第09讲 直角三角形与直角三角形全等的判定【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第09讲 直角三角形与直角三角形全等的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握直角三角形的特征与性质； 2．掌握含30°角的直角三角形的性质； 3、掌握直角三角形的斜边中线定理； 4、掌握直角三角形的判定方法； 一、直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三、直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 四、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 教材习题01 已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，D,E分别是垂足，且 PD＝PE. 求证：点 P在∠AOB 的平分线上. 解题方法 要证明点点 P在∠AOB 的平分线上，可以转化为证明射线 OP 平分∠AOB 【答案】 证明：如图，作射线 OP . ∵ PD⊥OA，PE⊥O月（已知）， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。 又 ∵ OP ＝OP（公共边），PD＝PE（已知）， ∴ RtΔPDO ≌ RtΔPEO（HL）。 ∴ ∠1＝∠2，即点 P 在∠AO月 的平分线上（角平分线的定义） 教材习题02 已知：如图 2-33，CD 是△ABC 的 AB 边上的中线，CD＝ AB. 求证：△ABC 是直角三角形. 解题方法 证明△ABC 是直角三角形，就需要证明∠A和∠B相加等于90°，根据CD 是△ABC 的 AB 边上的中线，CD＝ AB的条件，很容易证明∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，后面根据三角形内角和定理证明∠A＋∠B=90° 【答案】 证明：∵ CD 是 AB 边上的中线（已知）， ∴ AD＝BD＝ AB（三角形中线的定义）. ∵ CD＝ AB（已知）， ∴ CD＝AD. ∴ ∠A＝∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）. 同理，∠B＝∠BCD. ∵ ∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°， ∴ ∠A＋∠B＝∠ACD＋∠BCD＝ ×180°＝90°. ∴ △ABC 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）. 考点一：直角三角形两个锐角互余 例1．如图，，于点C，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1-1．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 变式1-2．如图，在中，平分，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点二：含30°角的直角三角形 例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离为40米，，则缆车从A点到B点的过程（的长）为（    ） A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米 变式2-1．如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 变式2-2．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 考点三：斜边的中线等于斜边的一半 例3．如图，一根长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 变式3-1．如图，在中，是边的中点，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 变式3-2．如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点四：用HL判定直角三角形全等 例4．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 变式4-1．如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 变式4-2．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 考点五：直角三角形全等综合题 例5．如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 (1)求证: (2)若 求 的度数． 变式5-1．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 1．如图，在中，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，延长至点C，使，过点C作，交的延长线于点D，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 4．如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 5．如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 10．如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    11．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 12．如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 13．如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 14．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 15．如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 16．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 17．如图，是的外角的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第09讲 直角三角形与直角三角形全等的判定 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握直角三角形的特征与性质； 2．掌握含30°角的直角三角形的性质； 3、掌握直角三角形的斜边中线定理； 4、掌握直角三角形的判定方法； 一、直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二、直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三、直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 四、判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 教材习题01 已知：如图，P是∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，D，D,E分别是垂足，且 PD＝PE. 求证：点 P在∠AOB 的平分线上. 解题方法 要证明点点 P在∠AOB 的平分线上，可以转化为证明射线 OP 平分∠AOB 【答案】 证明：如图，作射线 OP . ∵ PD⊥OA，PE⊥O月（已知）， ∴ ∠PDO＝∠PEO＝Rt∠。 又 ∵ OP ＝OP（公共边），PD＝PE（已知）， ∴ RtΔPDO ≌ RtΔPEO（HL）。 ∴ ∠1＝∠2，即点 P 在∠AO月 的平分线上（角平分线的定义） 教材习题02 已知：如图 2-33，CD 是△ABC 的 AB 边上的中线，CD＝ AB. 求证：△ABC 是直角三角形. 解题方法 证明△ABC 是直角三角形，就需要证明∠A和∠B相加等于90°，根据CD 是△ABC 的 AB 边上的中线，CD＝ AB的条件，很容易证明∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD，后面根据三角形内角和定理证明∠A＋∠B=90° 【答案】 证明：∵ CD 是 AB 边上的中线（已知）， ∴ AD＝BD＝ AB（三角形中线的定义）. ∵ CD＝ AB（已知）， ∴ CD＝AD. ∴ ∠A＝∠ACD（在同一个三角形中，等边对等角）. 同理，∠B＝∠BCD. ∵ ∠A＋∠B＋∠ACD＋∠BCD＝180°， ∴ ∠A＋∠B＝∠ACD＋∠BCD＝ ×180°＝90°. ∴ △ABC 是直角三角形（有两个角互余的三角形是直角三角形）. 考点一：直角三角形两个锐角互余 例1．如图，，于点C，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得，再根据直角三角形两锐角互余即可得解．掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B． 变式1-1．如图，的直角顶点A在直线a上，斜边在直线b上，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形是特征；由平行线的性质得，再由直角三角形的特征即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， 故选：A． 变式1-2．如图，在中，平分，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角性质，直角三角形两锐角互余等知识，根据角平分线定义求得，根据直角三角形的两个锐角互余求得，再根据三角形的外角的性质即可求得的度数． 【详解】解：平分，，， ， ， ， ． 故选：B． 考点二：含30°角的直角三角形 例2．如图是某公园一段索道的示意图，已知A、B分别为索道的起点和终点，且A、B两点间的距离为40米，，则缆车从A点到B点的过程（的长）为（    ） A．20米 B．17.5米 C．15米 D．12.5米 【答案】A 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，由含角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，， ∴（米）， 故选：A． 变式2-1．如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 变式2-2．如图，在中，平分，点E在的延长线上，过点E作于点F．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂直的定义得出，再根据外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，最后根据三角形的外角的性质得出结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 平分， ， 故选：C 考点三：斜边的中线等于斜边的一半 例3．如图，一根长米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，点为的中点，当梯子的一端沿墙面向下移动，另一端沿向右移动时，的长（    ） A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．不变 D．先增大，后减小 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，是斜边的中线， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选． 变式3-1．如图，在中，是边的中点，若，则的长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是边的中点，， ∴， 故选：B． 变式3-2．如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 考点四：用HL判定直角三角形全等 例4．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定定理的应用，根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：． 变式4-1．如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）． 直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案． 【详解】解：在和中， ， ， 故选：B． 变式4-2．如图，的外角的平分线与内角的平分线相交于点，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案 【详解】解：延长，作，，，    设， ∵平分， ∴，， ∵平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 故选． 【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出是解题的关键． 考点五：直角三角形全等综合题 例5．如图，在 中， 点E在边上，点F在的延长线上，且 (1)求证: (2)若 求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）利用证明，即可得证； （2）利用等边对等角和三角形内角和定理求出，进而求出，利用（1）中可得出，即可求解。 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 变式5-1．已知：如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)求证：． (2)取边的中点F，连接，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，结合已知条件可证； （2）设l交于点Q，连接，过作于， 于，根据（1）结论可得，推出，可得为等腰直角三角形，推出，证，可得，得到，即得． 【详解】（1）∵，， ∴，与为直角三角形， ∵点A在边垂直平分线上， ∴， 在也中， ， ∴， 即； （2）设l交于点Q，连接，过作于，作于， ∴ 由（1）知， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线，全等三角形，等腰直角三角形，角平分线等，熟练掌握线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的判定，是解决问题的关键． 1．如图，在中，，的平分线交于D，于点E，若，则的长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系．先求出，再得，进而得出结论． 【详解】解：∵的平分线交于D，， ∴， 在中，∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，已知在和中，，，，若用“HL”判定，则需要添加的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， .，，符合两直角三角形全等的判定定理，故该选项符合题意； .，，不是两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不符合两直角三角形全等的判定定理，是证明三角形全等的，故该选项不符合题意； .，，不能证明这两个直角三角形全等，故该选项不符合题意； 故选：． 3．如图，在中，，延长至点C，使，过点C作，交的延长线于点D，若，则的长为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】B 【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，由，，求得，由，得，根据“”证明，得进而得到问题的答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到闸机的通道宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于，    则中，，， ， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 闸机的通道宽度为， 故选：B． 5．如图所示，I是三内角平分线的交点，于E，延长线交于D，的延长线交于F，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由I是三内角平分线的交点，，可得，，由，可得，进而可得，可判断①的正误；如图，作于，作于，则，由，可判断②的正误；证明，则，同理，，由，即，可判断③的正误；由于无法判断全等，则不一定相等，，可判断④的正误． 【详解】解：∵I是三内角平分线的交点，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确，故符合要求； 如图，作于，作于， ∵I是三内角平分线的交点， ∴， ∴，②正确，故符合要求； ∵，， ∴， ∴， 同理，， ∴，即，③正确，故符合要求； ∵，，但无法判断全等， ∴不一定相等， ∴，④错误，故不符合要求； 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图，在中，，平分交于点P，于点，若，，则的周长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键．由，，，可得到，由平分，可得到，进而得到，则可得，，进而可得，即可得解． 【详解】∵中，，，， ， ∵平分，，， ∴，， 又， ， ， ， ． 故选：C． 7．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形以及三角形的内角和定理．根据三角形内角和等于，，得到，，得到具备条件A的不是直角三角形；根据，得到，得到具备条件B的是直角三角形；根据得到，得到具备条件C的是直角三角形；根据得到，得到具备条件D的是直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形定义，是解决问题的关键． 【详解】A、由及可得，，不是直角三角形，故符合题意； B、由及可得，是直角三角形，故不符合题意； C、由及可得， 是直角三角形，故不符合题意； D、由及可得，，，是直角三角形，故不符合题意． 故选：A． 8．如图，，均为的高，且，连结交于点O，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线性质和判定，直角三角形性质，等腰三角形性质，根据题意得到垂直平分线段，得到，结合直角三角形性质得到，利用等腰三角形性质得到，再根据求解，即可解题． 【详解】解： 为的高，且， 垂直平分线段， ， 为的高，即， ， ， ， ， 故选：A． 9．如图，在中，是BC的中点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线定义斜边一半的性质是解题关键．根据直角三角形斜边中线的性质即可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 10．如图，在中，，平分，于E，周长为8，，则的周长是 ．    【答案】28 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质解决线段相等．根据角平分线的性质可得，根据周长为8，得出，证明，得出，即可求出结果． 【详解】解：是的平分线，，， ∴， ∵周长为8， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 11．如图，是的角平分线，点B在射线上，是线段的中垂线交于E，．若，则 ． 【答案】/46度 【分析】连接，过E作于R，交于Q，根据角平分线性质和线段垂直平分线的性质得出，，根据全等求出，求出，即可求出答案． 【详解】解：连接，过E作于R，交于Q， ∵是线段的中垂线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键，注意： ① 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ② 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 12．如图，在矩形中，，连接，分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F．若平分，，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质和直角三角形角的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 先证明，再证明是的垂直平分线，然后得出，再证明得出，最后根据直角三角形角的性质即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， 分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线分别交，于点E，F， 是的垂直平分线， ，， ，， 平分， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在中， ， ， 故答案为：4． 13．如图，在中，，D是边上的动点，过点D作交于点E，将沿折叠，点A的对应点为点F，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】4或2/2或4 【分析】当为直角三角形时，分两种情况和，然后根据30度角的直角三角形的性质结合求解即可．本题考查了折叠的性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴． ∵将沿翻折，点A的对应点为F， ∴，， ∴， ∴当为直角三角形时，分两种情况： ①当时， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， 则：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； 故答案为：4或2． 14．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)试说明垂直平分； (2)若，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)4 【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）利用角平分线的性质证明，证明，则，即可证明结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线，分别是和的高． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 16．如图，在中，平分，，于E，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法， （1）根据角平分线的性质得出，证明，得出即可； （2）根据角平分线的定义得出，根据锐角三角形两锐角互余得出，根据，得出的度数即可． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴． 17．如图，是的外角的平分线上一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，与交于点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论； （2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，再证明，结合三角形外角的性质即可证明，进而证明结论． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，作于点， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$