第三部分 11.2 与三角形有关的角-【假期成才路·暑假】2024年七年级数学假期总复习与衔接（人教版）

第三部分八年级上册新课预习 11.2与三角形有关的角 ∴.∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°. 11.2.1三角形的内角 规律与方法：根据三角形内角和定理建立 方程模型，这是用代数知识解决几何问题常用 第1课时三角形的内角和 的方法，这里隐含的相等关系是“三角形三个内 础乳 角的和等于180°” 1三角形中相邻两边组成的角，叫做三角 有宝网练 形的内角。 1.在△ABC中，∠B=40°，∠C=80°，则∠A的 2.三角形三个内角的和等于180°. 度数为 () 典例爆阅 A.30° B.40 C.509 D.60 考点：三角形内角和定理 2.已知△ABC中，∠A=∠B=号∠C,则△ABC 【例1】如图所示，已知△ABC,试说明 是 () ∠A+∠B+∠C=180° A.锐角三角形 B.直角三角形 证明：在BC上任取一，点 C.钝角三角形 D.不能确定 D,作DE∥AC,DF∥AB,分 3.如图，把△ABC沿线段DE折叠，使点A落在 别交AB,AC于点E,F 点F处，BC∥DE,若∠A+∠B=110°，则 DE∥AC,DF∥AB. ∠FEC= .∠1=∠C,∠3=∠B ∠2=∠4=∠A. 又，∠1+∠2+∠3=180°， ∴.∠A+∠B+∠C=180. 109 21 41 【例2】在△ABC中，已知∠A=3∠B 第3题图 第4题图 4.如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4= 号∠C,求∠A,∠B,∠C的度数。 5.已知：如图，△ABC中，∠ABC=∠C,BD⊥ 分析：由∠B,∠C与∠A之间的数量关系， AC于D,求证：∠DBC-2∠A 用∠A分别表示∠B,∠C,然后根据三角形的内 角和定理列出方程即可求出∠A,∠B,∠C的 度数 解：由已知得∠B=3∠A,∠C=5∠A 设∠A=x,则∠B=3.x,∠C=5.x 由三角形内角和定理知x十3.x十5.x=180°， 解得x=20°， .3.x=60°，5.x=100°， ·45· 假期成才路·七年级数学（凡J) 考点2：直角三角形的判定 第2课时 直角三角形 【例2】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点 础学 D,∠1=∠B.试说明：△ABC是直角三角形. 1.直角三角形可用符号“Rt△”表示，直角 三角形ABC可以写成Rt△ABC B 2.直角三角形的性质：直角三角形的两个 锐角互余。 分析：要证明△ABC是直角三角形，可证明 3.有两个角互余的三角形是直角三角形， ∠1+∠BAD=90°，也可证明∠B与∠C互余. 解：在Rt△ABC中， 典例探究上 ∠1+∠C=90°. 考点1：直角三角形的性质 又：∠B=∠1，∴.∠B+∠C=90°， 【例1】如图，在△ACB中，∠ACB=90°， '.△ABC是直角三角形. CD⊥AB于D. 有主网陈上 1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于27°， 则另一个锐角的度数是 () A.73 B.63 C.53 D.43 (1)求证：∠ACD=∠B: 2.如图，AB∥DF,AC⊥CE于C,BC与DF交 (2)若AF平分∠CAB分别交CD,BC于 于点E,若∠A=20°，则∠CEF等于() E,F,求证：∠CEF=∠CFE 分析：(1)由于∠ACD与∠B都是∠BCD的 余角，根据同角的余角相等即可得证：(2)根据直 角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF, D ∠AED=90°-∠DAE,再根据角平分线的定义 A.110° B.100° C.80 D.70 得出∠CAF=∠DAE,然后由对顶角相等的性 3.已知∠A=37°，∠B=53°，则△ABC为( 质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE. A.锐角三角形 B.钝角三角形 证明：(1)，∠ACB=90°，CD⊥AB于D, C.直角三角形 D.以上都有可能 '.∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°， 4.如图，已知∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,那 ∴.∠ACD=∠B; 么图中与∠A相等的角是 (2)在Rt△AF℃中，∠CFA=90°-∠CAF, 同理在R△AED中，∠AED=90°-∠DAE 又，AF平分∠CAB, ∴.∠CAF=∠DAE, 第4题图 第5题图 ∴.∠AED=∠CFE, 5.如图，已知∠AON=40°，OA=6,点P是射线 又，'∠CEF=∠AED, ON上一动.点，当△AOP为直角三角形时，∠A ,.∠CEF=∠CFE. ·46· 第三部分八年级上册新课预习 6.在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°， 解：方法一：如图①所示，连接AD并延长到 CD⊥AB于D,CE是△ABC的角平分线， E,根据三角形的外角的性质，有∠BDE=∠B (1)求∠DCE的度数 +∠BAD,∠CDE=∠CAD+∠C, (2)若∠CEF=135°，求证：EF∥BC ∴.∠BDC=∠BDE+∠CDE =∠B+∠BAD+∠CAD+∠C =∠B+∠BAC+∠C =40°+50°+30 =120°. 方法二：如图②所示，延长BD交AC于E,则有 ∠BEC=∠B+∠A, ∠BDC=∠BEC+∠C. ∴.∠BDC=∠A+∠B+∠C 11.2.2三角形的外角 =50°+40°+30° =120° 础子净 规律与方法：三角形外角的性质不但体现 L.三角形的一边与另一边的延长线组成的 出角度的具体数量关系，而且还反映出角度的 角，叫做三角形的外角。 大小关系.在运用性质解答问题时，要注意区分 2.三角形外角的性质 外角、内角与所在的三角形的位置关系及题中 (1)三角形的一个外角等于与它不相邻的 的已知条件和要求 两个内角的和。 考点2：利用三角形的外角进行大小比较 (2)三角形的一个外角大于任何一个与它 【例2】如图，CE为△ABC的外角平分 不相邻的内角 线，交BA的延长线于E,求证：∠BAC>∠B. 3.三角形的外角和等于360°. 解：，CE为△ABC的外角平分线， 典例-探宽 ∴.∠ACE=∠ECD, 考点1：利用三角形的外角性质进行计算 ,∠BAC>∠ACE, 【例1】如图所示，∠BAC=50°，∠B= ∴.∠BAC>∠ECD, 40°，∠C=30°，求∠BDC的度数. ,∠ECD>∠B, ∴.∠BAC>∠B. 规律与方法：有关三角形中角的大小比较常 用方法是利用三角形的一个外角大于与它不相邻 的任一内角这一性质 ·47 假期成才路·七年级数学（凡J) 考点3：利用三角形的外角和进行计算 2.如图所示，在△ABC中，∠A=78°，∠ACD是 【例3】如图，点D,E,F分别是△ABC的 △ABC的一个外角，∠EBC=S ∠ABC, 边BC,AC,AB上的点，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6等于 ∠ECD=3∠ACD,则∠E为 ( A.22 B.26 C.28 D.30 3.如图，∠A=32°，∠B=45°，∠C=38°，则 ∠ADB= ,∠AEB= A.180°B.240° C.360° D.540° 解：C 30 50g 规律与方法：利用三角形的一个外角等于 第3题图 第4题图 与它不相邻的两个内角的和，将多个内角的和 4.如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP 进行转化，再利用三角形的外角和求解.三角形 是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP= 的外角和是一个确定值，不因三角形形状的变 20°，∠ACP=50°，则∠P 化而改变， 5.如图，△ABC中，∠ABC=∠C=70°，BD平 有宝网陈 分∠ABC,求∠ADB的度数. 1.如图所示，∠A,∠1，∠2的大小关系是( A.∠A>∠1>∠2 B.∠2>∠1>∠A C.∠A>∠2>∠1 D.∠2>∠A>∠1 D 第1题图 第2随图 11.3 多边形及其内角和 叫做多边形的对角线。 11.3.1多边形 (2)边形中以一个顶点出发引出的对角线 基础子学 的条数为n一3：n边形的对角线的条数 1.多边形的定义：在平面内，由一些线段首 为n-3) 2 尾顺次相接组成的封闭图形 典例探究 正多边形：各个内角都相等，各条边都相等 的多边形 考点1：多边形及其概念 2.多边形的对角线： 【例1】如图所示的图形中，属于多边形的有 (1)连接多边形不相邻的两个顶点的线段 ·48假期成才路·七年级数学(RJ) 28.解：(1)①∠D=45°，②∠D的度数不变.理由略. 11.3.2多边形的内角和 (2)∠D=30°(3)∠D=a 自主训练 第三部分 八年级上册新课预习 1.D2.A3.54.605.∠CAD=36 八年级入学测试卷 第十一章 三角形 一、选择题 1.C2.B3.A4.B5.D6.A7.D8.B9.C 11.1与三角形有关的线段 10.C11.B12.D 二、填空题 11.1.1三角形的边 13.-214.80°15.x<-1 16.217.150018.b≤-2 自主训练 三、解答题 1.D2.D3.C4.3215.等腰锐角 6.4x<10 98-3253 7.(1)5cm<BC<11cm (2)BC 6cm,8cm,10cm 20.解：不等式组的解集为一2<x≤4，不等式组的非负 (3)周长为19cm 整数解是0,1,2,3,4. 21.(1)解：，∠A=∠ADE 11.1.2三角形的高、中线与角平分线 .DE∥AC,.∠EDC+∠C=180°， 自主训练 '∠EDC=4∠C,∴.4∠C+∠C=180°， 1.D2.A3.A 解得，∠C=36°： 4.ADAD△ACF与△ACB、△BCF (2)证明：DE∥AC,∴.∠E=∠ABE, 5.BE∠CAD90°6.AC-AB=3 '∠C=∠E,.∠C=∠ABE,∴BE∥CD 11.1.3三角形的稳定性 2解：根据题意得：低，1=0 自主训练 1.B2.C3.A4.三角形具有稳定性5.① 解得：2 则√5x+y=3. 11.2与三角形有关的角 23.解：(1)(8+16)÷12%=200（人）： (2)135≤x<145一组的频数是： 200-8-16-71-60-16=29, 11.2.1三角形的内角 圆心角度数为360°×29+16=81： 200 第1课时三角形的内角和 (3)全市28000名七年级学生中成绩为优秀有 自主训练 28000×60+29+16=14700(人) 200 1.D2.B3.404.280°5.略 24.解：(1)图略：A(1,5),B(-1,1),C1(3,2). 第2课时直角三角形 (2)△A,BC的面积为：4×4-号×1×4-×2 自主训练 ×3-2×2×4=16-2-3-4=7: 1.B2.A3.C4.∠BCD5.50或90 25.解：(1)1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B 6.(1)∠DCE=15°(2)证明略 型车装满货物一次可运4吨。 11.2.2三角形的外角 (2)有3种租车方案： 方案一：A型车9辆，B型车1辆： 自主训练 方案二：A型车5辆，B型车4辆： 1.B2.B3.83°70°4.30°5.∠ADB=105 方案三：A型车1辆，B型车7辆 (3)最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型 11.3多边形及其内角和 车7辆，最少租车费为940元 26,【探究】(1)50115(2)∠P=号∠A+90 11.3.1多边形 自主训练 【应用】∠Q=90°-号∠A 1.C2.D3.nnn2n4.n(n+1) ·60·