1.2 等差数列课件（课时1 等差数列及其通项公式、等差数列与一次函数）-2023-2024学年高二上学期数学湘教版（2019）选择性必修第一册

第二节 等差数列 课时1 等差数列及其通项公式、等差数列与 一次函数 过基础 教材必备知识精练 1 知识点1 等差数列的概念 4年2考 1.下列数列中，不是等差数列的是( ) C A.1,4,7,10 B.,,, C.,,, D.10,8,6,4,2 【解析】 A中，满足 （常数），所以是等差 数列；B中，满足 （常数）,所 以是等差数列；C中，因为 ,不满足等差数列的定义，所 以不是等差数列；D中，满足 （常数），所以是等差数列.故选C. 2 2.（多选）若，， 成等差数列，则( ) AC A.，，成等差数列 B.，， 成等差数列 C.，，成等差数列 D.，， 成等差数列 3 【解析】 A √ 因为，，成等差数列，所以 ，所以 ，所以，， 成等差数列. B 取，,，则,,分别为0，1， ， 不成等差数列. C √ 因为，，成等差数列，所以 ，所以 ，所以，， 成等差数 列. D 取,,，得,, ,不成等差数列. 4 3.已知和的等差中项是4,和的等差中项是5,则和 的等差中项是 ( ) D A.8 B.6 C.4.5 D.3 【解析】 因为，，所以 ，所以 ，所以和的等差中项是 . 5 4.判断下列数列是否为等差数列，若是，首项和公差分别是多少？ （1）数列的通项公式为 ； 【解析】 （判定等差数列的方法之一——定义法） ， 所以数列为等差数列,且首项，公差 . 6 （2）数列的通项公式为 . 【解析】 ，不是常数， 所以数列 不是等差数列. 7 知识点2 等差数列的通项公式及其应用 4年14考 5.已知等差数列4，7，10，13， ,则76是该数列的( ) A A.第25项 B.第26项 C.第27项 D.第28项 【解析】 设该等差数列为.由题意可知，数列 的首项为4，公差为 3，则,由,得 .故选A. 8 6.已知等差数列,若,,则 的通项公式为 ( ) C A. B. C. D. 【解析】 设等差数列的公差为.由 即 解得所以 . 9 7.已知数列是等差数列，且，则 ( ) B A.1 B.3 C.5 D.7 【解析】 设等差数列的公差为 . 方法一 由，得 ，则 . 方法二 由,得,整理得 . 方法三 由,得,所以 . 10 8.在数列中，, ,则该数列中相邻两项乘积为负 数的是( ) C A. B. C. D. 【解析】 由,得，所以数列 是首项为 5,公差为的等差数列，所以 .由 ，得,所以,，所以 . 11 9.若等差数列中，，，则数列的通项公式为 _______. 【解析】 方法一 设等差数列的公差为,由题意得 解 得所以 . 方法二 由题意，得公差,所以 . 12 10.设等差数列的公差为 ． （1）若，，求 ； 【解析】 因为， ， 所以 . （2）若，，，求 ； 【解析】 因为，， ， 所以，解得 . 13 （3）若，，求 ； 【解析】 因为， ， 所以，解得 . （4）若，，求 ． 【解析】 因为， ， 所以，解得 . 14 知识点3 等差数列的性质 11.[2024山东临沂模考]在等差数列中，“”是“ ” 的( ) A A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 【解析】 当的公差时，由，得 是任意的正 整数；当时，由,得,即 .故“ ”是“ ”的必要而不充分条件． 15 12.在等差数列中，若,，则 ( ) A A.19 B. C.15 D. 【解析】 因为数列是等差数列，所以数列 仍是等差数列. 记等差数列的公差为,由,,得 , 所以 . 16 【名师点评】 本题也可求出和（等差数列 的公差），再利用通项公式分别求出 , ，再求和，但利用性质求解更快速. 17 13.在等差数列中，，，则 ( ) B A.4 B.8 C.3 D.6 18 【解析】 方法一 因为为等差数列，所以 （等差数列中,若,则 ），即 ，得 . 方法二 因为为等差数列，所以（等差中项） ，所 以.又，， 构成等差数列（等差数列中,下标成等差数列的项 仍构成等差数列）,即4，6，构成等差数列，所以 . 方法三 设等差数列的公差为，则 即 19 得故 . 【归纳总结】已知 为等差数列. （1）若，则 ; （2）若，则 ; （3）若 ，则 ; （4）若 ，则 . 21 14.[2024江西南昌二中高二月考]在等差数列中，若 ， 则 ( ) D A.6 B.5 C.4 D.3 【解析】 方法一 ，则 ，所以 . 方法二 由等差数列的性质可得， . 22 15.[2024北京四中期中]已知数列， 都是等差数列，若 ，，则 ( ) B A.8 B.10 C.11 D.12 【解析】 因为，都是等差数列，所以 也是等差数列， 所以，即 ，解得 . 23 16.（多选）已知等差数列满足 ，且 ，则( ) CD A. B. C. D. 【解析】 根据等差数列的性质，得 ，因为 ，所以 ，所以 .又,所以, . 故选 . 24 17.在等差数列中，,，则 ____. 63 【解析】 方法一 由等差数列的性质，可知公差 ， 所以 . 方法二 因为,所以 . 25 【归纳总结】在等差数列中，首项为，公差为 ，则 ，且对任意的，，有 .特 别地，当时， ，这表明已知等差数列中的任意两项即可 求得其公差. 26 知识点4 构造等差数列求通项公式 18.在数列中，若，， ， 则数列 的通项公式为( ) A A. B. C. D. 【解析】 因为 （判定等差数列的方法之 二——等差中项法），所以数列{ }是等差数列，公差 ，所以 ，所以 . 27 19.已知数列满足 ,则( ) B A.数列{}是公差为 的等差数列 B.数列{ }是公差为1的等差数列 C.数列{}是公差为 的等差数列 D.数列{}是公差为 的等差数列 【解析】 因为，所以,即 , 所以数列{ }是公差为1的等差数列. 28 20.已知数列满足，，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 因为，所以.又， ，所以数 列{}是首项为2，公差为1的等差数列，所以,所以 ,则 .故选D. 29 21.已知数列的各项均为正数,，,则 ______. 【解析】 由题意可得,，所以数列 是以4为首项,4 为公差的等差数列，所以,得 . 30 【归纳总结】 递推关系式转化的常见形式 （1）转化为常数，则数列 是等 差数列. （2）转化为常数，则数列{ }是等差数列. （3）转化为常数,则数列{ }是等差数列. （4）转化为常数,则数列{ }是等差数列. （5）转化为常数，则数列 是等差数列. （6）转化为常数，则数列{ 是等差数列. 31 知识点5 等差数列与一次函数 22.（多选）已知数列的通项公式为（, 为常数），则下 列说法正确的是( ) ABC A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 32 【解析】 由数列的通项公式 （判定等差数列的方法之 三——通项公式法），知数列 是等差数列.由等差数列的单调性可得， 若,则公差,所以数列 是递增数列，故A,B一定成立;若 ，则,所以数列是递增数列，所以 ， 故C一定成立；当时， 不成立，故D不一定成立.故选 . 33 23.[2024四川部分名校联考]在正项等差数列中，，则公差 的 取值范围是______. 【解析】 依题意可得所以 . 34 24.开放题[2024山东德州期中]写出一个同时具有下列性质①②的等差数列 的通项公式： __________________. ① ； ② 是递增数列. （答案不唯一） 【解析】 设数列的公差为 ，则由性质①可得 ，整理得 ，所 以，再根据②可知，显然 满足题意.取,则.（【另解】注意到 ,不妨令 ,满足题意.）（注：满足题意的答案均可.） 35 25.已知数列的通项公式为 . （1）当和满足什么条件时，数列 是等差数列？ 【解析】 ，因 为数列是等差数列，所以是一个与 无关的常数，所以 , 即,时，数列 是等差数列. 36 （2）求证：对任意实数和，数列 是等差数列. 【解析】 由（1）知 , 因为 为常数， 所以数列 是等差数列. 37 【方法总结】 若,是等差数列，则， 为常数）也是等差数列. 38 第二节 等差数列 课时1 等差数列及其通项公式、等差数列与 一次函数 过能力 学科关键能力构建 39 1.在等差数列中，，，则数列 中为正数的项的个 数为( ) C A.14 B.13 C.12 D.11 【解析】 ，由 ，得，所以数列 中为正数的项的个数为12. 40 2.[2024辽宁鞍山期中]已知数列是等差数列，若 ，则 ( ) C A.7 B.21 C.14 D.17 【解析】 由等差数列的性质知，又 ，所 以，所以 . 41 3.周长为9的三角形的三边长成公差为1的等差数列，设三角形最大内角为 ，则 ( ) D A. B. C. D. 【解析】 由题可设三边长分别为，， ，则 ，解得 ，所以三边长分别为2，3，4.由余弦定 理得 . 42 4.新定义定义：在数列中，若对任意的都满足 （为常数），则称数列为等差比数列.已知等差比数列 中， ,，则 ( ) C A. B. C. D. 43 【解析】 因为为等差比数列，，,，所以{ } 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以 ,所以 .故选C. 44 5.（多选）在等差数列中，，公差 ，依次取出项的序号 被4除余3的项组成新数列 ，则( ) BCD A. B. C. D. 【解析】 因为， ，所以 ，数列 中项的序号被4除余3的项是第3项、第7项、 第11项、 ，所以 ，，， 故A错误，B，C正确；设数列 中的第项是数列中的第项，则 ，所以当时， ，故 ，故D正确. 45 6.已知等差数列为递增数列，若， ，则数 列的公差 的值为___. 1 【解析】 由 ，得 ， 所以. 又，，所以 ，， 所以 . 46 7.[2024天津二十中学月考]已知等差数列中，， ，若在 数列 中每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列， 则新数列的第43项为___. 【解析】 设等差数列的公差为，则解得 若在 数列中每相邻两项之间插入三个数所得新数列为 ，则新的等差数 列的公差为，首项为 ，所以新数列的通项公式为 ，故 . 47 8.新情境已知数阵 中，每行、每列的四个数均成等 差数列，如果数阵中,，,那么___， __. 3 【解析】 设第三行的四个数构成的等差数列的公差为，由 , ,得，所以 .因为第二列的四个数成等 差数列，所以是，的等差中项，所以 . 48 9.（1）已知四个数成等差数列且是递增数列，这四个数的平方和为94， 首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列; 【解析】 设这四个数分别为，，， ，则 又该数列是递增数列，所以 ， 所以， ， 所以此等差数列为，2，5，8或，， ，1. 49 （2）已知等差数列 是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积 为231，求数列 的通项公式. 【解析】 方法一 设等差数列的公差为,则其前三项分别为 ， ， ， 则 解得或 又数列为递增数列，所以 所以等差数列的通项公式为 . 50 方法二 设等差数列的前三项分别为，， ，则 解得或 又数列为递增数列，所以 所以等差数列的通项公式为 . 51 【名师点评】当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为 ，再以 公差为向两边分别设项： ，，，，，， ； 当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为， ，再 以公差为向两边分别设项： ，，，，， . 这样设的优点是：若有 个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数 列，则其各项和为 . 52 10.[2024湖北仙桃市田家炳实验高中高二期中]已知数列满足 ， 且 . （1）求， ； 【解析】 因为 ， 所以 ， 又,所以， . 53 （2）求数列 的通项公式. 【解析】 由，得 . 又,所以{}是首项为 ，公差为3的等差数列，所以 ， 则，即数列的通项公式为 . 54 $$