第八章立体几何复习练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何复习解答题 题型一　点、线共面问题 1.如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由． 题型二　点共线、线共点问题 1.如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点．若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． 2.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 3．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.若梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)． 4.已知正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面． (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． 题型三　直线与平面平行的判定 1. 在如图所示的空间图形中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝2a, CD＝a, F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC. 3.如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH. 题型四 直线与平面平行的性质 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，，E是线段PD的中点。 2.如图，在五面体EF—ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC.求证：AD∥EF. 3.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点．若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值． 4.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置． 5．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝，E，F分别为AB和A1D的中点．求证：AF∥平面A1EC. 题型五　平面与平面平行的判定 1.如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为棱PA的中点，点F为棱BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对 角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1D1中，EFGH分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： 3.如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA1∥BB1，AA1=BB1，CC1∥BB1，CC1=BB1.求证：平面ABC∥平面A1B1C1. 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 题型六　平面与平面平行的性质定理的应用 1. 如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF.求证：NF∥CM. 2.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 3．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8.求BD的长． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点．在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 题型七　直线与直线垂直 1.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O.求证：AO⊥A1B. 3.如图，已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF. 题型八　线面垂直的判定 1.如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC. 2.如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝. 求证：BD⊥平面ACD. 3.如图，在三棱锥S ­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 4.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B. (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论． 题型九　线面垂直性质定理的应用 1.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1. (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 2.如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 题型十　平面与平面垂直的判定 1.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是线段EA的中点，求证： (1)DE＝DA. (2)平面BDM⊥平面ECA. (3)平面DEA⊥平面ECA. 2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD. 3.如图所示，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 4.如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点． (1)求证：A1F∥平面ECC1. (2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 题型十一　面面垂直性质定理的应用 1.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD. (2)求证：AD⊥PB. 2．如图，在三棱锥A ­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证： (1)EF∥平面ABC. (2)AD⊥AC. 3.如图所示，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD. (1)求证：AE∥平面BCD. (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. 专题练 1.如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC.求证：AD⊥平面SBC. 2.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点． (1)求证：AC⊥B1C. (2)求证：AC1∥平面CDB1. 3.如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE. (2)求证：CF⊥平面BDE. 4.如图，在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA＝SC，SA⊥BD. (1)求证：SO⊥平面ABCD. (2)设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A­PCD的体积． 5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)试判断直线BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由． (2)求证：直线BD1⊥平面AB1C. 6.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA. (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. (3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何复习 题型一　点、线共面问题 1.如图所示，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内． 【证明】 法一：纳入法 ∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又l2⊂α，∴B∈α. 同理可证C∈α.又B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α. ∴直线l1，l2，l3在同一平面内． 法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2⊂β.∴A∈β. 同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∴不共线的3个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内． ∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内． 2．如图，在四棱锥P­ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，点E是PB的中点．线段PA上是否存在一点G，使得点D，C，E，G共面？若存在，请证明；若不存在，请说明理由． 【解析】 存在PA的中点G满足条件. 证明如下： 连接GE，GD，则GE是三角形PAB的中位线， 所以GE∥AB，又由已知AB∥DC， 所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面． 题型二　点共线、线共点问题 1.如图所示，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点．若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线． 【证明】 ∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF. 又M∈直线CD，N∈直线AB， CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD， ∴M，N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD， ∴Q∈平面ABCD. 同理，可得EF⊂平面ADD1A1， ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD， ∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线． 2.如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线． 【证明】 如图，连接A1B，CD1， 显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1， ∴BD1⊂平面A1BCD1. 同理，BD1⊂平面ABC1D1. ∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1. ∵A1C∩平面ABC1D1＝Q， ∴Q∈平面ABC1D1. 又A1C⊂平面A1BCD1， ∴Q∈平面A1BCD1. ∴Q在平面A1BCD1与平面ABC1D1的交线上， 即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线． 3．如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.若梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于一点)． 【证明】 因为梯形ABCD中，AD∥BC， 所以AB，CD是梯形ABCD的两腰． 所以直线AB，CD必相交于一点． 设直线AB∩直线CD＝M. 又因为AB⊂α，CD⊂β， 所以M∈α，M∈β， 所以M∈α∩β. 又因为α∩β＝l，所以M∈l， 即AB，CD，l共点(相交于一点)． 4.已知正方体ABCD ­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面． (2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线． 【证明】 如图． (1)∵EF是△D1B1C1的中位线，∴EF∥B1D1. 在正方体AC1中，B1D1∥BD，∴EF∥BD. ∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，平面BDEF为β. ∵Q∈A1C1，∴Q∈α. 又Q∈EF，∴Q∈β. 故Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点， ∴α∩β＝PQ. 又A1C∩β＝R，∴R∈A1C. ∴R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线． 题型三　直线与平面平行的判定 1. 在如图所示的空间图形中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝2a, CD＝a, F为BE的中点．求证：DF∥平面ABC. 【证明】 取线段AB的中点G，连接FG, CG. 因为AE∥CD，所以CD∥FG且CD＝FG， 从而四边形CDFG为平行四边形， 所以DF∥CG. 又CG⊂平面ABC, DF⊄平面ABC， 所以DF∥平面ABC. 【证明】 如图，连接AN并延长交BC于点P，连接SP. 3.如图，在三棱台DEF­ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．求证：BD∥平面FGH. 【证明】 如图，连接DG，CD，设CD∩GF＝O，连接OH. 在三棱台DEF­ABC中，由AB＝2DE，G为AC的中点，可得DF∥GC且DF＝GC， 所以四边形DFCG为平行四边形，则O为CD的中点． 又H为BC的中点，所以OH∥BD. 因为OH⊂平面FGH，BD⊄平面FGH， 所以BD∥平面FGH. 题型四 直线与平面平行的性质 1.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC∥平面PAD，，E是线段PD的中点。 【证明】 (1)在四棱锥P­ABCD中，BC∥平面PAD， BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD， ∴BC∥AD， (2)取线段PA的中点F，连接EF，BF. 2.如图，在五面体EF—ABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC.求证：AD∥EF. 【证明】 ∵AD∥BC，AD⊄平面BCEF，BC⊂平面BCEF， ∴AD∥平面BCEF. ∵AD⊂平面ADEF，平面ADEF∩平面BCEF＝EF， ∴AD∥EF. 3.如图，已知E，F分别是菱形ABCD中边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD之外，M是线段PA上一动点．若PC∥平面MEF，试求PM∶MA的值． 【解析】 如图，连接BD交AC于点O1，连接OM. 因为PC∥平面MEF，平面PAC∩平面MEF＝OM，PC⊂平面PAC， 所以PC∥OM，所以＝. 在菱形ABCD中，因为E，F分别是边BC，CD的中点，所以＝. 又AO1＝CO1，所以＝＝， 故PM∶MA＝1∶3. 4.如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2.若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置． 【解析】 若MB∥平面AEF，过F，B，M作平面FBMN交AE于N，连接MN，NF. 因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AA1C1C＝MN， 所以BF∥MN. 又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN， 平面FBMN∩平面AEF＝FN，所以MB∥FN， 所以四边形BFNM是平行四边形， 所以MN∥BF，MN＝BF＝1. 而EC∥FB，EC＝2FB＝2， 所以MN∥EC，MN＝EC＝1， 故MN是△ACE的中位线． 所以，当M是AC的中点时，MB∥平面AEF. 5．如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝3，AB＝，E，F分别为AB和A1D的中点．求证：AF∥平面A1EC. 【证明】 如图，在长方体AC1中，取A1C的中点O，连接OF，OE. 在△A1CD中，因为F，O分别是A1D，A1C的中点， 所以FO∥DC，且FO＝DC，则FO∥AE. 又E是AB的中点，且AB＝DC， 所以FO＝AE.故四边形AEOF是平行四边形， 则AF∥OE.又OE⊂平面A1EC，AF⊄平面A1EC， 所以AF∥平面A1EC. 题型五　平面与平面平行的判定 1.如图，在四棱锥P­ABCD中，点E为棱PA的中点，点F为棱BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对 角线AC，BD交于点O.求证：平面EFO∥平面PCD. 【证明】 因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点． 又点F为BC的中点，所以OF∥CD. 因为OF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD， 所以OF∥平面PCD. 因为点O，E分别是AC，PA的中点， 所以OE∥PC. 因为OE⊄平面PCD，PC⊂平面PCD， 所以OE∥平面PCD. 又OE⊂平面EFO，OF⊂平面EFO，且OE∩OF＝O， 所以平面EFO∥平面PCD. 2.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1D1中，EFGH分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： 【证明】 (1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点， 所以GH是△A1B1C1的中位线，所以GH∥B1C1. 又B1C1∥BC，所以GH∥BC， 所以B，C，H，G四点共面． (2)因为E，F分别是AB，AC的中点， 所以EF∥BC. 因为EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， 所以EF∥平面BCHG. 因为A1G∥EB，A1G＝EB， 所以四边形A1EBG是平行四边形， 所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG， 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF＝E， 所以平面EFA1∥平面BCHG. 3.如图，A，B，C为不在同一直线上的三点，AA1∥BB1，AA1=BB1，CC1∥BB1，CC1=BB1.求证：平面ABC∥平面A1B1C1. 【证明】 ∵AA1∥BB1，AA1=BB1， ∴四边形ABB1A1是平行四边形． ∴A1B1∥AB. 又A1B1⊄平面ABC，AB⊂平面ABC. ∴A1B1∥平面ABC. 同理可证B1C1∥平面ABC. 又A1B1⊂平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，A1B1∩B1C1＝B1， ∴平面ABC∥平面A1B1C1. 4.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 题型六　平面与平面平行的性质定理的应用 1. 如图，在三棱锥P­ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF.求证：NF∥CM. 【证明】 因为D，E分别是PA，PB的中点， 所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC， 所以DE∥平面ABC. 同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，DE，DF⊂平面DEF， 所以平面DEF∥平面ABC. 又平面PCM∩平面DEF＝NF， 平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM. 2.如图，在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D. 【证明】 因为BE∥AA1， AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D. 因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D， BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D. 又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D. 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC， 平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D. 3．如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8.求BD的长． 3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点．在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：AP∥GH. 【证明】 连接AC交BD于点O，连接MO， 因为M，O分别为PC，AC的中点，所以MO∥AP. 又因为MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM， 所以PA∥平面BDM. 又PA⊂平面PAHG，平面PAHG∩平面BDM＝GH， 所以PA∥GH. 题型七　直线与直线垂直 【例2】 如图，在正方体ABCD ­A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O.求证：AO⊥A1B. 【证明】 如题图， ∵ABCD ­A1B1C1D1是正方体，∴A1D1∥BC，A1D1=BC ∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C， ∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角． 连接AC，AD1，易证AC＝AD1， 又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B. 【证明】 取DD1的中点R，连接QR，AR，如图： AR∩A1P＝O. ∵Q是CC1的中点，∴QR∥CD，QR=CD. 而AB∥CD，AB=CD，∴QR∥AB，QR=AB. ∴四边形ABQR是平行四边形，∴BQ∥AR. 在正方形AA1D1D中， ∵P，R分别是AD，DD1的中点， ∴Rt△AA1P≌Rt△DAR，∴∠AA1P＝∠DAR. ∵∠DAR＋∠A1AR＝90°， ∴∠AA1P＋∠A1AR＝90°， ∴∠AOA1＝90°，即A1P⊥AR，∴A1P⊥BQ. 3.如图，已知在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点．求证：CD1⊥EF. 【证明】 如图，取CD1的中点G，连接EG，DG. ∵E是BD1的中点， ∴EG∥BC，EG＝BC. ∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC， ∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF， ∴四边形EFDG是平行四边形， ∴EF∥DG， ∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角． 又A1A＝AB， ∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形， 又G为CD1的中点， ∴DG⊥CD1，∴∠D1GD＝90°， ∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF. 题型八　线面垂直的判定 1.如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC. 【证明】 ∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC. 又AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC. 2.如图，在四面体A­BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝. 求证：BD⊥平面ACD. 【证明】 取CD的中点为G，连接EG，FG. ∵E，F分别为AD，BC的中点， ∴FG∥BD，EG∥AC. ∵AC＝BD＝2，∴EG＝FG＝1. ∵EF＝，∴EF2＝EG2＋FG2， ∴EG⊥FG，∴BD⊥EG. ∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD. 又EG∩CD＝G，∴BD⊥平面ACD. 3.如图，在三棱锥S ­ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC. 【证明】 (1)因为SA＝SC，D是AC的中点， 所以SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD， 由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS， 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D， 所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB＝BC，D为AC的中点， 所以BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD. 又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC. 4.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝，D是A1B1的中点． (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B. (2)当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？证明你的结论． 【证明】 (1)∵ABC­A1B1C1是直三棱柱， ∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°. 又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1. ∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1， ∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1， ∴C1D⊥平面AA1B1B. (2)作DE⊥AB1交AB1于E，延长DE交BB1于F，连接C1F，则AB1⊥平面C1DF，点F为所求． ∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1. 又AB1⊥DF，DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF. ∵AA1＝A1B1＝，∴四边形AA1B1B为正方形． 又D为A1B1的中点，DF⊥AB1，∴F为BB1的中点， ∴当点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF. 题型九　线面垂直性质定理的应用 1.如图，已知正方体ABCD­A1B1C1D1. (1)求证：A1C⊥B1D1. (2)M，N分别为B1D1与C1D上的点，且MN⊥B1D1，MN⊥C1D，求证：MN∥A1C. 【证明】 (1)如图，连接A1C1. ∵CC1⊥平面A1B1C1D1, B1D1⊂平面A1B1C1D1， ∴CC1⊥B1D1. ∵四边形A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1. 又CC1∩A1C1＝C1，A1C1，CC1⊂平面A1C1C， ∴B1D1⊥平面A1C1C. 又A1C⊂平面A1C1C，∴B1D1⊥A1C. (2)连接B1A，AD1.∵B1C1∥AD，且B1C1＝AD， ∴四边形ADC1B1为平行四边形， ∴C1D∥AB1. ∵MN⊥C1D，∴MN⊥AB1. ∵MN⊥B1D1，AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴MN⊥平面AB1D1. 由(1)知A1C⊥B1D1.同理可得A1C⊥AB1. 又AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1⊂平面AB1D1， ∴A1C⊥平面AB1D1. ∴A1C∥MN. 2.如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l. 【证明】 ∵PA⊥α，l⊂α， ∴PA⊥l. 同理PB⊥l. ∵PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB， ∴l⊥平面PAB. ∵PA⊥α，a⊂α， ∴PA⊥a. ∵a⊥AB，PA∩AB＝A，PA，PB⊂平面PAB， ∴a⊥平面PAB. ∴a∥l. 题型十　平面与平面垂直的判定 1.如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是线段EA的中点，求证： (1)DE＝DA. (2)平面BDM⊥平面ECA. (3)平面DEA⊥平面ECA. 2.如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD. 【证明】 ∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD， ∴PA⊥CD. 又CD⊥AD，PA∩AD＝A， ∴CD⊥平面PAD. 又CD⊂平面PDC， ∴平面PDC⊥平面PAD. 3.如图所示，三棱锥P­ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC. 【证明】 ∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， ∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC. 又AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB， PA⊂平面PAB， ∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC， ∴平面PAB⊥平面PBC. 如图所示，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，E为AD的中点，F为B1C1的中点． (1)求证：A1F∥平面ECC1. (2)在CD上是否存在一点G，使BG⊥平面ECC1？若存在，请确定点G的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解析】 (1)证明：如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，取BC的中点M，连接AM，FM， 所以B1F∥BM且B1F＝BM， 所以四边形B1FMB是平行四边形， 所以FM∥B1B且FM＝B1B. 因为FM∥A1A且FM＝A1A， 所以四边形AA1FM是平行四边形， 所以A1F∥AM. 因为E为AD的中点， 所以AE∥MC且AE＝MC. 故四边形AMCE是平行四边形， 所以CE∥AM，所以CE∥A1F. 因为A1F⊄平面ECC1，EC⊂平面ECC1， 所以A1F∥平面ECC1. (2)在CD上存在一点G，使BG⊥平面ECC1. 取CD的中点G，连接BG，如图． 在正方形ABCD中， DE＝GC，CD＝BC，∠ADC＝∠BCD， 所以△CDE≌△BCG，所以∠ECD＝∠GBC. 因为∠CGB＋∠GBC＝90°，所以∠CGB＋∠DCE＝90°， 所以BG⊥EC. 因为CC1⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD， 所以CC1⊥BG.又EC∩CC1＝C， 所以BG⊥平面ECC1. 故当G为CD的中点时，满足BG⊥平面ECC1. 题型十一　面面垂直性质定理的应用 1.如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD的中点，求证：BG⊥平面PAD. (2)求证：AD⊥PB. 【证明】 (1)如图，在菱形ABCD中，连接BD，由已知∠DAB＝60°， ∴△ABD为正三角形． ∵G是AD的中点， ∴BG⊥AD. ∵平面PAD⊥平面ABCD， 且平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴BG⊥平面PAD. (2)如图，连接PG. ∵△PAD是正三角形，G是AD的中点， ∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD. 又PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PBG. 而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB. 2．如图，在三棱锥A ­BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证： (1)EF∥平面ABC. (2)AD⊥AC. 【证明】 (1)在平面ABD内，AB⊥AD，EF⊥AD， 则AB∥EF. ∵AB⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， ∴EF∥平面ABC. (2)∵BC⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，平面ABD⊥平面BCD，BC⊂平面BCD， ∴BC⊥平面ABD. ∵AD⊂平面ABD， ∴BC⊥AD. ∵AB⊥AD，BC，AB⊂平面ABC，BC∩AB＝B， ∴AD⊥平面ABC又AC⊂平面ABC， ∴AD⊥AC. 3.如图所示，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD. (1)求证：AE∥平面BCD. (2)求证：平面BDE⊥平面CDE. 【证明】 (1)取BC的中点M，连接DM. 因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2. 所以DM＝1，DM⊥BC. 又平面BCD⊥平面ABC， 所以DM⊥平面ABC， 又AE⊥平面ABC， 所以AE∥DM. 又AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD， 所以AE∥平面BCD. (2)由(1)知AE∥DM， 又AE＝1，DM＝1， 所以四边形DMAE是平行四边形， 所以DE∥AM. 连接AM，易证AM⊥BC， 因为平面BCD⊥平面ABC， 所以AM⊥平面BCD， 所以DE⊥平面BCD. 又CD⊂平面BCD， 所以DE⊥CD. 因为BD⊥CD，BD∩DE＝D， 所以CD⊥平面BDE. 因为CD⊂平面CDE， 所以平面BDE⊥平面CDE. 专题练 1.如图所示，已知△ABC中，∠ACB＝90°，SA⊥平面ABC，AD⊥SC.求证：AD⊥平面SBC. 【证明】 ∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC. 又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC. ∵SA∩AC＝A，∴BC⊥平面SAC，∴BC⊥AD. 又SC⊥AD，SC∩BC＝C， ∴AD⊥平面SBC. 2.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，AC＝9，BC＝12，AB＝15，AA1＝12，点D是AB的中点． (1)求证：AC⊥B1C. (2)求证：AC1∥平面CDB1. 【证明】 (1)∵C1C⊥平面ABC，∴C1C⊥AC. ∵AC＝9，BC＝12，AB＝15， ∴AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC. 又BC∩C1C＝C， ∴AC⊥平面BCC1B1， 而B1C⊂平面BCC1B1，∴AC⊥B1C. (2)连接BC1交B1C于O点，连接OD.如图，∵O，D分别为BC1，AB的中点，∴OD∥AC1.又OD⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1. 3.如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝，CE＝EF＝1. (1)求证：AF∥平面BDE. (2)求证：CF⊥平面BDE. 【证明】 (1)如图，设AC与BD交于点G. 因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝AC＝1， 所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG. 因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE， 所以AF∥平面BDE. (2)连接FG. ∵EF∥CG，EF＝CG＝1， ∴四边形CEFG为平行四边形． 又CE＝EF＝1，∴▱CEFG为菱形，∴EG⊥CF. 在正方形ABCD中，AC⊥BD. ∵正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直， ∴BD⊥平面CEFG.∴BD⊥CF. 又EG∩BD＝G，∴CF⊥平面BDE. 4.如图，在四棱锥S ­ABCD中，底面ABCD是菱形，其对角线的交点为O，且SA＝SC，SA⊥BD. (1)求证：SO⊥平面ABCD. (2)设∠BAD＝60°，AB＝SD＝2，P是侧棱SD上的一点，且SB∥平面APC，求三棱锥A­PCD的体积． 【解析】 (1)证明：∵底面ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. 又BD⊥SA，SA∩AC＝A， ∴BD⊥平面SAC. 又SO⊂平面SAC.∴BD⊥SO. ∵SA＝SC，AO＝OC， ∴SO⊥AC. 又AC∩BD＝O，∴SO⊥平面ABCD. (2)连接OP， ∵SB∥平面APC，SB⊂平面SBD， 平面SBD∩平面APC＝OP，∴SB∥OP. 又O是BD的中点，∴P是SD的中点． 由题意知△ABD为正三角形．∴OD＝1. 由(1)知SO⊥平面ABCD，∴SO⊥OD. 又SD＝2，∴在Rt△SOD中，SO＝. ∴P到平面ABCD的距离为， ∴VA­PCD＝VP­ACD＝××＝. 5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点． (1)试判断直线BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由． (2)求证：直线BD1⊥平面AB1C. 【解析】 (1)连接BD，设AC∩BD＝O，连接OE. 在△BDD1中，O，E分别是BD，DD1的中点，则 OE∥BD1， 因为直线AE在平面AEC内，而直线BD1不在平面AEC内， 根据直线与平面平行的判定定理，得到直线BD1∥平面AEC. (2)证明：直线BD1在平面ABCD上的投影是BD， 显然有BD⊥AC，可得BD1⊥AC， 同理可得，BD1⊥AB1. 因为AC和AB1是平面AB1C内的两条相交直线， 所以根据直线与平面垂直的判定定理，得直线BD1⊥平面AB1C. 6.如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点． (1)求证：EF∥平面A1B1BA. (2)求证：平面AEA1⊥平面BCB1. (3)求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小． 【解析】 (1)证明：如图，连接A1B. 在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点， 所以EF∥BA1. 又EF⊄平面A1B1BA， 所以EF∥平面A1B1BA. (2)证明：因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC. 因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1， 所以BB1⊥平面ABC， 从而BB1⊥AE. 又BC∩BB1＝B，所以AE⊥平面BCB1. 又AE⊂平面AEA1， 所以平面AEA1⊥平面BCB1. (3)取BB1的中点M和B1C的中点N，连接A1M，A1N，NE. 因为N和E分别为B1C和BC的中点， 所以NE∥B1B，NE＝B1B， 故NE∥A1A且NE＝A1A， 所以A1N∥AE，且A1N＝AE. 又AE⊥平面BCB1， 所以A1N⊥平面BCB1， 从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角． 在△ABC中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2. 因为BM∥AA1，BM＝AA1， 所以A1M∥AB，A1M＝AB. 又由AB⊥BB1，有A1M⊥BB1. 在Rt△A1MB1中，可得A1B1＝＝4. 在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝＝， 因此∠A1B1N＝30°. 所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°. 学科网（北京）股份有限公司 $$