第26章 反比例函数知识点总结 2023-2024学年人教版数学九年级下册

第26章 反比例函数 【思维导图】 26.1反比例函数 26.1.1 反比例函数 【复习】 1.一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数. 其中x是自变量，y是因变量. 如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. （对于自变量x的每一个不同的值，y不一定都是不同的值与之对应.） 2.一般地，对于一个已知的函数，自变量的取值范围是使这个函数有意义的一切值；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义. （1）当解析式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数； （2）当解析式的分母中含有自变量时，自变量的取值要使分母不为零； （3）当函数的解析式时偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零； （4）对于实际问题中的函数解析式，自变量的取值除必须使解析式有意义外，还要保证实际问题有意义. 【小学阶段】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，变化时两种量中相对应的两个数的乘积一定，这样两种相关联的量就叫做成反比例关系. 【知识点】 1.一般地，形如y = （k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数. 注：（1）k也叫做比例系数； （2）分母是含有自变量x的一次单项式，必须是单独的x，若分母为“x+2”，则不是y关于x的反比例函数. 2.反比例函数中，自变量x的取值范围是x≠0. 3.反比例函数y = （k为常数，k≠0）还可表示成y=kx-1或xy=k（k为常数，k≠0）. 反比例函数中自变量x的指数为-1. 4.用待定系数法确定一个反比例函数的解析式要注意： （1）设出含有待定系数法的反比例函数解析式y = （k为常数，k≠0）； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程； （3）解方程，求出待定系数； （4）写出解析式. 26.1.2 反比例函数的图象和性质 【知识点】 1.用描点法画反比例函数图象的基本步骤是（1）列表，（2）描点，（3）连线. 2.反比例函数y = （k为常数，k≠0）的图象是双曲线，当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大. 注：反比例函数的增减性是在每一个象限内. 函数名称 自变量取值 图象形状 位置分布 增减性 k>0 k<0 k>0 k<0 反比例函数 y = （k≠0） x≠0 双曲线 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每一个象限内，y随x的增大而增大 正比例函数 y=kx （k≠0） 任意 实数 直线 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 3.双曲线无限靠近坐标轴但与坐标轴永不相交 4.反比例函数图像过第一象限必过第三象限；过第二象限，必过第四象限. 5.如果点（a，b）在反比例函数图象上，则（b，a）、（-a，-b）和（-b，-a）均在图象上. 6.反比例函数图象的两个分支，关于原点对称. 7.S矩形OABC=AB·AC=｜x｜·｜y｜=｜k｜；若连接OA，S△OAB=｜k｜/2. 这也称反比例函数的“面积不变性”. 8.反比例函数与正比例函数的异同： 正比例函数 反比例函数 一般形式 y=kx（k≠0） y = （k为常数，k≠0） 自变量x的取值范围 任意实数 x≠0 函数y的取值范围 任意实数 y≠0 自变量x的次数 1 -1 函数y与自变量x的数量关系 商为定值k（k≠0） 积为定值k（k≠0） 正比例函数y=kx（k≠0）与反比例函数y = （k为常数，k≠0）都由一个常数决定，前者是整式形式，两变量的商为定值k（≠0），后者是分式形式，两变量的乘积为定值k（≠0）. 形式的差异决定了它们本质的区别：一条直线、双曲线；直线过原点，而双曲线不过原点. 当k>0时，两类函数的图像都分布在第一、三象限；当k<0时，两类函数的图像都分布在第二、四象限. 当k>0时，正比例函数的y随x的增大而增大，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正比例函数的y随x的增大而减小，而反比例函数在每一个象限内，y随x的增大而增大. 正比例函数的自变量取任意实数，因此图象是连续的，而反比例函数的自变量和函数值都不能为0，因此图象与坐标轴渐近而没有交点，是间断的两支曲线. 对称性：对称轴，对称点 k值对函数图象的影响，随着｜k｜的变化，函数图象相对于坐标原点的变化； 26.2实际问题与反比例函数 【随堂小测】 1.如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V (m3/h）与排完水池中的水所用的时间 t ( h )之间的函数关系图象． （1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量； （2）写出此函数的解析式； （3）若要6h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？ （4）如果每小时排水量是5000m3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 2.某商场出售一批进价为2元一张的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价 x （元）与日销售量 y （张）之间有如下关系： x（元） 3 4 5 6 y（张） 20 15 12 10 （1）请你认真分析表中数据，从你学习过的一次函数、反比例函数和其他函数中确定哪种函数能表示其变化规律，说明确定是这种函数而不是其他函数的理由，并求出它的解析式； （2）设经营此贺卡的日销售利润为 w 元，试求出 w 与 x 之间的函数解析式．若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元／张，请你求出当日销售单价 x 定为多少元时，才能获得最大日销售利润？ 3.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开始加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间x（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）. A.7:20 B.7:30 C.7:45 D.7:50 4.在温度不变的条件下，一定质量的气体的压强p与它的体积V成反比例. 当V=200时，p=50，则当p=25时，V=________. 5.近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例. 已知200度近视眼镜镜片的焦距为0.5m. （1）求y关于x的函数解析式； （2）某学生的视力时300度，他需要配焦距多长的镜片？ 【答案】1.（1）48 000m3 （2）V= （3）V=8 000m3/h （4）t=9.6h 2.（1）反比例函数，y=（x≥2） （2）w=60- （2≤x≤10），当x=10时才能获得最大日销售利润. 3.答案：A 解析：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟， ∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2； 易得反比例函数解析式为y= ， 将y=30代入y= ，解得x= ； ∴y= （7≤x≤ ），令y=50，解得x=14． 所以，饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，水温不超过50℃． 逐一分析如下： 选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣ ×3=15，位于14≤x≤ 时间段内，故可行； 选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣ ×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，故不可行； 选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣ ×2= ≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，故不可行； 选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣ ×2= ≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤ 时间段内，故不可行． 综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意． 故选：A． 4.400 5.（1）y= （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$