外，没有其它公因式的分式叫做最简分式，熟练掌握最简分式的定义和分式的约分是解题的关键．根据最简分式的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意； B．，是最简分式，故选项符合题意； C．，故选项不是最简分式，不符合题意； D．，故选项不是最简分式，不符合题意． 故选：B． 题型01 判断分式 【典例1】下列各式：，，，，，，只是分式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，根据分式的定义进行判断即可求解． 【详解】解：，，是分式， 故选：B． 【变式1】下列各式：中，是分式的共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的定义：形如， A、B是整式，且B中含有字母，这样的式子叫做分式．注意是常数，不是字母． 【详解】解：在中，分式有，共2个． 故选B． 【变式2】若是分式，则可以是（       ） A．π B．x C．0 D．2024 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的概念，根据分式的分母必须是未知数（不能是具体数）即可解答，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【详解】∵是分式， ∴必须是未知数， ∴是圆周率是个无理数，只有x是未知数， 故选：B． 题型02 分式有意义和为零的条件 【典例1】下列关于分式的说法中，错误的有（    ） ①分数一定是分式，②分式的分子中一定含有字母；③对于任意有理数x，分式总有意义；④当，时，分式的值为0（A，B是整式） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件．根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，即可判断． 【详解】解：①分数不是分式；原说法错误； ②分式的分子中不一定含有字母；原说法错误； ③对于任意有理数x，分式总有意义；原说法正确； ④当，时，分式的值为0（A，B是整式）原说法正确； 综上，①②的说法错误． 故选：B． 【变式1】分式中，当时，下列结论正确的是（    ） A．分式的值为零 B．分式无意义 C．若时，分式的值为零 D．若时，分式的值为零 【答案】D 【分析】本题主要考查分式的有意义的条件、分数值为零的条件，解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果． 【详解】当时， ， 即， 解得： ， 当，时，分式的值为零 故选：D． 【变式2】要使分式有意义，的取值应满足 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式有意义的条件是分母不为． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3】若分式的值是零，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的值为零的条件：分子为且分母不为、含绝对值的方程，熟练掌握分式的值为及有意义的条件是解题关键．根据分式的值为及有意义的条件判断即可． 【详解】解：由题得且， 解得：， 故答案为：． 题型03 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【典例1】若x，y的值均扩大为原来的2倍，下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是掌握分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数或式子，分式值不变，据此逐个判断即可． 【详解】解：当x，y的值均扩大为原来的2倍， A.变为，分式值不变，符合题意； B.变为，分式值改变，不符合题意； C.变为，分式值改变，不符合题意； D.变为，分式值改变，不符合题意； 故选：A． 【变式1】不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：． 故选：D 题型04 分式的约分 【典例1】下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义：分子和分母中不含公因式的分式，叫做最简分式，对四个选项中的分式一一判断即可得出答案． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D。 1．下列代数式中，其中是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的定义，掌握其定义是解决此题的关键．判断分式的主要依据是看分母中是否含有字母； 如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，据此判断，即可解题． 【详解】解：A、不是分式，不符合题意； B、不是分式，不符合题意； C、是分式，符合题意； D、不是分式，不符合题意； 故选：C． 2．下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的定义，对于两个整式M、N，若M中含有字母，那么形如的式子叫做分式，据此逐一判断即可． 【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中只有A选项中的式子是分式， 故选：A． 3．等式成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查使得分式有意义的条件，由题意直接根据分母不为0进行分析计算即可. 【详解】解：由题意可得 ，且， 解得： 故选：B. 4．下面选项的值使分式无意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是解题关键．若分式无意义，则有分母为0，据此即可获得答案． 【详解】解：若分式无意义，则有， 解得， ∴能使分式 无意义的是． 故选：A． 5．已知时，分式无意义；时，分式的值为0，则的值为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为0的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为0可得，求出a，b的值，再把a，b的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵当时，分式无意义， ∴， 解得：， 当时，分式的值为0， 即， 解得：， ∴， 故选：D． 6．若，则（　　） A．2 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件以及绝对值的意义，由题意知，，解得，要是分式方程有意义，则，解得，，进而可求x的值． 【详解】解：由题意知，，解得， 又∵， 解得，， ∴． 故选：B． 7．小张同学在化简分式时得到的结果为，部分不小心用橡皮擦掉了，请你推测部分的代数式应该是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键. 【详解】将分式化简后得， . 部分的代数式为， 故选B. 8．化简 得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的约分，先把分式的分子与分母分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故选B． 9．若是整数，则使分式的值为整数的值有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先将假分式分离可得出，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴ 解得： ， 其中x的值为整数有：共4个． 故选：C． 10．设，，，则三数，，中（    ） A．都不大于－2 B．都不小于－2 C．至少有一个不大于－2 D．至少有一个不小于－2 【答案】C 【分析】首先把三个数相加，得到，由已知可知，，，可得，据此即可判定． 【详解】解：， ，，， ，，，当且仅当时，取等号 ， 当这三个数都大于-2时，这三个数的和一定大于-6，这与矛盾， 这三个数中至少有一个不大于-2， 故选：C． 11．已知分式的值为2．若其中的x，y的值都变为原来的3倍，则变化后分式的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，灵活运用分式的基本性质成为解题的关键． 根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：6． 12．分式与的最简公分母是 ，通分后的结果是 、 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的通分，分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答． 【详解】分式与的最简公分母是， ， 故答案为：；；． 13．下列各式中，最简分式有 个． ①；②；③；④； 【答案】 【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可， 掌握最简分式的概念是解题的关键． 【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意； ②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； ④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意； 综上，最简分式有个， 故答案为：． 14．已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键． 【详解】解：∵时，分式 无意义， ∴， ∴， ∵时，分式 的值为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．当时，分式无意义，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式无意义，分母等于0分别列方程求解即可． 【详解】∵当时，分式无意义， ∴当时，， 代入得，解得， 故答案为：． 16．已知分式（其中为常数）满足表格中的信息： 的取值 分式 无意义 值为 值为 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． 根据表格信息，分别把代入分式，可求出的值，再把的值代入，根据解分式方程的方法即可求解． 【详解】解：当时，分式无意义，则， 解得，； 当时，， 解得，； ∴当时，，且 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴是分式方程的解， 故答案为： ． 17．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 18．约分的结果是 【答案】 【分析】本题主要考查了约分，根据约分的方法进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19．不改变分式的值，使分子和分母中的最高次项系数都为正数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案； （2）运用分式的基本性质在分子分母都乘以即可得出正确答案． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【点睛】本题考查的是分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题关键． 20．不改变分式的值，把分式中分子与分母各项的系数都化为整数． 【答案】 【分析】 本题考查了分式的性质，原分式的分子、分母分别乘以即可求解．理解并掌握分式的基本性质是解决问题的关键． 【详解】 解：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$