导数与函数的单调性课件-2025届高三数学一轮复习

第二节　导数与函数的单调性 ⁠ 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）. CONTENTS 01 02 /目录 　　　　 　　　　知识·逐点夯实 　　　考点·分类突破 CONTENTS /目录 01 目录 ⁠ 　函数的单调性与导数的关系 函数y＝f（x）在区间（a，b）内可导，则： （1）若 　f'（x）＞0　⁠，则f（x）在区间（a，b）内是单调递增函数； （2）若 　f'（x）＜0　⁠，则f（x）在区间（a，b）内是单调递减函数； （3）若恒有 　f'（x）＝0　⁠，则f（x）在区间（a，b）内是常数函数. 提醒　讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则. f'（x）＞0　 f'（x）＜0　 f'（x）＝0　 目录 ⁠ 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数f（x）在（a，b）内单调递增，那么一定有f'（x）＞0. （　　） 答案：（1）×　 （2）如果f（x）在某个区间内恒有f'（x）＝0，则f（x）在此区间内没有单调性. （　　） （3）若函数f（x）在定义域上都有f'（x）＞0，则f（x）在定义域上一定单调递增. （　　） 答案：（2）√　 答案：（3）× 目录 2.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f'（x）的图象，则下列判断正确的是 （　　） A.在区间（－2，1）上f（x）单调递增 B.在区间（1，3）上f（x）单调递减 C.在区间（4，5）上f（x）单调递增 D.在区间（3，5）上f（x）单调递增 解析：C　在（4，5）上f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在区间（4，5）上单调递增. 目录 3.函数y＝4x2＋的单调递增区间为 　　　　⁠.  解析：由y＝4x2＋（x≠0），得y'＝8x－，令y'＞0，即8x－＞0，解得x＞，∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为. 答案： 目录 ⁠ 1.若函数f（x）在区间（a，b）上递增，则f'（x）≥0，所以“f'（x）＞0在（a，b）上成立”是“f（x）在（a，b）上单调递增”的充分不必要条件. 2.可导函数f（x）在（a，b）上单调递增（减）的充要条件是∀x∈（a，b），f'（x）≥0（f'（x）≤0）且f'（x）在（a，b）上的任何子区间内都不恒为零. ⁠ 1.（多选）（2023·贵阳一模）下列选项中，在R上是增函数的有 （　　） A.f（x）＝x4 B.f（x）＝x－sin x C.f（x）＝xex D.f（x）＝ex－e－x－2x 目录 解析：BD　由f（x）＝x4得f'（x）＝4x3，当x＞0时，f'（x）＝4x3＞0，则f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＝4x3＜0，则f（x）单调递减，故A不满足题意；由f（x）＝x－sin x得f'（x）＝1－cos x≥0，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f（x）＝x－sin x在R上单调递增，故B满足题意；由f（x）＝xex得f'（x）＝（1＋x）ex，当x＞－1时，f'（x）＞0，则f（x）单调递增；当x＜－1时，f'（x）＜0，则f（x）单调递减，故C不满足题意；由f（x）＝ex－e－x－2x得f'（x）＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当x＝0时等号成立，显然f'（x）不恒为零，由结论2知f（x）＝ex－e－x－2x在R上单调递增，故D满足题意.故选B、D. 目录 2.已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是增函数，则a的最大值是 　　　　⁠.  解析：f'（x）＝3x2－a，由结论1知f'（x）≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞），∴a≤3，即a的最大值是3. 答案：3 目录 02 目录 ⁠ 证明（判断）函数的单调性 【例1】　 （1）（2022·北京高考·节选） 已知函数f（x）＝exln（1＋x），设g（x）＝f'（x），讨论函数g（x）在[0，＋∞）上的单调性； 目录 解　（1）g（x）＝f'（x）＝ex， 则g'（x）＝ex， 设h（x）＝ln（1＋x）＋－，x∈[0，＋∞）， 则h'（x）＝－＋＝＞0， 故h（x）在[0，＋∞）上单调递增， 故h（x）≥h（0）＝1＞0， 因此g'（x）＞0对任意的x∈[0，＋∞）恒成立， 故g（x）在[0，＋∞）上单调递增. 目录 （2）已知函数f（x）＝ln x－a（x＋1），讨论函数f（x）的单调性. 解　（2）由题意得，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－a＝. 当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，∴f（x）在（0，＋∞）上单调递增. 当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜；令f'（x）＜0，解得x＞. ∴f（x）在上单调递增，在上单调递减. 综上，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；当a＞0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减. 目录 ｜解题技法｜ 讨论函数f（x）单调性的步骤 （1）确定函数f（x）的定义域； （2）求导数f'（x），并求方程f'（x）＝0的根； （3）利用f'（x）＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f'（x）的正负，由符号确定f（x）在该区间上的单调性. 提醒　研究含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 目录 ⁠ 　已知函数f（x）＝（m≥0），其中 e为自然对数的底数，讨论函数f（x）的单调性. 解：由题得f'（x）＝－＝－， 当m＝0，即1－m＝1时，f'（x）＝－≤0，f（x）在R上单调递减； 当m＞0，即1－m＜1时，令f'（x）＜0得x＜1－m或x＞1，令f'（x）＞0得1－m＜x＜1， ∴f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单调递增. 综上，当m＝0时，f（x）在R上单调递减，当m＞0时，f（x）在R上单调递减；f（x）在（－∞，1－m）和（1，＋∞）上单调递减，在（1－m，1）上单调递增. 目录 求函数的单调区间 【例2】　已知函数f（x）＝aex－2－x，其中a∈R，e为自然对数的底数，求函数f（x）的单调区间. 解　由题可得函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝aex－1， 当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减； 当a＞0时，f'（x）＝a，令f'（x）＝0，可得x＝－ln a， 当x＜－ln a时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞－ln a时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递减区间为R，无单调递增区间；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（－∞，－ln a），单调递增区间为（－ln a，＋∞）. 目录 ｜解题技法｜ 利用导数求函数单调区间的方法 （1）当导函数不等式可解时，解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0求出单调区间； （2）当方程f'（x）＝0可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定各区间f'（x）的符号，从而确定单调区间； （3）若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f'（x）的结构特征，利用图象与性质确定f'（x）的符号，从而确定单调区间. 提醒　若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”隔开. 目录 ⁠ 1.函数f（x）＝x＋＋2ln x的单调递减区间是（　　） A.（－3，1） B.（0，1） C.（－1，3） D.（0，3） 解析：B　法一：令f'（x）＝1－＋＜0（x＞0），得0＜x＜1，故所求函数的单调递减区间为（0，1）.故选B. 法二：由题意知x＞0，故排除A、C选项；又f（1）＝4＜f（2）＝＋2ln 2，故排除D选项.故选B. 目录 2.已知定义在区间（－π，π）上的函数f（x）＝xsin x＋cos x，则f（x）的单调递增区间是 　　　　⁠.  解析：f'（x）＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.令f'（x）＝xcos x＞0（x∈（－π，π）），解得－π＜x＜－或0＜x＜，故函数f（x）的单调递增区间是和. 答案：和 目录 函数单调性的简单应用 考向1　比较大小 【例3】　设定义在R上的函数f（x）的导函数是f'（x），且f（x）·f'（x）＞x恒成立，则 （　　） A.f（1）＜f（－1） B.f（1）＞f（－1） C.｜f（1）｜＜｜f（－1）｜ D.｜f（1）｜＞｜f（－1）｜ 解析　设g（x）＝[（f（x））2－x2]，则g'（x）＝[2f（x）f'（x）－2x]＝f（x）f'（x）－x＞0恒成立，所以g（x）在定义域内单调递增，所以g（1）＞g（－1），即[（f（1））2－1]＞[（f（－1））2－1]，解得（f（1））2＞（f（－1））2，即｜f（1）｜＞｜f（－1）｜，故选D. 答案　D 目录 ｜解题技法｜ 利用导数比较大小的策略 利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 目录 考向2　解不等式 【例4】　已知偶函数f（x）在R上存在导函数f'（x），当x＞0时，＞－f'（x），且f（2）＝1，则不等式（x2－x）f（x2－x）＞2的解集为 （　　） A.（－∞，－2）∪（1，＋∞） B.（2，＋∞） C.（－∞，－1）∪（2，＋∞） D.（－1，2） 目录 解析　令g（x）＝xf（x），由于f（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，所以g'（x）＝f（x）＋xf'（x）.因为当x＞0时，＞－f'（x），即＞0，所以f（x）＋xf'（x）＞0，即g'（x）＞0.所以当x＞0时，g（x）在（0，＋∞）上单调递增.因为g（x）在R上为奇函数且在R上具有导函数，所以g（x）在R内单调递增.因为f（2）＝1，所以g（2）＝2f（2）＝2，又（x2－x）f（x2－x）＞2等价于g（x2－x）＞g（2），所以x2－x＞2，解得x＜－1或x＞2.综上所述，x的取值范围为（－∞，－1）∪（2，＋∞）. 答案　C 目录 ｜解题技法｜ 　　与抽象函数有关的不等式问题，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数.一般地，在不等式中如果同时含有f（x）与f'（x），常需要通过构造含f（x）与另一函数的积（或商）的新函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式. 考向3　已知函数单调性求参数 【例5】　已知函数f（x）＝ln x－ax2－2x（a≠0）.   （1）若函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围； 目录 解　（1）f（x）＝ln x－ax2－2x，x∈（0，＋∞）， 所以f'（x）＝－ax－2，由于f（x）在（0，＋∞）上存在单调递减区间， 所以当x∈（0，＋∞）时，－ax－2＜0有解. 即a＞－有解， 设G（x）＝－， 所以只要a＞G（x）min即可. 而G（x）＝－1， 所以G（x）min＝－1. 所以a＞－1. 即a的取值范围是（－1，＋∞）. 目录 （2）若函数f（x）在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 解　（2）由f（x）在[1，4]上单调递减得，当x∈[1，4]时，f'（x）＝－ax－2≤0恒成立， 即a≥－恒成立. 所以a≥G（x）max，而G（x）＝－1， 因为x∈[1，4]，所以， 所以G（x）max＝－（此时x＝4）， 所以a≥－，即a的取值范围是. 目录 ｜解题技法｜ 已知单调性求解参数范围的步骤 （1）对含参数的函数f（x）求导，得到f'（x）； （2）若函数f（x）在[a，b]上单调递增，则f'（x）≥0恒成立；若函数f（x）在[a，b]上单调递减，则f'（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； （3）验证参数范围中取等号时，是否恒有f'（x）＝0.若f'（x）＝0恒成立，则函数f（x）在（a，b）上为常数函数，舍去此参数值. 目录 ⁠ 1.已知函数f（x）＝xsin x，x∈R，则f，f（1），f的大小关系为（　　） A.f＞f（1）＞f B.f（1）＞f＞f C.f＞f（1）＞f D.f＞f＞f（1） 目录 解析：A　因为f（x）＝xsin x，所以f（－x）＝（－x）·sin（－x）＝xsin x＝f（x），所以函数f（x）是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f'（x）＝sin x＋xcos x＞0，所以函数f（x）在上是增函数，所以f＜f（1）＜f，即f＞f（1）＞f，故选A. 目录 2.设函数f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，则不等式f（2x－1）＋f（x－2）＞0的解集为（　　） A.（－∞，1） B. C. D.（1，＋∞） 解析：D　根据题意，当x≥0时，f（x）＝ex－cos x，此时有f'（x）＝ex＋sin x＞0，则f（x）在[0，＋∞）上为增函数，又f（x）为R上的奇函数，故f（x）在R上为增函数.f（2x－1）＋f（x－2）＞0⇒f（2x－1）＞－f（x－2）⇒f（2x－1）＞f（2－x）⇒2x－1＞2－x，解得x＞1，即不等式的解集为（1，＋∞）. 目录 3.已知函数f（x）＝－x2－3x＋4ln x在（t，t＋2）上不单调，则实数t的取值范围是 　　　　⁠.  解析：由题意，f（x）＝－x2－3x＋4ln x的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝－x－3＋＝－，当f'（x）＝0时，有x2＋3x－4＝0，得x＝－4或x＝1，∵f（x）在（t，t＋2）上不单调，且（t，t＋2）⊆（0，＋∞），∴可得t∈[0，1）. 答案：[0，1） 目录 THANK . YOU $$