专题14 二次函数与一元二次方程、不等式（七大题型） -2024年暑假九年级升高一数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）

专题14 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【典例例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高一·天津东丽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【典例1-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【变式1-1】（2024·高一·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 【变式1-3】（2024·高一·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-4】（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【典例3-2】（2024·高一·福建·阶段练习）已知不等式的解集为或 (1)求的值 (2)解不等式． 【变式3-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 【变式3-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【变式3-3】（2024·高一·广东深圳·期末）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高一·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【典例4-2】（2024·高三·上海·开学考试）不等式的解集是 ． 【变式4-1】（2024·高一·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【变式4-2】（2024·高二·上海·开学考试）不等式的解集为 . 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2024·高一·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 题型六：不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）设命题，写出一个实数 ，使得是真命题． 【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【变式6-1】（2024·高一·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【变式6-2】（2024·高一·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【变式6-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【典例7-2】（2024·高一·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【变式7-1】（2024·高一·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 【变式7-2】（2024·高一·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 3．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·高一·浙江·期末）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（    ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 5．（2024·高一·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（2024·高一·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 7．（2024·高一·黑龙江鸡西·阶段练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 8．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 9．（2024·高一·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 10．（2024·高一·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 三、填空题 11．（2024·高一·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 12．（2024·高一·上海·期中）不等式的解集为 . 13．（2024·高一·江苏常州·期中）的解集为 14．（2024·高一·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 15．（2024·高一·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 16．（2024·高一·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 17．（2024·高一·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 18．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 19．（2024·高一·江苏·专题练习）设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值； (2)若均大于0，求的取值范围. 20．（2024·高一·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 21．（2024·高一·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 22．（2024·高一·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 23．（2024·高一·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 24．（2024·高一·上海·假期作业）解不等式：. 25．（2024·高一·上海·假期作业）解不等式：. 26．（2024·高一·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数与一元二次方程、不等式 【题型归纳目录】 【思维导图】 【知识点梳理】 知识点一：一元二次不等式的概念 一般地，我们把只含有一个末知数，并且末知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均为常数，的不等式都是一元二次不等式． 知识点二：二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 知识点三：一元二次不等式的解集的概念 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点四：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况．因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 知识点诠释： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式与的解集． 知识点五：利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题中的未知数； （2）由题中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 知识点六：一元二次不等式恒成立问题 （1）转化为一元二次不等式解集为的情况，即恒成立恒成立 （2）分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． 知识点七：简单的分式不等式的解法 系数化为正，大于取“两端”，小于取“中间” 【典例例题】 题型一：解不含参数的一元二次不等式 【典例1-1】（2024·高一·天津东丽·阶段练习）不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【解析】不等式可化为，解得. 故选：B. 【典例1-2】（2024·高一·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式： (1)； (2)． 【解析】（1）由，得， 即，所以， 所以不等式得解集为； （2）由，得，无解， 所以不等式的解集为. 【变式1-1】（2024·高一·北京东城·期中）求不等式的解集. (1) (2) 【解析】（1）由可得，则得或， 故不等式的解集为或； （2）由可得，则得, 故不等式的解集为. 【变式1-2】（2024·高一·北京·期中）解下列不等式： (1) (2) 【解析】（1）由可得，解得，故不等式的解集为； （2）由可得，因方程的根的判别式为，方程的根为，故不等式的解集为. 【变式1-3】（2024·高一·新疆·期末）解下列不等式； (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1）由可得，解得或， 故原不等式的解集为或. （2）由可得，即，解得， 故原不等式的解集为. （3）由可得，解得或， 故原不等式的解集为. （4）由可得，，故原不等式的解集为. 【变式1-4】（2024·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)． 【解析】（1），所以， 故不等式的解集为； （2），所以， 故不等式的解集为； （3）因为的判别式， 故原不等式的解集为； （4），所以或， 故不等式的解集为或. 题型二：一元二次不等式与根与系数关系的交汇 【典例2-1】（多选题）（2024·高一·江苏·专题练习）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为 D． 【答案】AC 【解析】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 【典例2-2】（多选题）（2024·高一·湖南株洲·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【解析】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误； 因为，故B正确； 不等式可以化简为，解得，故D正确； 故选：ABD 【变式2-1】（多选题）（2024·高一·山东聊城·期末）不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】因为不等式的解集是， 可得，且，所以，所以， 所以A、C正确，D错误． 因为二次函数的两个零点为，且图像开口向下， 所以当时，，所以B正确． 故选：ABC． 【变式2-2】（多选题）（2024·高一·山东泰安·期中）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是的两个实数根， 所以，故， ，故AB正确， 对于C,不等式为，故，故C错误， 对于D, 不等式可变形为， 解得，故D正确， 故选：ABD 题型三：含有参数的一元二次不等式的解法 【典例3-1】（2024·高一·安徽马鞍山·阶段练习）解关于的不等式：. 【解析】不等式，即， 当时，原不等式即，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 当时，解得或，即不等式的解集为或； 综上可得：当时不等式的解集为， 当时不等式的解集为或， 当时不等式的解集为或. 【典例3-2】（2024·高一·福建·阶段练习）已知不等式的解集为或 (1)求的值 (2)解不等式． 【解析】（1）因为不等式的解集为或, 所以，是方程的两个解，且， 所以，解得. （2）由（1）知原不等式为， 即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【变式3-1】（2024·高一·河北石家庄·期末）已知关于不等式的解集为． (1)求实数； (2)解关于不等式． 【解析】（1）不等式的解集为， 方程的根为， ，解得． （2）由（Ⅰ）原不等式可化为，即， 原不等式对应的方程的根为， 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 【变式3-2】（2024·高一·湖南长沙·期末）当时，解关于的不等式. 【解析】当时，代入不等式可得，解得； 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为， 当时，化简不等式可得即， 由得不等式的解为或， 综上可知，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【变式3-3】（2024·高一·广东深圳·期末）（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围； （2）求关于的不等式的解集. 【解析】（1）若对一切恒成立， 当时，则有，满足题意； 当时，则有，解得. 综上所述，实数的取值范围是； （2）对于不等式，，    当时，即当时，不等式的解集为； 当时，即当或时， 方程的根为，此时， 不等式的解集为或； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为或. 题型四：一次分式不等式的解法 【典例4-1】（2024·高一·河北沧州·期末）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】，即，则且．解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 【典例4-2】（2024·高三·上海·开学考试）不等式的解集是 ． 【答案】或 【解析】由,可得， 即， 解得或． 故答案为：或． 【变式4-1】（2024·高一·上海宝山·期末）不等式的解集为 . 【答案】或. 【解析】不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 【变式4-2】（2024·高二·上海·开学考试）不等式的解集为 . 【答案】或. 【解析】因为， 所以原不等式转化，即， 解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 题型五：实际问题中的一元二次不等式问题 【典例5-1】（2024·高一·河南·开学考试）河南是华夏文明的主要发祥地之一，众多的文物古迹和著名的黄河等自然风光构成了河南丰富的旅游资源，在旅游业蓬勃发展的带动下，餐饮、酒店、工艺品等行业持续发展．某连锁酒店共有500间客房，若每间客房每天的定价是200元，则均可被租出；若每间客房每天的定价在200元的基础上提高元（，），则被租出的客房会减少套．若要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元，则该连锁酒店每间客房每天的定价应为（    ） A．250元 B．260元 C．270元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有间客房被租出，该连锁酒店每天租赁客房的收入为 ． 因为要使该连锁酒店每天租赁客房的收入超过106600元， 所以，即，解得． 因为且，所以，即该连锁酒店每间客房每天的租价应定为270元． 故选：C． 【典例5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，，即，解得， 因为，则，所以这批台灯的销售单价x的取值范围是. 故选：A 【变式5-1】（2024·高一·陕西·阶段练习）某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁，若每套礼服每天的租价为200元，则所有礼服均被租出；若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元（，），则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元，则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为（    ） A．220元 B．240元 C．250元 D．280元 【答案】C 【解析】依题意，每天有套礼服被租出， 该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为 元. 因为要使该礼服租赁公司每天租赁6.24万元， 所以， 即，解得.因为且，所以， 即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元. 故选：C. 【变式5-2】（2024·高一·全国·课后作业）某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由日销售金额为，即， 解得. 故选：B 【变式5-3】（2024·高三·全国·专题练习）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的内接矩形花园（阴影部分），则图中矩形花园的其中一边的边长（单位：m）的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图，过作于，交于，易知，即， 则，．所以矩形花园的面积， 解得． 故选:C． 题型六：不等式的恒成立与有解问题 【典例6-1】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）设命题，写出一个实数 ，使得是真命题． 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】若命题为真命题， 则，解得， 故可取，使得是真命题． 故答案为：（答案不唯一，只要满足即可） 【典例6-2】（2024·高一·江苏无锡·阶段练习）若是假命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】或 【解析】若原命题为真，由，即，得，解得， 所以该命题为假，故实数的取值范围是或. 故答案为：或 【变式6-1】（2024·高一·广东深圳·期中）当时，关于x的不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】关于x的不等式恒成立 即，时恒成立， ， 又， 当且仅当，即时等号成立， . 故答案为：. 【变式6-2】（2024·高一·河南·阶段练习）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【解析】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 故答案为：． 【变式6-3】（2024·高一·江苏徐州·阶段练习）已知函数. (1)若的解集是或，求实数的值； (2)当时，若时函数有解，求的取值范围. 【解析】（1）依题意，的解集是或， 所以，解得. （2）时，在有解， 即在有解， 因为的开口向上，对称轴， ①即，时，函数取得最小值，即， ∴. ②即时，当取得最小值，此时， 解得. ③当即时，当时取得最小值，此时， 解得， 综上，或. 所以的范围为. 题型七：一元二次方程根的分布问题 【典例7-1】（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 . 【答案】 【解析】设， 因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 【典例7-2】（2024·高一·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 【变式7-1】（2024·高一·上海·假期作业）已知关于的方程有两个相异实根，求实数的取值范围. 【解析】方程有两个相异实根，首先，即， ，解得， 所以的取值范围为. 【变式7-2】（2024·高一·辽宁·期末）已知函数 (1)解关于的不等式； (2)若方程有两个正实数根，求的最小值. 【解析】（1）不等式即为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 当，即时，不等式的解集为， 综上可知：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）方程有两个正实数根， 即有两个正实数根 故，解得， 所以 令，则，故 当且仅当即时取得等号， 故的最小值为6. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·高一·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】一元二次不等式的解为， 所以的解为，且， 由韦达定理得，代入得 ， 故选：D. 2．（2024·高一·浙江温州·阶段练习）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车刹车距离大于40，则这辆汽车刹车前的车速至少为（    ）（精确到1） A．76 B．77 C．78 D．80 【答案】B 【解析】设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 移项整理，得， 解得． 所以这辆汽车刹车前的速度至少为77． 故选：B 3．（2024·高一·江苏连云港·阶段练习）某地每年销售木材约20万立方米，每立方米价格为2400元，为了减少木材消耗，决定按销售收入的征收木材税，这样每年的木材销售量减少万立方米.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设且，整理得，可得. 故选：B 4．（2024·高一·浙江·期末）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（    ） A．11元 B．16元 C．12元到16元之间 D．13元到15元之间 【答案】C 【解析】设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.设销售价定为每件元,利润为元， 则， 由题意可得：， 即， 所以， 解得：， 所以每件销售价应定为12元到16元之间， 故选：C 5．（2024·高一·河北沧州·期中）某种杂志原以每本元的价格销售，可以售出万本.根据市场调查，杂志的单价每提高元，销售量就减少本.设每本杂志的定价为元，要使得提价后的销售总收入不低于万元，则应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本，根据销售的总收入不低于万元，列出不等式求解即可.设提价后杂志的定价设为元，则提价后的销售量为：万本， 因为销售的总收入不低于万元， 列不等式为：， 即，即， 故选：A. 二、多选题 6．（2024·高一·河南郑州·期末）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或 【答案】AD 【解析】关于的不等式解集为或, 结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系， 可得，且是的两根，A正确； 则，故， 所以即，即的解集为，B错误； 由于的不等式解集为或, 故时，，即，C错误； 由以上分析可知不等式即， 因为，故或， 故不等式的解集为或，D正确， 故选：AD 7．（2024·高一·黑龙江鸡西·阶段练习）已知关于x的不等式 的解集为 ，则（    ） A． B．是方程的根 C．的解集为 D．的解集为 【答案】BD 【解析】对A：根据题意，易知，故A错误； 对B：根据题意，都是方程的根，故B正确； 对C：根据题意，，则，又， 故不等式可化为，， 即，解得，故C错误，D正确. 故选：BD. 8．（2024·高一·江苏南通·阶段练习）已知关于的不等式解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】CD 【解析】由已知可得，并且是方程的两根， 则由韦达定理可得：，解得，，所以A错误； 选项B：不等式化简为，解得，所以不等式的解集为，所以B错误； 选项C：，所以C正确， 选项D：化简为，解得，所以不等式的解集为，所以D正确， 故选：CD. 9．（2024·高一·黑龙江大庆·开学考试）已知关于x的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．关于x的不等式的解集是 C． D．关于x的不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】由关于x的不等式的解集为或， 知和3是方程的两个实根，且，故A正确； 根据根与系数的关系知：， 所以， 选项B：不等式化简为，解得：， 即不等式的解集是，故B正确； 选项C：由于，故，故C不正确； 选项D：不等式化简为：， 解得：或，故D正确； 故选：ABD. 10．（2024·高一·山东临沂·期末）已知关于的一元二次不等式的解集为{或}，则（    ） A．且 B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】AC 【解析】由题意可知，所以且，，故A正确，B错误； 不等式，故C正确； 不等式， 即，所以或，故D错误. 故选：AC 三、填空题 11．（2024·高一·吉林·阶段练习）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】由， 所以不等式解集为. 故答案为： 12．（2024·高一·上海·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【解析】不等式可化为， 即，则有①，或②， 由①得， 由②得，解得， 故原不等式的解集为. 故答案为： 13．（2024·高一·江苏常州·期中）的解集为 【答案】 【解析】由, 可得, 即, 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为: . 14．（2024·高一·广东汕头·阶段练习）不等式的解集为 【答案】或或 【解析】由题设得， 所以或或，故解集为或或. 故答案为：或或 15．（2024·高一·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】当时，，，不满足题意； 当时，,所以， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 16．（2024·高一·重庆·期末）关于x的一元二次方程有一个根小于，另一个根大于1，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】设，开口向上， 由题意知， 即，解得， 所以． 故答案为：． 17．（2024·高一·浙江·阶段练习）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实根，且．则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】令函数，依题意，的两个不等实根满足， 而函数图象开口向上，因此，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 18．（2024·高一·山东潍坊·阶段练习）关于x的方程至少有一个负实根，求的取值范围． 【解析】①当时，解得，满足条件； ②当时，显然方程没有零根， 由，得 设方程的两个实数根为 若方程有两异号实根，则 ，解得； 若方程有两个负的实根，则，解得 ． 综上，若方程至少有一个负的实根，则． 19．（2024·高一·江苏·专题练习）设为关于的方程的两实数根. (1)若满足，试求的值； (2)若均大于0，求的取值范围. 【解析】（1）因为为关于的方程的两实数根， 所以，即， 因为， 所以或（舍去）. （2）因为均大于0，所以， 所以，解得或， 即的取值范围是或. 20．（2024·高一·新疆·期中）解下列不等式． (1) (2) 【解析】（1）对于方程，因为，所以方程有两个相等的实数根， 解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为； （2）原不等式可化为， 对于方程，方程有两个实数根，解得， 画出二次函数的图象，如图， 结合图象得不等式的解集为 故所求不等式的解集为. 21．（2024·高一·福建三明·期中）已知二次函数． (1)若关于的不等式的解集是，求实数，的值； (2)若，，解关于的不等式． 【解析】（1）由不等式的解集是， 得和是一元二次方程的两个实数根，且， 于是，解得，， 所以，. （2），不等式化为，即， 当，即时，解不等式，得或； 当，即时，不等式的解为； 当，即时，解不等式，得或， 所以当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．（2024·高一·安徽·阶段练习）解关于的一元二次不等式．（结果用集合表示） 【解析】由已知，可得， （1）当时，方程有两实根， 不等式的解集为． （2）当时，方程的根的判别式． ①当时，，所求不等式的解集为； ②当时，，所求不等式的解集为； ③当时，，所求不等式的解集为或． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为或． 当时，解集为； 时，解集为. 23．（2024·高一·山东泰安·期末）已知关于 x 的不等式 ，其中 ． (1)若该不等式的解集为 ，求 a 的值； (2)解不等式不等式，其中 ． 【解析】（1）若不等式的解集为， 则方程的两根为1和2， 所以，解得. （2）不等式对应方程的两根为和1， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 当，即时，解得， 综上，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 24．（2024·高一·上海·假期作业）解不等式：. 【解析】由得， 即，可得， 令解得或， 所以原不等式的解集为或. 25．（2024·高一·上海·假期作业）解不等式：. 【解析】转化为，得出，所以解集为. 26．（2024·高一·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售 8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元? (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价. 【解析】（1）设每件定价为t元，依题意得， 则，解得， 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元 （2）依题意，时，不等式有解 ， 等价于时，有解， 因为（当且仅当时等号成立）， 所以，此时该商品的每件定价为30元， 当该商品明年的销售量至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$