11.1 平方根与立方根（6个知识点+4类热点题型讲练+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（华东师大版）

11.1 平方根与立方根 课程标准 学习目标 1 解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； ②会用开方运算求某些非负数的平方根、算术平方根、立方根. ③会用计算器求平方根、算术平方根、立方根. 1．知道平方根、算术平方根的概念、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；． 2．会用开方运算求某些非负数的平方根、算术平方根、立方根. 3.会用计算器求平方根、算术平方根、立方根. 知识点01 平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练1】 1．16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 知识点02 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【即学即练2】 2．4的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 知识点03 算术平方根的非负数 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【即学即练3】 3．若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 知识点04 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练4】 4．的立方根是（    ） A． B． C． D． 知识点05 计算器开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【即学即练5】 5．根据下表回答问题： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 ①的平方根是_________；②_________． 题型01 求平方根、算术平方根、立方根 【典例1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式1】“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】的算术平方根是（      ） A． B． C． D． 【变式3】7的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【变式4】的立方根是（    ） A． B．2 C． D． 题型02 算术平方根的非负性 【典例1】已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1】已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【变式2】已知，则的平方根为______． 【变式3】若，则的值为_______． 【变式2】【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 题型03 估计算术平方根的范围及算术平方根的整数部分与小数部分 【典例1】估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【变式1】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【变式3】已知的整数部分是，小数部分是，则________，________． 题型04 求未知数的值 【典例1】解方程(1)； (2)． 【变式1】求下列各式中x的值：(1)； (2)． 【变式1】解方程：(1) (2) 1．4的算术平方根为（    ） A． B．2 C． D．0 2．若，则下列说法正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．是的平方根 C．是的平方根 D． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．0.09的算术平方根是 B．是36的一个平方根 C．立方根等于本身的数只有0 D．的平方根是 5．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 6．我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ）cm． A．3 B．4 C．5 D．6 7．一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 8．估算的值是在（    ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 9．一个正方体的体积为，估计这个正方体的棱长在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 10．若实数有平方根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．一个正数的两个平方根分别是a、b，则_______． 12．一个正数的平方根是和，这个正数是________. 13．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是_______． 14．已知的算术平方根是，是的立方根，则_______． 15．已知，那么的值为：__________． 16．计算：_________． 17．若与互为相反数，用含x的式子表示y，则_________． 18．已知是的整数部分，，则的平方根是________． 19．已知一个正数的平方根是和，则这个正数及的平方根． 20．已知与 互为相反数，求的平方根． 21．已知一个正数的两个平方根分别为和，且． (1)求和的值； (2)求的平方根． 22．求下列各式中的x的值：(1)； (2)． 23．已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 24．已知，，c是的整数部分，求的平方根． 25．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 26．解方程：(1)； (2)． 27．阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是，小数部分是； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 28．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 29．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 30．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． ( 9 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.1 平方根与立方根 课程标准 学习目标 1 解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根； ②会用开方运算求某些非负数的平方根、算术平方根、立方根. ③会用计算器求平方根、算术平方根、立方根. 1．知道平方根、算术平方根的概念、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；． 2．会用开方运算求某些非负数的平方根、算术平方根、立方根. 3.会用计算器求平方根、算术平方根、立方根. 知识点01 平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根． 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数a的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数a的正的平方根表示为“”，负的平方根表示为“﹣”． 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．零的算术平方根仍旧是零． 平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练1】 1．16的平方根是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴16的平方根是：． 故选：C． 知识点02 算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为． （2）非负数a的算术平方根a有双重非负性：①被开方数a是非负数；②算术平方根a本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 【即学即练2】 2．4的算术平方根是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：4的算术平方根是， 故选：A． 知识点03 算术平方根的非负数 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出不等式求解．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题． 【即学即练3】 3．若式子，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 知识点04 立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根．这就是说，如果x3＝a，那么x叫做a的立方根．记作：． （2）正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数a的立方根的运算叫开立方，其中a叫做被开方数． 注意：符号中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1．平方根的性质：正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0． 【即学即练4】 4．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由， ∴的立方根是，即的立方根是， 故选：． 知识点05 计算器开方 正数a的算术平方根a与被开方数a的变化规律是： 当被开方数a的小数点每向左或向右平移2位时，它的算术平方根的小数点也相应向左或向右平移1位，即a每扩大（或缩小）100倍，a相应扩大（或缩小）10倍． 【即学即练5】 5．根据下表回答问题： 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 256 259.21 262.44 265.69 268.96 272.25 275.56 278.89 282.24 ①的平方根是_________；②_________． 【答案】 【详解】解：（1）由表中数据可得：278.89的平方根是：； （2）， ∴． 故答案为：和． 题型01 求平方根、算术平方根、立方根 【典例1】的平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：依题意， ∴的平方根是 ∴的平方根是 故选：C 【变式1】“16的算术平方根”这句话用数学符号表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：16的算术平方根为， 故选：B． 【变式2】的算术平方根是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的算术平方根是． 故选：A． 【变式3】7的算术平方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：7的算术平方根是，故选：C． 【变式4】的立方根是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】解：， 的立方根是， 故选：A． 题型02 算术平方根的非负性 【典例1】已知，那么的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】已知x，y满足，则(　　) A． B．1 C．5 D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式2】已知，则的平方根为______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 【变式3】若，则的值为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ， 解得： ∴， 故答案为：． 【变式2】【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 题型03 估计算术平方根的范围及算术平方根的整数部分与小数部分 【典例1】估计18的算术平方根介于（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】D 【详解】解：由，得， 即， 故选：D． 【变式1】若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 【变式2】估计的值在（    ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【详解】解：，， ， ， ， 故选C． 【变式3】已知的整数部分是，小数部分是，则________，________． 【答案】 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 题型04 求未知数的值 【典例1】解方程(1)； (2)． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：， 方程两边同除以81得：， 开平方得：， ∴，； （2）解：， 方程两边同除以3得：， 开立方得：． 【变式1】求下列各式中x的值：(1)； (2)． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1） ； （2）， ． 【变式1】解方程：(1) (2) 【答案】(1)；(2)或 【详解】（1）解： ． （2）解： 即或 或． 1．4的算术平方根为（    ） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】4的算术平方根为2． 故选：B． 2．若，则下列说法正确的是（   ） A．是的算术平方根 B．是的平方根 C．是的平方根 D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴是的平方根， 故选：． 3．若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则a的值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴， 解得：， 故选：A， 4．下列说法正确的是（    ） A．0.09的算术平方根是 B．是36的一个平方根 C．立方根等于本身的数只有0 D．的平方根是 【答案】B 【详解】解：A、0.09的算术平方根是，原说法错误，该选项不符合题意； B、是36的一个平方根，正确，该选项符合题意； C、立方根等于本身的数有0，1和，原说法错误，该选项不符合题意； D、的平方根是，原说法错误，该选项不符合题意； 故选：B． 5．2024年的母亲节来临之际，小康和小明分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小康制作的正方体礼盒的表面积为，而小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小，则小明制作的正方体礼盒的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设小康制作的正方体礼盒的边长为a， 则，解得： ∴小康制作的正方体礼盒的体积为： ∵小明制作的正方体礼盒的体积比小康制作的正方体礼盒小 ∴小明制作的正方体礼盒的体积为 ∴小明制作的正方体礼盒的边长为 ∴小明制作的正方体礼盒的表面积为 故选：C． 6．我们知道魔方可以看作是一个正方体，如图，有一个体积为的魔方，则这个魔方的棱长为（    ）cm． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：根据题意得，设正方体的棱长为， ∴，则， ∴正方体的棱长为， 故选 C． 7．一个正方体纸盒的体积为，它的棱长大约在（   ） A．之间 B．之间 C．之间 D．之间 【答案】D 【详解】解：设正方体的棱长为， 由题意可知， 解得， ∵， ∴． 故选：D． 8．估算的值是在（    ） A．8和9之间 B．7和8之间 C．6和7之间 D．5和6之间 【答案】B 【详解】解：， ， ，即， 故选：B． 9．一个正方体的体积为，估计这个正方体的棱长在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】A 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∴， ∵，即， ∴正方体的棱长在和之间， 故选：A ． 10．若实数有平方根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵实数有平方根， ∴ ∴． 故选：D． 11．一个正数的两个平方根分别是a、b，则_______． 【答案】0 【详解】解：∵一个正数的两个平方根互为相反数， ∴． 故答案为0． 12．一个正数的平方根是和，这个正数是________. 【答案】4 【详解】解：由题可知， ， 解得， 则这个正数是． 故答案为：4． 13．若一个数的立方根就是它本身，则这个数是_______． 【答案】或或 【详解】立方根是它本身的数有个，分别是或或 故答案为：或或 14．已知的算术平方根是，是的立方根，则_______． 【答案】 【详解】解：的算术平方根是，是的立方根， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 15．已知，那么的值为：__________． 【答案】 【详解】解：， ，，， 解得：，，， ， 故答案为：． 16．计算：_________． 【答案】3 【详解】解：原式； 故答案为：3． 17．若与互为相反数，用含x的式子表示y，则_________． 【答案】 【详解】根据题意有：， ， 故答案为：． 18．已知是的整数部分，，则的平方根是________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴9的平方根是； 故答案为． 19．已知一个正数的平方根是和，求这个正数及的平方根． 【答案】这个正数是；的平方根是． 【详解】解：由题意得，， 解得，， ∴， ∴这个正数是， ∴，这个正数是； ∴， ∴的平方根是． 20．已知与 互为相反数，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵，， 则当与 互为相反数时， 只能是， 解得：， ∴， ∴其平方根为． 21．已知一个正数的两个平方根分别为和，且． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)和的值分别为1和；(2) 【详解】（1）解：由题意得， 解得 和的值分别为1和； （2）解：， ， ， ， ， 的平方根为 22．求下列各式中的x的值：(1)； (2)． 【答案】(1)或，(2) 【详解】（1） 根据算术平方根的意义得到，， ∴或， 解得或， （2） 根据立方根的意义得到， 解得 23．已知的算术平方根是，的立方根为． (1)求，的值． (2)求的平方根． 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为． 24．已知，，c是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，c是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根是． 25．如图，是一块体积为512立方厘米的立方体铁块．    (1)求出这个铁块的棱长； (2)现在工厂要将这个铁块融化，重新锻造成三个棱长为4厘米的小立方体铁块和一个底面为正方形的长方体铁块，若长方体铁块的高为5厘米，求长方体铁块的底面正方形的边长． 【答案】(1)8厘米；(2)8厘米 【详解】（1）解：（厘米） 答：棱长为8厘米； （2）解：（厘米） 答：正方形的边长为8厘米． 26．解方程：(1)； (2)． 【答案】(1)或；(2) 【详解】（1） ∴或 解得或； （2） 解得． 27．阅读下面的文字，解答问题． 例如：，即，的整数部分为2，小数部分为，请解答： (1)的整数部分是，小数部分是； (2)已知：小数部分是，小数部分是，且，请求出满足条件的的值． 【答案】(1)3；；(2)的值是0或2 【详解】（1）解：∵ ∴，即， ∴的整数部分为3， ∴的小数部分为， 故答案为：3；． （2）∵ ∴， ∴的整数部分为11，的整数部分为4， ∴小数部分是，的小数部分， ∴ 即： ∴， 解得或． ∴满足条件的的值是0或2． 28．已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【详解】解：∵的算术平方根是；的平方根是， ∴，， ∴，． ∵是的整数部分，， ∴． ∴． ∵的平方根是． ∴的平方根为． 29．已知＝3，3a﹣b+1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+b+2c的平方根． 【答案】±5 【详解】解：∵＝3， ∴2a﹣1＝9， 解得：a＝5， ∵3a﹣b+1的平方根是±4， ∴15﹣b+1＝16， 解得：b＝0， ∵， ∴10＜＜11， ∴c＝10， ∴a+b+2c＝5+0+2×10＝25， ∴a+b+2c的平方根为＝±5． 30．已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值． 【答案】 【详解】解：∵的算术平方根是3， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∵  即：， ∴， ∴． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$