二次函数与一元二次方程、一元二次不等式讲义-2025届高三数学一轮复习

一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式 一、二次函数的图象与性质 1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象是以x= 为对称轴，以()为顶点的抛物线． 2．性质：a>0时，开口向上，x= 时，f(x)有最小值； a<0时，开口向下，x= 时，f(x)有最大值． a：表明抛物线的开口；b：连同a确定抛物线的对称轴；c：与y轴交点的纵坐标． 3、二次函数有以下三种解析式： 一般式：___________________ 顶点式：_________________ 零点式：__________其中是方程的根 二、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式组的解对应关系 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 （其中 无实根 的解集 或 的解集 三、绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把看成一个整体，化成，型不等式来求解 四、一元二次方程的解法 (1） 配方法 利用配方，使方程变为完全平方公式，在用直接开平方法去求出解 (2） 分解因式法 提取公因式，套用公式法，和十字相乘法。在解一元二次方程的时候也一样，利用这点，把方程化为几个乘积的形式去解 (3） 公式法 这方法也可以是在解一元二次方程的万能方法了，方程的根 x1=，x2= 五、一元一次方程根的情况 这里可以分为3种情况： I当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； II当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根； III当△<0时，一元二次方程没有实数根 6、 针对训练 (1)； (2) (3)； （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 单选题 1．一元二次方程2（x-2）2+7（x-2）+6=0的解为（　　） A．x1=-1，x2=1 B．x1=4，x2=3.5 C．x1=0，x2=0.5 D．无实数解 2．若函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象恒在x轴上方，则a的取值范围是(　　) A．1≤a≤19 B．1＜a＜19 C．1≤a＜19 D．1＜a≤19 3．实数α，β是方程x2－2mx＋m＋6＝0的两根，则(α－1)2＋(β－1)2的最小值为(　　) A．8 B．14 C．－14 D．－ 4． 若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A． B． C． D． 5.已知二次函数，如果(其中)，则 A． B． C． D． 6.函数对任意的x均有，那么、、的大小关系是 A． B． C． D． 7.已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 A． B． C． D． 8．不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[−1,4] B．(−∞,−2]∪[5,＋∞) C．(−∞,−1]∪[4,＋∞) D．[−2,5] 多选题 9.若关于x的不等式x2+x+m2<0的解集不是空集,则实数m的取值范围不成立的是 (　　) A.m< B.-<m< C.-≤m≤ D.m≥ 10.若函数是偶函数，则在区间上是 A．增函数 B．减函数 C．常函数 D．先增后减 11．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为3++．其中错误的是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 填空题 12．要使有意义，则x的取值范围为________． 13.若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集为 . 14.若关于x的方程x2-4|x|+3-m=0有4个不相等的实数根，则m的取值范围是 ． 解答题 15.已知不等式x2-3x-4<0的解集为A,不等式x2-x-6<0的解集为B. (1)求A∩B; (2)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为A∩B,求a,b的值. 16.已知． (1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值． 17.若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是 18. 已知函数，若时，有恒成立，求的取值范围． 19.已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a ≠ 0），满足条件 f (1 + x) = f (1－x)，且方程 f (x) = x 有等根． (1)求 f (x) 的解析式； (2)是否存在实数 m、n（m < n），使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n]，如果存在，求出 m、n 的值，如果不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$