四川绵阳南山中学2023-2024学年高一下学期期末热身数学试题

秘密 启用前 【考试时间：2024年6月24日上午8:20-10:20】 绵阳南⼭中学2024年春季⾼2023级期末热身试题 数 学 注意事项： 1．答题前，考⽣务必将⾃⼰的班级、姓名⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔填写清楚，同时⽤2B铅笔将准考证 号准确填涂在“考号”栏⽬内. 2．选择题使⽤2B铅笔填涂在答题卡对应题⽬标号的位置上，如需改动，⽤橡⽪擦擦⼲净后再选涂 其它答案；⾮选择题⽤0.5毫⽶⿊⾊签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案 ⽆效；在草稿纸、试题卷上答题⽆效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一. 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求 的. 1. 已知复数 满⾜ ，则复数 的虚部为 2. 3. 已知等边三⾓形 的边长为 ，设 ，则 4. 已知⾓ 与 的终边关于 轴对称， ，则 5. 已知 表⽰直线， 表⽰平⾯，则下列命题正确的是 ，则 ，则 ，则 ，则 ★ z (1 − i )z = 1 + i z A . 1 B . −1 C . i D . −i 2 2 cos 15∘ − 2 2 sin 15∘ = A . 3 2 B . 1 2 C . − 1 2 D . − 3 2 A BC 1 BC = ⃗a , C A = ⃗b , A B = ⃗c ⃗a ⋅ ⃗b + ⃗b ⋅ ⃗c + ⃗c ⋅ ⃗a = A.3 B. − 3 C . 3 2 D. − 3 2 α β y cos β = − 1 2 tan α = A . 3 B . 3 3 C . ± 3 3 D . ± 3 m , n , l α , β A . α ⊥ β, α ∩ β = l , m ⊥ l m ⊥ β B . m ⊂ α , n ⊂ β, α ⊥ β m ⊥ n C . m ⊂ α , m ⊥ β α ⊥ β D . m //α , n ⊂ α m //n 第 页1 6. 已知 中，点 满⾜ ， ，则 7. 已知直线 与函数 和 的图像分别交于点 ，若 在 的左 边，且 ，则 8. 三⾓形 中，点 是 的外⼼， ， ，则 二. 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全 部选对得6分，少选得部分分，有错选得0分. 9. 已知函数 ，则 的最⼩正周期是 的图像关于点 中⼼对称 是偶函数 在区间 上恰有 个零点 10. 在三⾓形 中，内⾓ 所对的边分别为 ，则 若 ，则 若 ，则 是等腰三⾓形 若 ，则满⾜条件的三⾓形有两个 若 ，且 ，则 是等边三⾓形 11. 如图，三棱锥 中， 为边长是 的正三⾓形， 底⾯ ， ，点 是线段 上⼀动点，则下列说法正确的是 点 到平⾯ 的距离的最⼤值为 三棱锥 的外接球表⾯积为 直线 与 所成⾓可能是 直线 与平⾯ 所成⾓的正切值的最⼤值为 ΔA BC D, E BD = 2DC A E = 4ED BE = A . 11 15 A B − 8 15 AC B . 2 3 A B − 8 15 AC C . − 11 15 A B + 8 15 AC D . − 2 3 A B + 8 15 AC y = a(a ∈ R ) y = 2 sin 2x y = 2 sin(2x + φ) F, G F G |FG |min = π 6 φ = A . π 6 B . π 3 C. − π 3 D . 2π 3 A BC O ΔA BC A B = 6 AC = 8 OA ⋅ BC = A.14 B. − 14 C. − 28 D.28 f (x) = 3 sin 2x + cos 2x + 1 A . f (x) π B . f (x) (− π 12 ,0) C . f (x + π 12 ) D . f (x) [− π 6 , 3π 2 ] 4 A BC A , B, C a , b, c A . A > B sin A > sin B B . sin 2A = sin 2B ΔA BC C . a = 2 3, b = 4,A = π 4 D . ( A B | A B | + AC | AC | ) ⋅ BC = 0 A B | A B | ⋅ AC | AC | = 1 2 ΔA BC P − A BC ΔA BC 3 PA ⊥ A BC PA = 2 Q BC A . B PAQ 3 2 B . P − A BC 8π C . PB AQ π 4 D . AQ PBC 4 3 第 页2 三. 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 把答案直接填在答题卷中的横线上. 12. ⼀个圆台的上、下底⾯的半径分别为 和 ，体积为 ，则此圆台的表⾯积为_____. 13. 已知 ，则 _____. 14. 已知函数 部分图象如图 所⽰，点 分别为图象的最 ⾼点和最低点，过 作 轴的垂线，分别交 轴于点 ，点 为该部分图象与 轴的交点， 与 轴的交点为 ，此时 .将绘有该图象的纸⽚沿 轴折成 的⼆⾯⾓ ，如 图2所⽰，折叠后 ，在图2中，若 是 上两个不同的点，且满⾜ ，则 的最⼩值为____. 四. 解答题：共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本题满分13分) 已知向量 ， ， . (1)若点 不能构成三⾓形，求实数 的值； (2)若 为直⾓三⾓形，求实数 的值. 16. (本题满分15分)某居民⼩区为缓解业主停车难的问题，拟对⼩区内⼀块扇形空地 进⾏改建．如 图所⽰，⽅案⼀:平⾏四边形 区域为停车场，⽅案⼆:矩形 区域为停车场，其余部分建 成绿地.点 在围墙弧 上，点 在道路 上，点 在道路 上， 且 ⽶， ，设 ．
 (1)当点 为弧 的中点时，求 的值； (2)记平⾏四边形 的⾯积为 ，矩形 的⾯积为 ，说明 ， 的⼤⼩关系，并求 为何值时，停车场⾯积最⼤？最⼤值是多少？ 1 4 28π sin( π 6 − α) = 1 3 cos( 2π 3 + 2α) = f (x) = λ sin(ω x + φ)(λ > 0,ω > 0,0 < φ < π) 1 A , B A , B x x A′ , B′ C x f (x) y D(0, 3 2 ) A′ B′ = B′ B x π 3 α − OC − β | A B | = 2 P1, P2 f (x) A P1 ⊥ BB′ , A P2 ⊥ BB′ |P1P2 | OA = (2,1) OB = (3, − 2) OC = (6 − m , − 3 − m) A , B, C m ΔA BC m AOB OMPN MPQ H P A B M OA N, Q, H OB OA = R ∠AOB = π 3 ∠POB = α P A B OM ⋅ ON OMPN S1 MPQ H S2 S1 S2 α 第 页3 17. (本题满分15分) 如图，在四棱锥 中，底⾯ 为正⽅形， 底⾯ ， ， 分别为 棱 的中点， 为棱 上的动点． (1)证明： 平⾯ ； (2)试问平⾯ 与平⾯ 是否互相垂直？如果垂直，请证明；如果 不垂直，请说明理由． 18. (本题满分17分) 如图，在 中，已知 ， ， ， 边上的中点为 ，点 是边 上的动点(不含端点)， ， 相交于点 . (1)求边 的长； (2)当点 为 中点时，求 的余弦值； (3)设 ，求 的最⼩值； 当 取得最⼩值时，求 的值. 19. (本题满分17分) 刻画空间的弯曲性是⼏何研究的重要内容，⽤曲率刻画空间的弯曲性，规定：多⾯体顶点的曲率等 于2π与多⾯体在该点的⾯⾓之和的差，其中多⾯体的⾯的内⾓叫做多⾯体的⾯⾓，⾓度⽤弧度制． 例如:正四⾯体每个顶点均有 个⾯⾓，每个⾯⾓均为 ，故其各个顶点的曲率均为 ． 如图，在直三棱柱 中，点A的曲率为 ， 分别为 的中点，且 . (1)证明： 平⾯ ; (2)证明：平⾯ 平⾯ ; (3)若 ，求⼆⾯⾓ 的正切值. P − A BCD A BCD PA ⊥ A BCD PA = A B E, M PB, CD F BC EM // PA D A EF PBC ΔA BC A B = 2 AC = 5 (sin A + sin B )(sin A − sin B ) = sin2 C − sin B sin C BC M N AC A M BN P BC N AC ∠MPN BP = λ BN NA ⋅ NB NA ⋅ NB λ 3 π 3 2π − 3 × π 3 = π A BC − A1B1C1 2π 3 N, M A B, CC1 A B = AC CN ⊥ A BB1A1 A MB1 ⊥ A BB1A1 A A1 = 2A B A − MB1 − C1 第 页4 1 绵阳南山中学 2024 年春季高 2023 级热身考试 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选 项 A B D D C D C B AD ACD ABD 三、填空题（每个小题 5分，共 15 分） 12. 42 13. 7 9  14. 2 3 14.【详解】若 1P， 2P均在 上，由 iAP BB 可知， iAP平行于 x轴，此时 1 2 min 2PP T  ， 若 1P， 2P均在  上，作 AE  于点 E，则 AE BB ， 又 iAP BB ，又 iAP A EE  ，从而 BB 面 iAPE， iPE 面 iAPE，故 iPE BB ， 而 1cos60 2 A E AA    ，因此，在图 1 中作直线 1 2 y   ，则 iP为 1 2 y   与  y f x 的交点， 不妨设 1P， 2P为 1 2 y   与  y f x 在 y轴右侧最近的两个交点， 则此时 1 2PP 的最小值为 1 2 3 3 T  ， 若 1P， 2P不在同一个面上，此时 2 2 1 2 1 1min 43 2 6 3 PP AP AE EP     ， 四、解答：（共 77 分） 15.(1) 2m  (2) 8 或 3 2 【分析】（1）当三点共线时，点 A，B，C不能构成三角形，即 ,AB AC   共线，利用向量共线 的坐标公式计算即可得出答案. （2） ABC 为直角三角形，分 A 为直角， B 为直角和 C 为直角，利用垂直向量的坐 标表示即可得出答案. 【详解】（1）因为点 A，B，C不能构成三角形，所以 AB AC∥   ，..........2 分 因为  2,1OA   ，  3, 2OB    ，  6 , 3OC m m     ， 所以      3, 2 2,1 1, 3AB OB OA          ，      6 , 3 2,1 4 , 4AC OC OA m m m m              ， AB AC∥   ，所以    1 4 3 4m m       ，解得 2m  ， 综上可得，当 2m  时，A，B，C不能构成三角形；..........6 分 （2）①若 A 为直角，则 AB AC ，所以    1 4 3 4 0AB AC m m           ， 解得 8m   ；..........8 分 ②若 B 为直角，则 AB BC ，      6 , 3 3, 2 3 , 1BC OC OB m m m m               所以    1 3 3 1 0AB BC m m           ，解得 3m   ；..........10 分 ③若 C 为直角，则BC AC ， 所以        3 4 1 4 0BC AC m m m m              ， 即 2 8 0m m   ，因为  21 4 8 31 0        ，所以方程无解；..........12 分 综上可得，当 8m   或 3m   时 ABC 为直角三角形...........13 分 16.(1) 2 6 R (2) 1 2S S= ，当 π 6   ，最大为 2 23 m 6 R ． 【分析】（1）根据 P点位置，利用正弦定理得到OM ,ON的长度，利用数量积公式可得. （2）由面积公式可知 1 2S S= ，求 1S ， 2S 都可以利用正弦定理得到边的长度，再根据面积公 式，结合三角函数可得最大值. 【详解】（1）当点 P为弧 AB的中点时， π 6   ， 3 在 PON△ 中， 2 3 PNO   ，∴ 6 OPN   ，∴ON PN OM  由正弦定理 sin sin OP ON ONP OPN    得 3 3 ON R ∴ 2 2 cos 3 6 ROM ON ON      ...........5 分 （2）因为矩形与平行四边形的底和高都相等，所以 1 2S S= ...........7 分 若由平行四边形计算停车场面积 由平行四边形OMPN得，在 OPN 中， 23ONP    ， 3 OPN    ， 则 sin sin sin ON OP NP OPN ONP      ，即 2 sinsinsin 33 ON R NP         ， 即 2 3 3sin cos sin 3 3 3 ON R R          ， 2 3 sin 3 NP R  则停车场面积 1 2 3 3 2sin sin cos sin sin 3 3 3 S NP NO ONP R R R                  2 2 23 1 3 1 cos2sin cos sin sin 2 3 2 3 2 R R                       23 ( 3sin 2 cos 1) 6 R     23 2sin 2 1 6 6 R             ，其中 π0 3   所以 π π 5π2 6 6 6    ， 则 π π2 6 2    时，即 π 6   时， 2 max 3 6 RS  若由矩形计算停车场面积 在Rt OQP△ 中， sinQP R  ， cosOQ R  ， 在Rt OHMV 中， 3 sin 3 OH R  ，∴ 3cos sin 3 HQ R R   则停车场面积 2 3sin cos sin 3 S HQ PQ R R R              4 2 2 23 1 3 1 cos2sin cos sin sin 2 3 2 3 2 R R                       23 ( 3sin 2 cos 1) 6 R     23 2sin 2 1 6 6 R             ，其中 π0 3   ． 所以 π π 5π2 6 6 6    ， 则 π π2 6 2    时，即 π 6   时， 2 max 3 6 RS  答：不管是方案一还是方案二，当 π 6   时，停车场面积最大，最大为 2 23 m 6 R ．........15 分 17.1）见详解；（2）垂直，证明见详解. 【分析】（1）要证线面平行，只要证明该直线平行于平面内的一条直线即可，本题采用构造 平行四边形进行证明； （2）由线面垂直得判定及面面垂直的判定即可得解.. 【详解】 （1）作 AP中点G，连接 ,EG GD， 可得 //EG AB且 2 ABEG  ， 所以 //EG DM且EG DM ， 所以四边形 EGDM 为平行四边形， 所以 //EM DG，又DG 平面 PAD，且 EM 平面 PAD， 所以 / /EM 平面 PAD；..........6 分 （2）由 PA 底面 ABCD可得 PA BC ， 又底面 ABCD为正方形，所以 BC AB ， 因为 PA AB A ，所以BC 平面 PAB，..........9 分 5 又 BC 平面 PBC，所以平面 PBC 平面 PAB， 根据 PA AB ， E为棱 PB中点，所以 AE PB ， 因为平面 PBC平面 PAB PB ，所以 AE 平面 PBC，..........12 分 由 AE 平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 PBC， 所以平面 AEF 与平面 PBC垂直...........15 分 18.(1) 19BC  ； (2) 4 91 91 ； (3) 1 4  ， 10 11 . 【分析】（1）由余弦定理求解即可. （2）设 ,AB a AC b      ，由中点可得 1 1 1, 2 2 2 AM a b BN a b          ，再由数量积的运算性质 求解即可. （3）设 ,NA x  则 )(NA NB NA NA AB         可转化为关于 x的二次函数，求最值，再由 )9 1( 10 5 BP BA BM     及三点共线得解即可. 【详解】（1）     2sin sin sin sin sin sin sinA B A B C B C    得 60BAC   在 ABC 中， 2, 5, 60AB AC BAC    ，由余弦定理知： 2 2 2 2 22 cos 2 5 2 2 5 cos60 19BC AB AC AB AC BAC            ， 所以 19BC  ...........5 分 （2）设 ,AB a AC b      ，由 ,M N分别为 ,BC AC的中点，得 1 1 1, 2 2 2 AM a b BN a b          ， 而 1| | 2,| | 5, 2 5 5 2 a b a b          ，则 2 21 1 1| ( ) 2 2 5 25 39 2 2 | 2 AM a b         ， 21 1 1| ) 4 5 25 21| 2 4 2 (BN a b          ， 又 2 21 1 1 1 1( ) ( ) | | | | 3 2 2 2 4 1 12 5 25 4 44 AM BN a b a b a a b b                         ， 3 4 91cos 1 1 91| || 39 21 2 | 2 AM BNMPN AM BN           ， 所以 MPN 的余弦值为 4 91 91 ...........11 分 6 （3）设 | |NA x  ， 2 2 21 1 1( 2 ( ) 2 2 4 )NA NB NA NA AB NA NA AB x x x                     ， 当 1 2 x  ，即 1| 2 |NA   时， NA NB   取最小值 1 4  ； 显然 1 10 AN AC   ，则 9 1 10 10 BN BA BC     ，而 2 , (0 1)BC BM BP BN         ， 因此 9 1 9 10 5 ) 5 ( 10 BP BA BM BA BM          ，又 , ,A P M 三点共线，则 9 1 10 5     ， 所以 10 11   ...........17 分 19.(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 6 3  ． 【分析】（1）由题意可得CN AB ，根据线面垂直的性质可得 1AA CN ，结合线面垂直的 判定定理即可证明； （2）如图，易证 / /DM CN，由（1）得DM 平面 1 1ABB A，结合面面垂直的判定定理即可 证明； （3）如图，根据线面垂直的判定定理可得 AF 平面 1 1BBCC，则 1AF BM ，易证 1AH B M ， 则∠AHF为二面角 1 1A MB C  的平面角的补角．结合等面积法求得 FH，即可求解. 【详解】（1）在直三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1AA 平面 ABC， ,AC AB 平面 ABC， 则 1AA AC ， 1AA AB ，所以点 A的曲率为 π 2ππ 2 2 3 2 BAC    ， 所以 π 3 BAC  ．因为 AB AC ，所以△ABC为正三角形． 因为 N为 AB的中点，所以CN AB ． 又 1AA 平面 ABC，CN 平面 ABC，所以 1AA CN ， 因为 1AA AB A ， 1AA AB 、 平面 1 1ABB A，所以CN 平面 1 1ABB A．..........4 分 （2）取 1AB的中点 D，连接 DM，DN． 因为 N为 AB的中点，所以 1/ /DN BB且 1 1 2 DN BB ． 7 又 1/ /CM BB 且 1 1 2 CM BB ，所以 / /DN CM 且DN CM ， 所以四边形 CNDM为平行四边形，则 / /DM CN． 由（1）知CN 平面 1 1ABB A，则DM 平面 1 1ABB A． 又DM  平面 1AMB ，所以平面 1AMB 平面 1 1ABB A．..........10 分 （3）取 BC的中点 F，连接 AF，则 AF BC ． 因为 1BB 平面 ABC， AF 平面 ABC，所以 1BB AF ， 因为 1BB BC B ， 1BB BC、 平面 1 1BBCC，所以 AF 平面 1 1BBCC． 又 1BM 平面 1 1BBCC，所以 1AF BM ，过 F作 1BM的垂线，垂足为 H，连接 AH， 则 1BM FH ，又 ,AF FH F AF FH  、 平面 AFH ，所以 1BM 平面 AFH ， 又 AH  平面 AFH ， 1AH B M ， 所以∠AHF为二面角 1 1A MB C  的平面角的补角． 设 1B M BC E ， 2AB  ，则 3AF  ， 1 2 3EF    ， 2 2ME  ． 由等面积法可得 1 1 2 2 ME FH EF CM   ，则 3 2 3 2 2 2 EF CMFH ME      ， 则 6tan 3 AFAHF FH    ，故二面角 1 1A MB C  的正切值为 6 3  ．..........17 分 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）16 第3页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （13分）15 第2页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 班级 姓名 学校 准考证号 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 [ ]0 [ ]1 [ ]2 [ ]3 [ ]4 [ ]5 [ ]6 [ ]7 [ ]8 [ ]9 正确填涂 错误填涂 考生禁填 缺考 违规 注意事项 .答题前请将姓名、班级、考 场、座号和准考证号填写清 楚。 1 .客观题答题,必须使用2B铅 笔填涂,修改时用橡皮擦干净。 2 .主观题必须使用黑色签字笔 书写。 3 .必须在题号对应的答题区域 内作答,超出答题区域书写无 效。 4 .保持答卷清洁完整。5 (由监考老师填 涂) 客观题 (共11题) 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 11 A B C D 填空题(共3小题，每小题5分，共15分) 、   、   、   12                     13                     14                     第1页 共6页 绵阳南山中学2024年春高2023级期末热身考试 数学答题卡 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）19 第6页 共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （17分）18 第5页 共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 . （15分）17 第4页 共6页