1.3探索三角形全等的条件-尺规作图讲义2023-2024学年苏科版数学八年级上册

第七节课---探索三角形全等的条件（尺规作图） 一、知识解读 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 1、画线段 已知：线段MN＝a，求作一条线段AB，使AB=a. 描述作图过程： 2、画角 已知∠AOB，求作,使=∠AOB. 描述作图过程： 3、画角平分线 已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线 描述作图过程： 4、画垂直 描述作图过程： 2、 典型例题 【例1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【例2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D． 则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．55° C．65° D．75° 【变式2-2】如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 【变式2-3】如图，已知△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为　 　°． 【拓展训练（难）】操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据．已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°． （1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在如图画这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七节课---探索三角形全等的条件（尺规作图） 一、知识解读 在几何作图中，我们把用没有刻度的直尺和圆规作图，简称尺规作图. 1、画线段 已知：线段MN＝a，求作一条线段AB，使AB=a. 描述作图过程： 2、画角 已知∠AOB，求作,使=∠AOB. 描述作图过程： 3、画角平分线 已知：∠AOB ，求作∠AOB 的平分线 描述作图过程： 4、画垂直 描述作图过程： 2、 典型例题 【例1】用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【考点】全等三角形的判定．版权所有 【分析】由作法可知，两三角形的三条边对应相等，所以利用SSS可证得△OCD≌△O′C′D′，那么∠A′O′B′＝∠AOB． 【解答】解：由作法易得OD＝O′D'，OC＝0′C'，CD＝C′D'，那么△OCD≌△O′C′D′，可得∠A′O′B′＝∠AOB，所以利用的条件为SSS． 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点；由作法找准已知条件是正确解答本题的关键． 【例2】工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在∠AOB的两边OA、OB上分别截取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS 【考点】全等三角形的应用．版权所有 【分析】根据全等三角形的判定条件判断即可． 【解答】解：由题意可知OC＝OD，MC＝MD， 在△OCM和△ODM中， ， ∴△OCM≌△ODM（SSS）， ∴∠COM＝∠DOM， ∴OM就是∠AOB的平分线． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定及性质、角平分线的判定、熟练掌握全等三角形的判定是关键． 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠CAB＝50°，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，小于AC长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F； ②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧相交于点G； ③作射线AG，交BC边于点D． 则∠ADC的度数为（　　） A．40° B．55° C．65° D．75° 【考点】直角三角形的性质；作图—基本作图；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据角平分线的作法可得AG是∠CAB的角平分线，然后再根据角平分线的性质可得∠CAD＝∠CAB＝25°，然后再根据直角三角形的性质可得∠CDA＝90°﹣25°＝65°． 【解答】解：根据作图方法可得AG是∠CAB的角平分线， ∵∠CAB＝50°， ∴∠CAD＝∠CAB＝25°， ∵∠C＝90°， ∴∠CDA＝90°﹣25°＝65°， 故选：C． 【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及直角三角形的性质．关键是掌握直角三角形两锐角互余． 【变式2-2】如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．版权所有 【分析】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可． 【解答】解：根据题中所给的作图步骤可知， AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG． 当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（SAS）， 所以BG＝CG， 故A选项不符合题意． 当AG⊥BC时， ∠AGB＝∠AGC＝90°， 又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（ASA）， 所以BG＝CG， 故B选项不符合题意． 当∠DGB＝∠EGC时， 因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG， 所以△ADG≌△AEG（SAS）， 所以∠AGD＝∠AGE， 又∠DGB＝∠EGC， 所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC， 即∠AGB＝∠AGC． 又∠AGB+∠AGC＝90°， 所以∠AGB＝∠AGC＝90°， 则方法同（2）可得出BG＝CG， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 【变式2-3】如图，已知△ABC中，∠A＝70°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为　125　°． 【考点】作图—基本作图．版权所有 【分析】利用基本作图得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形内角和得到∠BOC＝90°+∠A，然后把∠A＝70°代入计算即可． 【解答】解：由作法得OB平分∠ABC，OC平分∠ACB， ∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB， ∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB ＝180°﹣（∠ABC+∠ACB） ＝180°﹣（180°﹣∠A） ＝90°+∠A， 而∠A＝70°， ∴∠BOC＝90°+×70°＝125°． 故答案为125． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 【拓展训练（难）】操作题，根据下列要求画图，并在图中相应位置标明数据．已知一个三角形的两边长分别是1cm和2cm，一个内角为40°． （1）请你借助图画出一个满足题设条件的三角形． （2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？若能，请你在如图画这样的三角形；若不能，请说明理由． （3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°，”那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有几个？画出满足条件的图形．（图上把符合条件的图形用黑色笔画出来） 【考点】命题与定理；全等三角形的判定；作图—复杂作图．版权所有 【分析】（1）根据题意设∠MON＝40°，在OM，ON上分别截取OA＝1cm，OB＝2cm，则△OAB即为一个符合题设条件的三角形； （2）根据题意设∠MON＝40°，在OM截取OA＝1cm，以点A为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B，则△OAB即为符合题设条件的三角形且不与△OAB全等； （3）根据题意仿照（1）（2）即可画出符合题设条件的三角形． 【解答】解：（1）设∠MON＝40°， ①以点O为圆心，以1cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图1所示： （2）能． ①以点O为圆心，以1cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以2cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为符合题设条件的三角形且不与△OAB全等，如图2所示： （3）设∠MON＝40°，彼此不全等的三角形，且满足条件的三角形共有4个． （ⅰ）①以点O为圆心，以3cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以4cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图3所示： （ⅱ）①以点O为圆心，以3cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以4cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图4所示： （ⅲ）①以点O为圆心，以4cm为半径画弧交OM于A， ②以点A为圆心，以3cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图5所示： （ⅳ）①以点O为圆心，以4cm为半径画弧交OM于A， ②以点O为圆心，以3cm为半径画弧交ON于B， 则△OAB即为一个符合题设条件的三角形，如图6所示： 【点评】此题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定，理解两边对应相等且夹角相等的两个三角形全等是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$