第06讲 反比例函数综合应用（1大知识点+6大典例+变式训练+随堂检测）-（暑期衔接课堂）2024年暑假八升九数学衔接讲义（沪科版）

第06讲 反比例函数综合应用（1大知识点+6大典例+变式训练） 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数与几何综合 题型三 一次函数与反比例画数图象综合判断 题型四 一次函数与反比例匪数的交点问题 题型五 一次函数与反比例匪数的实际应用 题型六 一次函数与反比例匣数的其他综合应用 知识点01 应用范围 反比例函数广泛应用于物理（如压强与体积关系）、经济学（如供需定律）等领域，在解决实际问题时具有重要价值。 【典型例题一 实际问题与反比例函数】 1．（2023九年级·全国·专题练习）反比例函数知识结构 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．    3．（2023·山东临沂·一模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 5．（22-23九年级上·福建福州·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【典型例题二 反比例函数与几何综合】 1．（2023·新疆·二模）已知点P（-2,3）在双曲线上，O为坐标原点，连接OP，求k的值和线段OP的长 2．（22-23九年级上·江西景德镇·期末）双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 3．（22-23八年级上·上海·期末）已知点O是坐标原点，反比例函数y=的图像经过A(,1)． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将线段OA绕O逆时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由． 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点和点． （1）当时，求反比例函数的解析式； （2）已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线交于A，B和C，D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问：平行四边形ACBD能否成为矩形？能否成为正方形？若能，请说明线段AB，CD的位置关系；若不能，请说明理由； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 【典型例题三 一次函数与反比例画数图象综合判断】 1．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 2．（2023·河南漯河·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．        (1)求反比例函数的表达式； (2)点B的坐标是，若点P在轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 4．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 5．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)求点B的坐标及的面积； (3)观察图象直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x取值范围． 【典型例题四 一次函数与反比例匪数的交点问题】 1．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 3．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 4．（2023·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 5．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 【典型例题五 一次函数与反比例匪数的实际应用】 1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 3．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【典型例题六 一次函数与反比例匣数的其他综合应用】 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 2．（2023·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 3．（22-23九年级下·四川南充·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数（其中为常数，在第一象限内的图像相交于点． (1)求和的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于的不等式的解集． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． (1)求点坐标和反比例函数关系式； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积。 【变式训练1 实际问题与反比例函数】 1．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）《墨经》中记教的“小孔成像”是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（cm）的反比例函数，当时，．若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 2．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． (1)求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． (2)若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 4．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 5．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【变式训练2 反比例函数与几何综合】 1．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 2．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，大、小两个正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行或垂直．反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．    (1)求反比例函数的解析式． (2)求图中阴影部分的面积． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，． （1）若点的坐标为，则的值是 ． （2）若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，与之间的距离为1，则的值是 ． 4．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【变式训练3 一次函数与反比例画数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图像交于两点．求： (1)两点的坐标； (2)直接写出的解集． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点    (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 3．（2023·广东阳江·三模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，延长交该图象于点B，轴，轴，若．    (1)求的面积． (2)求经过两点的直线，并直接写出时x的取值范围． 4．（2023·青海·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.    (1)求一次函数的解析式； (2)当时，直接写出不等式的解集. 5．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标． 【变式训练4 一次函数与反比例匪数的交点问题】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式和的面积； (2)由函数图象直接写出不等式的解集． 2．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 3．（2024·广东·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出时x的取值范围． 4．（2024·浙江杭州·二模）设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． (1)求点，的坐标． (2)求函数，的表达式． (3)当时，直接写出的取值范围． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点．    (1)求反比例函数解析式； (2)的面积为______． 【变式训练5 一次函数与反比例匪数的实际应用】 1．（2023八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 2．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 3．（2023·福建·二模）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． (1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明． 4．（2023·辽宁大连·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【变式训练6 一次函数与反比例匣数的其他综合应用】 1． （22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．    (1)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上． (1)求b和k的值； (2)当最小时，求点P的坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知反比例函数（，k为常数）的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)已知点，过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M第一象限内，交反比例函数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 反比例函数综合应用（1大知识点+6大典例+变式训练） 题型一 实际问题与反比例函数 题型二 反比例函数与几何综合 题型三 一次函数与反比例画数图象综合判断 题型四 一次函数与反比例匪数的交点问题 题型五 一次函数与反比例匪数的实际应用 题型六 一次函数与反比例匣数的其他综合应用 知识点01 应用范围 反比例函数广泛应用于物理（如压强与体积关系）、经济学（如供需定律）等领域，在解决实际问题时具有重要价值。 【典型例题一 实际问题与反比例函数】 1．（2023九年级·全国·专题练习）反比例函数知识结构 【答案】 【解析】略 2．（23-24八年级下·全国·课后作业）学校课外生物兴趣小组打算自己动手用旧围栏在一个长为的墙边围出一个面积为10的长方形饲养场，饲养场平行于墙的长为，垂直于墙的长为．求y关于x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．    【答案】 【分析】 本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式的知识，属于基础题，熟练掌握矩形的面积公式是关键．根据矩形的面积=长×宽，结合题意即可得出另一边的长y（米）与x的函数关系式． 【详解】解：由长方形的面积公式得， ∴y关于x的函数表达式为． ∵墙的长度为8米， ，即， ∴自变量x的取值范围为． 3．（2023·山东临沂·一模）汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 4．（22-23八年级下·全国·课后作业）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强与气体的体积成反比例．当气体的体积时，气球内气体的压强． (1)当气体的体积为时，它的压强是多少？ (2)当气球内气体的压强大于时，气球就会爆炸．问：气球内气体的体积应不小于多少气球才不会爆炸？ 【答案】(1)当气体的体积为时，它的压强是 (2)当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸 【分析】（1）先求出气球内气体的压强与气体的体积的反比例函数关系式，然后代入进行求解即可； （2）先求出当时，的值，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∴当气体的体积为时，它的压强是； （2）解：当时，， ∵， ∴V随p的增大而增大， ∴要使气球不会爆炸，则， ∴当气球内气体的体积应不小于时，气球才不会爆炸． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意得到是解题的关键． 5．（22-23九年级上·福建福州·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过3A，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？ 【答案】(1)函数的解析式为I=； (2)用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【分析】（1）先由电流I是电阻R的反比例函数，可设I=，将点（20，1.8），利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式； （2）将I≤3代入（1）中所求的函数解析式即可确定电阻的取值范围． 【详解】（1）解：（1）电流I是电阻R的反比例函数，设I=， ∵图象经过（20，1.8）， ∴1.8=， 解得k=1.8×20=36， ∴I=； （2）解：∵I≤3，I=， ∴≤3， ∴R≥12， 即用电器可变电阻应控制在12Ω以上的范围内． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是正确地从中整理出函数模型，并利用函数的知识解决实际问题． 【典型例题二 反比例函数与几何综合】 1．（2023·新疆·二模）已知点P（-2,3）在双曲线上，O为坐标原点，连接OP，求k的值和线段OP的长 【答案】，PO=. 【分析】把P点坐标代入反比例函数函数解析式可得k的值，过点P作PE⊥x轴于点E，根据P点坐标可得OE=2，PE=3，再利用勾股定理可计算出OP的长． 【详解】解：把代入 ，得， 过点P作PE⊥轴于点E，则OE=2，PE=3， ∴在△OPE中， PO=. 【点睛】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k． 2．（22-23九年级上·江西景德镇·期末）双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴，已知B点的坐标为，求点D的坐标． 【答案】D的坐标为（8，6） 【分析】根据B点的坐标，利用反比例函数解析式，求出A、C两个顶点坐标即可． 【详解】解：∵双曲线过矩形ABCD的A、C两个顶点，轴， 当时，， ∴A（2，6）． ∵轴， 当时，，， ∴C（8，1.5）． ∴点D的坐标为（8，6）． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题关键是利用反比例函数解析式求出点的坐标． 3．（22-23八年级上·上海·期末）已知点O是坐标原点，反比例函数y=的图像经过A(,1)． （1）求此反比例函数的解析式； （2）将线段OA绕O逆时针旋转30°得到线段OB，判断点B是否在此反比例函数的图像上并说明理由． 【答案】（1）；（2）点在此反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）将点A坐标代入求解即可； （2）由旋转的性质求出点B坐标，再判断点B是否在反比例函数图像上. 【详解】（1）将点A(,1)代入y=得，解得，所以此反比例函数的解析式为； （2）点在反比例函数图象上． 理由：如图，过点作垂直于轴于点C，过点作垂直于轴于点D 由点A(,1)知， 在中，根据勾股定理得， ∴ 由旋转得 在中,，根据勾股定理得 ∴点坐标为，满足反比例函数的解析式 ∴点在此反比例函数的图象上． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式及其图像，同时涉及到旋转变换、勾股定理、含30度角的直角三角形的性质，灵活的运用旋转的性质是解题的关键. 4．（22-23九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，某反比例函数的图象经过点． 求该反比例函数的解析式； 点和均在该反比例函数的图象上，点在轴上，请画出使的值最小的点位置，并求出此时点的坐标． 【答案】（1）；（2）点坐标为 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）先求出B,C的坐标，再根据对称性作点关于轴的对称点，连接交轴于点，求出直线的解析式即可得到P点坐标． 【详解】解: 设反比例函数解析式为 把代入，得， 反比例函数解析式为 把代入得，解得， 点坐标为； 作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则， ， 设直线的解析式为， 则，解得 直线的解析式为， 当时，，解得 点坐标为． 【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的图像与性质、待定系数法的应用． 5．（22-23九年级下·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交于点和点． （1）当时，求反比例函数的解析式； （2）已知经过原点O的两条直线AB与CD分别与双曲线交于A，B和C，D，那么AB与CD互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形问：平行四边形ACBD能否成为矩形？能否成为正方形？若能，请说明线段AB，CD的位置关系；若不能，请说明理由； （3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值． 【答案】（1）；（2）能成为矩形，不能成为正方形，线段AB与CD互相平分且相等；（3）k的值为或． 【分析】（1）直接把点A（1，k）代入反比例函数的解析式即可，再把k＝−2代入即可； （2）根据A、C可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上，故AB与CD无法垂直，故可得出结论； （3）先把k当作已知条件表示出Q点的坐标，根据A、B关于原点O中心对称可知当OQ＝OA＝OB时，△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，由OQ2＝OA2，即可得出关于k的一元二次方程，求出k的值即可． 【详解】（1）反比例函数的图象过点， 反比例函数的解析式是， 当时，反比例函数的解析式是． （2）能成为矩形，不能成为正方形，线段AB与CD互相平分且相等． 当AB，CD关于直线或对称时，AB与CD互相平分且相等， 四边形ACBD能成为矩形． 点A，B，C，D可以无限接近坐标轴但是不能落在坐标轴上， AB与CD无法垂直， 四边形ACBD不能成为正方形． （3）二次函数的顶点Q的坐标是，A，B关于原点O中心对称， 当时，是以AB为斜边的直角三角形． 由，得， 解得，， 当是以AB为斜边的直角三角形时，k的值为或． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数的性质、正方形的性质及直角三角形的性质，难度适中． 【典型例题三 一次函数与反比例画数图象综合判断】 1．（22-23八年级下·四川资阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点．    (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或． 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的坐标的特征，求出点的坐标，代入即可； （2）首先求出点的坐标为，再根据的面积为，求出，即可解决问题． 【详解】（1）把代入得：， ∴反比例函数的解析式为，   把代入得：， ∴的坐标为， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为， （2）把代入中，得， ∴点的坐标为 ∵点的纵坐标等于6， ∴， ∴， ∴点的坐标为或． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求函数解析式． 2．（2023·河南漯河·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点A，且点A的横坐标为2．        (1)求反比例函数的表达式； (2)点B的坐标是，若点P在轴上，且的面积是的面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)或 【分析】（1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解：当时，， ∴， ， ∴． ∴反比例函数的表达式为 ； （2）解：设， ∵的面积是面积的2倍． ∴， ∴或． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法，属于中考常考题型． 3．（2023·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求m的值与反比例函数的表达式； (2)若，观察图象，直接写出反比例函数中y的取值范围． 【答案】(1)，反比例函数的关系式为 (2) 【分析】本题考查一次函数、反比例函数的交点，掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及一次函数、反比例函数交点坐标的计算方法是正确解答的前提． （1）根据一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征确定点的坐标，进而确定反比例函数关系式； （2）根据图象以及两个函数图象的交点坐标进行判断即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与过点， ， 即， 点， 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 答：，反比例函数的关系式为； （2）由于点，即， 当，反比例函数中的值取值范围为． 4．（22-23九年级上·广西河池·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的解析式及m的值； (2)观察图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）把代入中，待定系数法求得反比例函数解析式，进而求得点的坐标，即可求得m的值； （2）根据双曲线与直线的交点即可求解． 【详解】（1）解：把代入中，得， ∴． 反比例函数的解析式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）不等式的解集为：或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数结合，待定系数法求解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 5．（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，且与y轴交于点C，点A的坐标为． (1)求m及k的值； (2)求点B的坐标及的面积； (3)观察图象直接写出使反比例函数值大于一次函数值的自变量x取值范围． 【答案】(1)m＝﹣3，k＝2； (2)（﹣，﹣4），； (3)或． 【分析】（1）把A点的坐标代入函数解析式，即可求出答案； （2）解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出B点的坐标，求出C点的坐标，再根据三角形面积公式求即可； （3）求出C的坐标，根据图形即可求出答案． 【详解】（1）解：∵点A（2，1）在函数y＝2x+m的图象上， ∴4+m＝1，即m＝﹣3， ∵A（2，1）在反比例函数的图象上， ∴， ∴k＝2； 所以m＝﹣3，k＝2； （2）解：∵一次函数解析式为y＝2x﹣3，令x＝0，得y＝-3， ∴点C的坐标是（0，-3）， ∴OC＝3， 联立方程组得，得：或， ∴点B的坐标为（﹣，﹣4）， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝； （3）解：观察图象可知，在第三象限时，在点B左侧或在第一象限时，在点A左侧时，反比例函数值大于一次函数值，故自变量x取值范围为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式、两函数的交点问题和函数的图象等知识点，能求出两函数的解析式是解此题的关键，用了数形结合思想． 【典型例题四 一次函数与反比例匪数的交点问题】 1．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图所示，函数，的图象交于点． (1)求出点的坐标； (2)直线与函数，的图象交于点、两点，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数和反比例函数交点问题，掌握利用解方程求交点坐标是解题的关键． （1）联立，解交点坐标即可； （2）当时求出，的值即可解题． 【详解】（1）解方程组， 解得或， ， ； （2）当时，，， ． 2．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）一次函数和反比例函数的图象的相交于，与x轴交于点C，连接．    (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）将点代入即可求解； （2）由（1）可得，将、代入可得一次函数的表达式，进而可得的坐标；根据即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴ 解得： ∴反比例函数的表达式为： （2）解：将点代入得：， ∴ 将、代入得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 令，则， ∴ ∴ 3．（22-23九年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，直线与坐标轴交于点、，与双曲线交于、两点．并且． (1)填空：点的坐标为　　，点的坐标为 　　； (2)求反比例函数的解析式； (3)当时，根据图象直接写出此条件下的的取值范围 　　． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1 ）分别将、代入一次函数解析式中求出与之对应的、的值，由此即可得出点、的坐标； （2 ）根据结合点、的坐标即可求出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出结论； （3 ）解析式联立成方程组，解方程组求得的坐标，然后根据图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为； 当时，有，解得：， 点的坐标为． 故答案为：，； （2）解：，且、、、四点共线， 点是线段的中点， ，， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为； （3）解：由解得或， ， 观察图象，当时，的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题是反比例函数和一次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，在函数中，常利用函数的解析式表示点的坐标，并表示线段的长，从而得出线段的比． 4．（2023·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 5．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）已知一次函数y＝kx+b与反比例函数y的图像交于A（﹣3，2）、B（1，n）两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)结合图像直接写出不等式kx+b的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y (2)8 (3)x＜﹣3或0＜x＜1 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设直线AB交y轴于C，则C（0，﹣4），根据S△AOB＝S△OCA+S△OCB求解即可； （3）观察函数图象结合两个图象的交点坐标即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数y的图象经过点A（﹣3，2）， ∴m＝﹣3×2＝﹣6， ∵点B（1，n）在反比例函数图象上， ∴n＝﹣6． ∴B（1，﹣6）， 把A，B的坐标代入y＝kx+b，则， 解得k＝﹣2，b＝﹣4， ∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣4，反比例函数的解析式为y； （2）解：如图，设直线AB交y轴于C， 则C（0，﹣4）， ∴S△AOB＝S△OCA+S△OCB4×34×1＝8； （3）解：观察函数图象知， 不等式kx+b的解集为x＜﹣3或0＜x＜1． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的表达式，一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合的思想解答即可． 【典型例题五 一次函数与反比例匪数的实际应用】 1．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比的函数关系．且在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加．    (1)当时时，求与之间的关系式． (2)紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设关系为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 【详解】（1）解：设． 过点， ． 当时，与的关系式为：； （2）将代入上式中得：，． 温度在时，电阻． 在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时， ， 把代入， 得； 把时代入， 得； 答：当时，电阻不超过． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）变化的图象如图（图象由线段与部分双曲线AB组成）所示．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求部分双曲线的函数表达式； (2)参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1)； (2)第二天早上不能驾车去上班． 【分析】（1）首先求得线段所在直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解； （2）把代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵直线过， ∴， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，，即， 设双曲线的解析式为，将点代入求得：， ∴； （2）解：由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ∵， ∴第二天早上不能驾车去上班． 【点睛】本题为一次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点，熟练相关性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 4．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数关系式： (2)直接写出关于的不等式的解集______； (3)连接、，则的面积为______． 【答案】(1) (2)或 (3)6 【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入反比例函数关系式，可得答案； （2）根据图象的位置，即反比例函数图象在直线上方时自变量的取值，可得答案； （3）先求出直线的关系式，进而得出点C的坐标，可知，再根据可得答案． 【详解】（1）∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得， ∴点． ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； （2）将不等式整理为， 当或时，． 所以不等式的解集是或． 故答案为：或； （3）当时，， ∴点． 设直线的关系式为，将点A，B代入，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， ∴点， ∴， 则． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求三角形的面积，观察图象求不等式的解集，理解由观察图象的位置确定函数值的大小是解题的关键． 5．（23-24九年级上·河南安阳·期末）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化，开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散，通过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示，点B的坐标为、点C的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)数学老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)； (2)不合理，理由见解析． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合在实际问题中的应用，掌握“建模”思想是解题关键． （1）设所在的反比例函数的解析式为，将代入即可求解； （2）求出直线的解析式，分别求出当时，一次函数与反比例函数的自变量的值，即可作出判断． 【详解】（1）解：设所在的反比例函数的解析式为． 由题意知，解得， ∴所在的反比例函数的解析式为． （2）解：不合理．理由如下： 设直线的解析式为 将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 将代入， 得， 解得； 将代入， 得，解得． ， ∴老师的安排不合理． 【典型例题六 一次函数与反比例匣数的其他综合应用】 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数及一次函数解析式，根据已知得出B点坐标是解题的关键，并利用数形结合的思想求解． （1）利用待定系数法求解反比例函数和一次函数的解析式即可； （2）设与x轴交点C，则的面积为和的面积和． 【详解】（1）解：在双曲线上， ， ， 又在的图象上， ， 把A，B两点代入直线解析式得， 解得：，， 反比例函数的解析式为， 一次函数的解析式为． （2）解：将一次函数与x轴的交点命名为C，则， ， ， ． 2．（2023·贵州遵义·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于两点． (1)求对应的函数解析式； (2)根据函数图象写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，解答的关键结合图形分析清楚问题与条件之间的关系． （1）把代入到可求得的值，再把代入双曲线函数的表达式中，可求得的值；把，两点的坐标代入到一次函数表达式中，可求得一次函数的表达式； （2）利用、点坐标结合图象进行求解即可． 【详解】（1）解：直线与双曲线相交于，两点， ， ，， 双曲线的表达式为：，， 把和代入得：， 解得：， 直线的表达式为：； （2）解：，， 关于的不等式的解集为或． 3．（22-23九年级下·四川南充·期中）如图，一次函数与反比例函数的图像在第二象限交于点A，且点A的横坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)点B的坐标是，若点P在y轴上，，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是掌握待定系数法． （1）首先确定点A的坐标，再利用待定系数法求出k即可； （2）设，构建方程求解． 【详解】（1）解∵一次函数与反比例函数的图象在第二象限交于点A，点A的横坐标为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∴P点的坐标为或． 4．（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与反比例函数（其中为常数，在第一象限内的图像相交于点． (1)求和的值； (2)根据图象，直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点坐标分别代入直线和反比例函数解析式，即可求解； （2）根据函数图像，写出反比例函数图象在直线上方部分的的范围，即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数交点，反比例函数与直线交点确定不等式解集，解题的关键是：应用数形结合方法，将函数图像与不等式解集联系起来． 【详解】（1）解：将点代入，得：， 点， 将点代入，解得：， 故答案为：，， （2）由（1）结论可知，点是直线与反比例函数交点， 由图像可知，当时，不等式的解集为：． 5．（23-24九年级上·四川达州·期末）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，点的坐标为，过点作轴，垂足为，． (1)求点坐标和反比例函数关系式； (2)求一次函数的解析式； (3)求的面积。 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理，待定系数法求反比例解析式及一次函数解析式，利用割补法求三角形面积．（1）由，设，则，在中，根据勾股定理列出关于的方程，可得到的值，进而得到的坐标，把的坐标代入即可确定出解析式；（2）把的横坐标代入（1）中求出的反比例解析式，确定的坐标，把和的坐标代入即可确定解析式；（3）令解析式中求出的值，进而得到的长，而把分为两个三角形，底边都为，高为和到轴的距离，根据三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】（1）解：（1）由，设，则，又， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得或（舍去）， 所以，， 则的坐标为， 把的坐标代入反比例解析式得：， 则反比例函数的解析式为； （2）（2）把的横坐标代入反比例解析式得：， 所以的坐标为，又， 将和的坐标代入解析式得：， 解得：， 则一次函数解析式为：； （3）令，解得，即， 则 ． 【变式训练1 实际问题与反比例函数】 1．（23-24九年级下·广东佛山·阶段练习）《墨经》中记教的“小孔成像”是世界上最早的关于光学问题的论述，如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高y（cm）是物距（小孔到蜡烛的距离）x（cm）的反比例函数，当时，．若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用．根据火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，，可求出反比例函数解析式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，设火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数解析式为， 当时，， ∴，解得，， ∴反比例函数解析式为， ∴火焰的像高为， 即时，， 解得，， ∴小孔到蜡烛的距离为． 2．（2024·浙江杭州·二模）小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家． （1）根据行程问题中的数量关系即可求解； （2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：由题意得：， 因为， 所以．（其他方法合理亦可） 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）一次数学课外活动中，小红所在的小组到眼镜店调查了一些数据，整理成如的统计表： 眼镜度数（度） 200 400 800 镜片焦距（米） 0.5 0.25 0.125 细心的小红发现：近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）成反比例． (1)求出眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式． (2)若小红的眼镜度数为度，求该镜片的焦距． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用： （1）利用待定系数法即可； （2）直接利用代入解析式即可求出答案． 【详解】（1）设与的函数关系式为： 观察表格知： 与之间的函数关系式为： （2） 根据题意：当时，有 解得： 当近视眼镜的度数时，近视眼镜镜片焦距的值为 答：度近视眼镜镜片的焦距是． 4．（2024·福建厦门·模拟预测）心理学研究发现，一般情况下，在一节分钟的数学课中，学生的注意力随上课时间的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持在较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．通过实验分析可知，学生的注意力指标数随时间（分钟）的变化规律如图所示，点的坐标为，点的坐标为，为反比例函数图象的一部分． (1)求所在的反比例函数的解析式； (2)吴老师计划在课堂上讲解一道代数推理题，准备安排分钟讲解，为了达到最佳的教学效果，要求学生的注意力指标数不低于，请问吴老师的安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1) (2)安排不合理，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的性质与其图象的性质是解题的关键． （1）设所在反比例函数的解析式为，将代入即可； （2）求出段的直线解析式，先求出指标数为时段和段的时间，再求出指标数不低于的时间长即可． 【详解】（1）解：（1）由题意，设所在反比例函数的解析式为， ∵点的坐标为， ∴， ∴； （2）老师安排不合理，理由： 由题意，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 令， 解得：， 令， ∴， ∵， ∴老师安排不合理． 5．（2024·江苏南通·一模）某公司今年推出一款产品．根据市场调研，发现如下信息． 信息1：每月的销售总量y（件）和销售单价x（元/件）存在函数关系，其图象由部分双曲线和线段组成． 信息2：该产品2月份的单价为66元/件，3月份的单价降低至45元/件，在生产成本不变的情况下，这两月的销售利润相同． 根据以上信息，解答下列问题： (1)求该产品的生产成本； (2)该公司计划在4月份通过技术改造，使生产成本降低，同时继续降低销售价格，使得4月份的销售利润不低于3月份．求4月份该产品销售单价的范围． 【答案】(1)该产品的生产成本为38元/件 (2)4月份该产品销售单价的范围是 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解不等式，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． （1）根据题意得到．把代入解析式得到，设该产品的生产成本为元件，列方程即可得到结论； （2）根据题意得到3月份利润为元．由题意得4月份成本为元件，列不等式即可得到结论． 【详解】（1）解：由图象得曲线解析式为． 令，则， 即3月份销售量为400件， 设该产品的生产成本为元件，则， 解得， 答：该产品的生产成本为38元件； （2）解：3月份利润为：元． 由题意得4月份成本为元件， 则， 解得， 月份该产品销售单价的范围是． 【变式训练2 反比例函数与几何综合】 1．（2024·江西吉安·二模）如图，在正方形中，边在轴上，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求点的坐标和的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由正方形的性质及已知，求得正方形的边长，则可求得点D的坐标，由点D在反比例函数图像上，即可求得k的值，从而确定函数解析式； （2）由（1）中所求，可得长度，即点F的横坐标，从而求得点F的纵坐标，最后求出的长． 【详解】（1）解：在正方形中，， ，． 由勾股定理得， ． ， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，即反比例函数的解析式为． （2）解：， ，即点的横坐标为7． 由反比例函数的解析式，得点的纵坐标为． 点的坐标为． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，求反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质． 2．（2023·吉林白城·模拟预测）如图，大、小两个正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行或垂直．反比例函数的图像与大正方形的一边交于点，且经过小正方形的顶点B．    (1)求反比例函数的解析式． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，熟练掌握反比例函数系数k的几何意义是解决问题的关键． （1）根据待定系数法求出k即可得到反比例函数的解析式； （2）先根据反比例函数系数k的几何意义求出小正方形的面积为，再求出大正方形在第一象限的顶点坐标，得到大正方形的面积为，根据图中阴影部分的面积＝大正方形的面积−小正方形的面积即可求出结果． 【详解】（1）解把代入， 得，               解得， 所求的反比例函数的解析式为； （2）设点B的坐标为． 点B在反比例函数的图像上， ， 小正方形的面积为． ， ∴大正方形的边长为， 大正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴，． （1）若点的坐标为，则的值是 ． （2）若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，，与之间的距离为1，则的值是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键． （1）先根据题意求出A，B两点的坐标，进而求出a，b的值，计算结果即可． （2）分情况讨论，利用反比例函数k的几何意义得出的表达式，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵点的坐标为，轴，， ∴点的坐标为， ， 故答案为： （2）解：当在x轴上方时，如图所示， 设， ∴， ，， ∵与之间的距离为1， ∴ ∴ ． 故答案为6 4．（2024·贵州黔东南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点，，过点作轴的垂线，垂足为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当的面积为时，求点坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合，解题的关键是掌握反比例函数的图象和性质，三角形的面积公式，即可． （1）把点代入，即可； （2）把点代入，得：，再根据的面积为，即可． 【详解】（1）∵反比例函数的图象经过点 ∴ 解得： ∴反比例函数的解析式为：． （2）∵点反比例函数上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点． 5．（23-24九年级上·陕西西安·期末）已知点A为反比例函数图象上任意一点，连接并延长至点B，使，过点B作轴交函数图象于点C，连接．    (1)如图1，若点A的坐标为，求点B的坐标； (2)如图2，过点A作，垂足为D，若设A点坐标为，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题主要考查了反比函数与几何的综合问题． （1）先根据点A的坐标在反比例函数的图象上，求出点A的坐标为，再由，可得点B的坐标． （2）设，可得点B的坐标为，从而得到点D的坐标为，，分别求出和的面积，即可求解． 【详解】（1）解：将点坐标代入到反比例函数中得， ， ∴点A的坐标为． ∵，， ∴点A为的中点， ∴点B的坐标为． （2）若设A点坐标为， ∵ ∴点B的坐标为：， ∵， ∴轴， ∴点D的坐标为， ∵，且点C在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为：． 【变式训练3 一次函数与反比例画数图象综合判断】 1．（23-24九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，反比例函数与一次函数的图像交于两点．求： (1)两点的坐标； (2)直接写出的解集． 【答案】(1)点坐标为，点坐标为， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的性质与图像，熟练掌握交点的意义，灵活运用数形结合思想是解题的关键．联立方程，进行计算即可得两点的坐标；利用数形结合思想，以交点坐标的横坐标为不等式解集的界点值，直接写出解集即可． 【详解】（1）解：由题意联立方程，得 解得或 点坐标为，点坐标为， （2）解：如图，∵的横坐标为，的横坐标为， ∴不等式的解集是或． 2．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点    (1)求这两个函数表达式； (2)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先用待定系数法求解反比例函数解析式，从而得出点B的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据图象，即可进行解答． 【详解】（1）∵反比例的图象过点，即， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 又∵点在函数的图象上， ∴，， ∴ 又∵一次函数过、两点， 即， 解之得， ∴一次函数的解析式为； （2）由图像可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 3．（2023·广东阳江·三模）如图，点A是反比例函数的图象上一点，延长交该图象于点B，轴，轴，若．    (1)求的面积． (2)求经过两点的直线，并直接写出时x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质综合题，待定系数法求解析式， （1）首先根据题意得到，，然后证明出A、B两点关于原点对称，得到，求出，进而得到，，然后利用三角形面积公式求解即可； （2）利用待定系数法求出经过两点的直线，然后利用图象即可求出时x的取值范围． 解题的关键是利用待定系数法求出反比例函数和一次函数解析式． 【详解】（1）∵点A、B是反比例函数的图象上一点，轴，轴， ∴， ∵经过原点， ∴A、B两点关于原点对称， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴的面积； （2）∵， ∴将代入得， 解得 ∴经过两点的直线； 由图象可得， 当或时，． 4．（2023·青海·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象如图所示.    (1)求一次函数的解析式； (2)当时，直接写出不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图象中给出交点的横坐标结合反比例函数表达式，可求得此点的坐标，进而求出一次函数的解析式． （2）利用数形结合的思想，可求出不等式得解集． 【详解】（1）解：由图象知， 一次函数与反比例函数的一个交点的横坐标为1，且反比例函数表达式为， 则交点的纵坐标为2． 将代入得，． 所以一次函数的解析式为：． （2）解：当，即图象在轴的右侧， 观察图象发现：当图象在直线的右侧时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方， 所以不等式的解集为：． 【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数的解析式，以及用数形结合的思想求不等式的解集，由图象给出的信息，求出交点的一个坐标是解题的关键． 5．（22-23九年级上·广东东莞·期末）如图，直线y＝ax＋b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，﹣2），与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点C（6，m）．    (1)求直线和反比例函数的表达式； (2)连接OC，在x轴上找一点P，使S△POC＝2S△AOC，请求出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)（8,0）或（-8,0） 【分析】（1）用待定系数法直接求表达式即可． （2）先求出△AOC的面积，再求出△POC，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：将A（4，0）B（0，﹣2）代入y＝ax＋b得： 解得： ∴直线的表达式为： 点C（6，m）在直线上 ∴k=6m=6 ∴反比例函数的表达式为：． （2）解：设P点坐标为：（p，0） S△AOC= = ∵S△POC＝2S△AOC ∴= ∴=8 ∴P点坐标为（8,0）或（-8,0）． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用．正确的求出一次函数与反比例函数的表达式是解题的关键． 【变式训练4 一次函数与反比例匪数的交点问题】 1．（2024·湖北宜昌·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数的解析式和的面积； (2)由函数图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为．； (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．解决问题的关键是掌握用待定系数法确定一次函数的解析式． （1）先把点A，点B的坐标代入反比例函数解析式，即可得到，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式，再求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算； （3）观察函数图象得到当或时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴，解得， ∴点和点， 把，代入，得 ，解得：， ∴一次函数的解析式为． 如图，设直线交x轴于点C， 在中，令，则， 即直线与x轴交于点． ∴； （2）解：由图象得，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴不等式的解集为或． 2．（2024·甘肃·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作x轴的平行线分别交与的图象于C，D两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先根据一次函数图象的平移规律，再把点A的坐标分别代入对应的一次函数解析式和反比例函数解析式中，利用待定系数法求解即可； （2）先分别求出C、D的坐标，进而求出的长，再根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象， ∴， 把代入中得：，解得， ∴一次函数的解析式为； 把代入中得：，解得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵轴，， ∴点C和点D的纵坐标都为2， 在中，当时，，即； 在中，当时，，即； ∴， ∵， ∴． 3．（2024·广东·二模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合： （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把A、B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：依题意，点在反比例函数的图象上， ． 反比例函数的解析式为． 又为一次函数的图象与反比例函数的图象的交点， ． ，两点均在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． 综上所述，反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为． （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量的取值范围为或， ∴当，即当时x的取值范围为或． 4．（2024·浙江杭州·二模）设函数，函数（，，b是常数，，）．若函数和函数的图象交于点，点． (1)求点，的坐标． (2)求函数，的表达式． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，以及待定系数法求函数解析式． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征列出，算出n的值，即可求解； （2）利用待定系数法求解即可； （3）作出图象，根据图象直接写出不等式的解集． 【详解】（1）解：点，点在反比例函数的图形上， ∴， 解得：， ∴点，点； （2）解：∵点在反比例函数上， ∴， ∴， 将点，点代入中，可得， 解得， ∴； （3）解：如图， 当时，x的取值范围为或． 5．（23-24八年级下·吉林长春·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、，与轴交于点．    (1)求反比例函数解析式； (2)的面积为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的结合，待定系数法式求表达式的方法，计算三角形面积需注意分割计算，掌握待定系数法是解题的关键． （1）将点B分别代入反比例函数解析式中算出的值； （2）根据函数解析式分别求出点A、B、C坐标，将分成和，然后计算面积． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴反比例函数函数解析式为：， （2）点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ∴． 令中， 得 故答案为：． 【变式训练5 一次函数与反比例匪数的实际应用】 1．（2023八年级上·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，． (1)求反比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点，使点到正比例函数直线的距离等于点到点的距离？若存在，求点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）已知正比例函数与反比例函数图像交于第一象限内的点，轴于点，，可知点的坐标，设反比例函数为，利用待定系数法即可求解； （2）设，设点到距离为，根据已知条件可知，则，，所以，即，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，则点的纵坐标为，且点在函数， ∴，解方程得，， ∴，设反比例函数解析式为， ∴，解方程得，， ∴反比例函数解析式为． （2）解：设，设点到距离为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解方程得，，， ∴，． 【点睛】考查平面直角坐标系中点坐标和特殊角的结合应用，注意距离要加绝对值．数形结合，根据点坐标的特点，找到等量关系是解题的关键． 2．（22-23八年级下·四川宜宾·期末）为了预防某种流感病毒，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示．据图中提供的信息，解答下列问题：    (1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围； (2)当室内每立方米空气中的含药量达到1毫克及以上时才能起有效的消毒作用，请问本次消毒过程中，有效的消毒作用时长为多少小时？ (3)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ 【答案】(1)， (2)有效的消毒作用时长为小时； (3)至少需要经过8小时后，学生才能进入教室 【分析】（1）根据函数图象信息，待定系数法求解析式即可，注意相应的自变量取值范围； （2）计算当时，求反比例函数的值即可； （3）计算当时，求反比例函数的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 设正比例函数解析式为：，反比例函数解析式为：， 将分别代入，， 解得：， ∴，； （2）解：当时，，， 解得，， ∴（小时）． ∴有效的消毒作用时长为小时； （3）解：当时，， 解得， ∴至少需要经过8小时后，学生才能进入教室． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式、反比例函数解析式，从函数图象上获取信息，反比例函数图象的实际意义，理解图象信息是解题的关键． 3．（2023·福建·二模）疫情防控期间，某校校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． (1)该校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各需多少时间？ (2)消毒药物在一间教室内空气中的浓度（单位：与时间（单位：的函数关系如图所示，校医进行药物喷洒时与的函数关系式为，药物喷洒完成后与成反比例函数关系，两个函数图象的交点为点．当教室空气中的药物浓度不高于时，对人体健康无危害，校医依次对（1）班至班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当把最后一间教室药物喷洒完成后，（1）班学生能否进入教室？请通过计算说明． 【答案】(1)校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和 (2)一班学生能安全进入教室，见解析 【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和，根据“完成1间办公室和1间教室的喷洒共需；完成2间办公室和3教室的喷洒共需． ”，列出方程组，即可求解； （2）由（1）可得一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要，从而得到点，进而得到反比函数解析式，再把代入，即可求解． 【详解】（1）解：设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和， 则， 解得， 故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要和； （2）解：一间教室的药物喷洒时间为，则11个房间需要， 当时，， ∴点， 设反比例函数表达式为：， 将点的坐标代入，解得：， 故反比例函数表达式为， 当时，， 故一班学生能安全进入教室． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的实际应用，二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 4．（2023·辽宁大连·一模）已知某消毒药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y（微克）与时间x（小时）成正比例，药物熄灭后，y（微克）与x（小时）成反比例，如图所示，现测得药物4小时燃毕，此时室内空气每立方米的含药量为6微克，请你根据题中提供的信息，解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时和药物熄灭后y关于x的函数关系式； (2)研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3微克且持续时间不低于10小时时，才能杀灭空气中的毒，那么这次消毒是否有效？为什么？ 【答案】(1)药物燃烧时的函数解析式为；药物燃烧时的函数解析式为； (2)没有效，见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用时分别代入求出答案． 【详解】（1）解：设药物燃烧时的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； 设药物熄灭后y关于x的函数关系式是， 将点代入，得， 解得， ∴药物燃烧时的函数解析式为； （2）当时，，解得； 当时，，解得， ∵， ∴这次消毒没有效． 【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 5．（23-24九年级上·山东济南·期中）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（）与时间x（h）之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题： (1)求段反比例函数图象的关系式，并写出自变量x的取值范围； (2)恒温阶段保持的时间有多少小时？ (3)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1) (2)恒温阶段保持的时间有10小时 (3)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题时要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答． （1）应用待定系数法求函数解析式； （2）由（1）知，观察图象可得； （3）先求出段的解析式，代入临界值，分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； ； （2）解：由（1）知， ， 恒温阶段保持的时间有：（小时）， 答：恒温阶段保持的时间有10小时； （3）解：设的解析式为：， 把、代入中得：， 解得：， 的解析式为：， 当时，， 解得， ， ， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有19.6小时． 【变式训练6 一次函数与反比例匣数的其他综合应用】 1．（22-23八年级上·上海浦东新·期末）已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式． 【答案】y＝+2x+4 【分析】设y1＝，y2＝b（x+2），由y＝y1+y2，可得y＝+b（x+2），把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得出方程组，求出方程组的解即可． 【详解】解：设y1＝，y2＝b（x+2）， ∵y＝y1+y2， ∴y＝+b（x+2）， 把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得：， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式是：y＝+2x+4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的图象和性质，利用待定系数解答是解题的关键． 2．（2023·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知，其中与成正比例，与成反比例，当时，；当时，．求： (1)与的函数关系式； (2)当时，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设出，，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求函数关系中进行求解即可． 【详解】（1）解：设，， ∴， ∵当时，；当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出与的函数关系式是解题的关键． 3．（23-24九年级上·陕西西安·期中）某饮水机开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降．此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．    (1)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； (2)若水温从开始加热至，然后下降至，在这一过程中，水温不低于的时间有多长？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数和一次函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是： （1）设水温下降过程中，与的函数关系式为，根据待定系数法即可求解； （2）分别求出在加热过程和降温过程中水温为40摄氏度时的时间，再相减即可判断． 【详解】（1）解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图象上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； （2）解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点B，点P在y轴上． (1)求b和k的值； (2)当最小时，求点P的坐标； (3)当时，请直接写出x的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将点分别代入，中，进行计算即可得； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求，联立一次函数解析式与反比例函数解析式，即可得点B的坐标为，根据点与点A关于y轴对称得点的坐标为，设直线的解析式为，将点，代入，进行计算即可得直线的解析式为，令，则，即可得； （3）观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即可得． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点， ∴把代入两个解析式得：，， 解得：，； （2）解：如图所示，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，此时点P即是所求， 联立一次函数解析式与反比例函数解析式：， 解得：或， ∴点A的坐标为、点B的坐标为， ∵点与点A关于y轴对称， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，将点，代入，得 ， 解得： ， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴点P的坐标为． （3）解：观察函数图像，当或时，一次函数图像在反比例函数图像下方， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质． 5．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知反比例函数（，k为常数）的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数及一次函数的表达式； (2)已知点，过点P作平行于y轴的直线，交一次函数图象于点M，且点M第一象限内，交反比例函数图象于点N．若点P到点M的距离小于线段的长度，结合函数图象直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由反比例函数图象过点A，可求出反比例函数的表达式，再求出点B的坐标，然后将两点坐标代入，可求一次函数的表达式； （2）根据题意找出一次函数落在反比例函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象经过， ∴， ∴反比例函数的表达式是， ∵反比例函数的图象过点， ∴， ∴， 把，代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式是； （2）若，根据图象，可得n的取值范围是或． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$