第三部分 3 正方形的性质与判定-【假期成才路·暑假】2024年八年级数学假期总复习与衔接（北师大版）

第三部分九年级上册新课预习 3 正方形的性质与判定 (2)解：GE=BE+GD成立. 础净 理由是：，由(1)得：△CBE≌△CDF, .∠BCE=∠DCF, 1.正方形的定义： .∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD, (1)有一个角是直角的菱形叫做正方形. 即∠ECF=∠BCD=90°， (2)有一组邻边相等的矩形叫做正方形. 又∠GCE=45°，∴.∠GCF=∠GCE=45°. 2.正方形的性质： .'CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC, .△ECG≌△FCG(SAS). (1)正方形具有平行四边形的性质， ∴.GE=GF.∴.GE=DF+GD=BE+GD. (2)正方形四条边相等 知识点2：正方形的性质与判定的综合应用 (3)正方形四个内角是直角. 例2如图，已知四边形ABCD为正方形， (4)正方形对角线互相垂直、平分、相等，并 AB=22,点E为对角线AC上一动点，连接 且每条对角线平分一组对角. DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC于点F,以 (5)正方形是轴对称图形，又是中心对称图 DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG. 形.它有4条对称轴，它的对称中心是对角线的 (1)求证：矩形DEFG是正方形： 交点. (2)探究：CE+CG的值是否为定值？若是， 请求出这个定值：若不是，请说明理由， 3.正方形的判定方法： (1)证明：过E作EM (1)有一个角是直角的菱形是正方形. ⊥BC于M点，过E作EN (2)有一组邻边相等的矩形是正方形. ⊥CD于N点，如图所示： (3)对角线相等且互相垂直的平行四边形是 ,四边形ABCD为正 R 正方形. 方形， (4)对角线相等的菱形是正方形 .∠BCD=90°，∠ECN=45°， (5)对角线互相垂直的矩形是正方形 ∴.∠EMC=∠ENC=∠BCD=90°， 且VE=NC,∴，四边形EMCN为正方形， 典例探究 ,四边形DEFG是矩形， 知识点1：正方形的性质 ∴.EM=EN,∠DEN+∠NEF=∠MEF+ 例1如图，在正方形ABCD中，E是AB ∠NEF=90°，∴.∠DEN=∠MEF, 上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE. 又∠DNE=∠FME=90°， (1)求证：CE=CF; 在△DEN和△FEM中，∠DNE (2)若点G在AD上，且∠GCE=45°，则 ∠FME,EN=EM,∠DEN=∠FEM, GE=BE+GD成立吗？为什么？ .△DEN≌△FEM(ASA), (1)证明：，在正方形 .ED=EF,.矩形DEFG为正方形， ABCD中，BC=CD,∠B= (2)解：CE十CG的值为定值，理由如下： ∠CDF,BE=DF, 矩形DEFG为正方形， ∴.△CBE≌△CDF ∴.DE=DG,∠EDC+∠CDG=90°， (SAS). ,四边形ABCD是正方形， ..CE=CF. ,AD=DC,∠ADE+∠EDC=90°. ·49 假期成才路·八年级数学(BS) .∠ADE=∠CDG, 5.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到 在△ADE和△CDG中，AD=CD,∠ADE E,使AE=AC,则∠BCE的度数是 =∠CDG,DE=DG, .△ADE≌△CDG(SAS),.AE=CG, 6.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD ∴.AC=AE+CE=2AB=√2×22=4. 相交于点O,E为BC上一点，CE=5,F为 .CE+CG=4是定值. DE的中点.若△CEF的周长为18，则OF的 有主网练 长为 1.下列命题中，真命题是 A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 第6题图 第7题图 7.如图，正方形ABCD的边长为2，点E是CD 2.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形 的中点，HG垂直平分AE且分别交AE、BC ADE.AC,BE相交于点F,则∠BFC为 ( 于点H、G,则BG= A.45 B.55 C.60 D.75 8.如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF,BE =BF,EF与BC交于点G. (1)求证：AE=CF: (2)若∠ABE=55°，求∠EGC的大小. 第2题因 第3题图 3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折 叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为 GH.若BE:EC=2:1,则线段CH的长是 ( A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，正方形ABCD中，AB=6,点E在边CD 上，且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至 9.如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC, △AFE,延长EF交边BC于点G,连接AG, BD交于点O,E是BD延长线上的点，且 CF.则下列结论： △ACE是等边三角形 ①△ABG≌△AFG:②BG=CG:③AG∥CF: (1)求证：四边形ABCD是菱形： ④S△x=S△E;⑤∠AGB+∠AED=145. (2)若∠AED=2∠EAD,求证：四边形ABCD 其中正确的个数是 是正方形， A.2 B.3 C.4 D.5 第4题图 第5题图 ·50·假期成才路·八年级数学(BS) 二、填空题 7.(1)证明略(2)168.(1)证明略(2)菱形 13.2214.615.1216.1417.518.14 1碧20.(2，当 2矩形的性质与判定 55 三、解答题 自主训练 21.(1)AB=25(2)CD=1222.CD=3cm 1.A2.C3.B4.A5.306.EB=DC 23.解：1)如图，△AB,C:为所作： 7.(4.5,1.5)8.(1)证明略(2)89.证明路 (2)如图，△AB,C2.为所作： 3正方形的性质与判定 自主训练 1C2c3B4C52.5°6号7.号 7 8.(1)证明略(2)∠EGC=80°9.证明略 九年级入学测试卷 24.(1)证明略(2)证明略(3)EF=√2 一、选择题 25.(1)84(2)m十n的最大值为15，最小值为12 1.C2.A3.A4.C5.D6.C7.B8.C9.A 26.初步探究：Sm=0,简单应用：Sm=a, 10.B11.C12.C 二，填空题 13.x≤414.a(x+y)(x-y) 综合训练（五） 15.x<3且x≠-3-2 一、选择题 16.1517.x>-218-2或-号 1.D2.C3.D4.C5.C6.C7.C8.C9.D 10.D1L.D 19.-2a≤-120.8 二、填空题 三，解答题 12.4013.x+y-x=180°14.①③④15.108 16317.8巨182119号 21.1D2r-0x-20)（2 22.(1)-1<x≤2(2)无解 三、解答题 20.证明略21.(1)证明略(2)∠B=30 23.原式=一 a-,当a=2时，原式=-1 22.解：，PC平分∠BCD,PD平分∠EDC 24.证明略 .∠BCD=2∠PCD,∠EDC=2∠PIDC, ∠P=80°， 25.(1)BD-1cm(2)SwEr-78: ∴.∠PCD+∠PDC=180°-∠P-180°-80°=100. 26.(1)A(2,4),C1(3,2),图略 ∴.∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2X (2)D(0,1),D1(-2,-1),D2(-4,3) 100°=200°， 27.(1)每辆45座客车租费是400元，每辆60座客车租 :∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=(5-2) 费是500元： ×180°=540°， (2)租用60座客车合算. .∠A+∠B+∠E=540°-∠BCD-∠EDC= 28.解：(1)，DM、EN分别垂直平分AB和AC, 540°-200°=340. ..AD=BD.AE=EC, 23.证明略24.证明略 .∠B=∠BAD,∠C=∠EAC, 25.(1)∠BPD=∠B+∠D .'∠BAC=∠DAE+∠BAD+∠CAE, (2)∠BPD=∠B+∠D+∠BQD ∴.∠BAC=∠DAE+∠B+∠C: 26.(1)证明略(2)∠BDG=45°(3)∠BDG=60° 又：∠BAC+∠B+∠C=180°，∠DAE=50°， ∴.∠BAC=115. 第三部分九年级上册新课预习 (2).△ADE的周长为19cm, ∴.AD+AE+DE=19cm, 第一章特殊平行四边形 由(1)知，AD=BD,AE=EC, ,∴.BD+DE+EC=19,即BC=19cm. 1菱形的性质与判定 自主训练 1.D2.D3.A4.B5.836.AB=CD ·60·