第10讲 勾股定理【暑假自学课】-2024年新八年级数学暑假提升精品讲义（浙教版）

第10讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握勾股定理的概念； 2．掌握勾股定理的证明方法； 3、学会运用勾股定理解三角形； 一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 二、勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 三、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 教材习题01 图是一个长方形零件图. 根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离. 解题方法 本题的解题关键是构造出所求线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 【答案】 解：过 A 作铅垂线，过 B 作水平线，两 线交于点 C，则∠ACB＝90毅， AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝502＋1202＝16 900（mm2）。 ∵ AB ＞ 0， ∴ AB＝130（mm）。 答：两孔中心 A，B 之间的距离为130 mm 考点一：勾股定理的证明方法 例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 考点二：勾股数问题 例2．下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 考点三：利用勾股定理解直角三角形 例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（    ） A． B．12 C．15 D．3 变式3-1．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B． C．5或 D．6 变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（    ） A．8 B． C． D． 考点四：勾股定理与网格问题 例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，是（     ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 变式4-1．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 变式4-2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 考点五：勾股定理与折叠问题 例5．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 变式5-1．如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 变式5-2．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 考点六：用勾股定理构造图形解决问题 例6．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 变式6-1．某扇门的规格是，下列规格的长方形薄木板不能从该扇门通过的是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．一个长方形抽屉长，宽，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A． B． C． D． 考点七：勾股定理的应用 例7．如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 变式7-2．在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为 米． 考点八：利用勾股定理逆定理求解 例8．已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 变式8-1．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 变式8-2．在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 考点九：勾股定理逆定理的应用 例9．如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A．24 B．30 C．48 D．60 变式9-1．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 1．在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：① ；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（    ） A． B． C．6 D． 4．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，， ，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 5．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，设的的长为a，估算的运算结果应在（    ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 7．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 8．如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 11．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 12．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中，，，，，则绿地的面积为 ． 13．若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 14．在四边形中，，，，，则 ． 15．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 16．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    17．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 18．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19．如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． (1)求B、C间的距离； (2)这辆汽车超速了吗?请说明理由． 20．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 22．我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 勾股定理 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 教材习题学解题 模块四 核心考点精准练 模块五 小试牛刀过关测 1．掌握勾股定理的概念； 2．掌握勾股定理的证明方法； 3、学会运用勾股定理解三角形； 一、勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 二、勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 三、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 2. 勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 教材习题01 图是一个长方形零件图. 根据所给的尺寸（单位：mm），求两孔中心A、B之间的距离. 解题方法 本题的解题关键是构造出所求线段的直角三角形，然后用勾股定理求解。 【答案】 解：过 A 作铅垂线，过 B 作水平线，两 线交于点 C，则∠ACB＝90毅， AC＝90－40＝50（mm）， BC＝160－40＝120（mm）。 由勾股定理，得 AB2＝AC2＋BC2＝502＋1202＝16 900（mm2）。 ∵ AB ＞ 0， ∴ AB＝130（mm）。 答：两孔中心 A，B 之间的距离为130 mm 考点一：勾股定理的证明方法 例1．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端，下面四幅图中不能证明勾股定理的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理的证明，先用不同方法表示出图形中各个部分的面积，利用面积不变得到等式，变形再判断即可． 【详解】解：A．大正方形的面积等于四个矩形的面积的和， ∴， 以上公式为完全平方公式， ∴A选项不能说明勾股定理，符合题意； B．由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积， ∴， 整理得， ∴B选项可以证明勾股定理，不符合题意； C．大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴C选项可以证明勾股定理，不符合题意； D，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴， 整理得， ∴D选项可以说明勾股定理，不符合题意． 故选：A． 变式1-1．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据大正方形的面积，大正方形的面积 个三角形的面积个小正方形的面积，列出式子，变形即可得出答案． 【详解】解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积 个三角形的面积个小正方形的面积， ， ， 故选：C． 变式1-2．勾股定理从被发现到现在已有五千年的历史，人们对这个定理的证明找到了很多方法．我国数学家刘徽利用“出入相补”原理（一个平面图形从一处移到另一处，面积不变；又若图形分成若干块，则各部分的面积和等于原来图形的面积）也证明了勾股定理，如图所示，这种证法体现的数学思想是（    ） A．数形结合思想 B．分类思想 C．函数思想 D．归纳思想 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想，掌握根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法体现的数学思想为数形结合思想． 【详解】这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：． 考点二：勾股数问题 例2．下列是勾股数的是（    ） A．1.5，2，2.5 B．11，12，23 C．9，40，41 D．6，7，8 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股数．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、三边长，，不都是正整数，不是勾股数，不合题意； B、，则11，12，23不是勾股数，不合题意； C、，则9，40，41能构成直角三角形，符合题意； D、三边长，则6，7，8不是勾股数，不合题意； 故选：C． 变式2-1．下列各组数据中是勾股数的是(    ) A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数的定义：满足 的三个正整数，称为勾股数．据此进行解题即可． 【详解】解：A、由题可知，三个数都不是正整数，故不符合题意； B、由题可知，数不是正整数，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 故选：D． 变式2-2．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的边长分别为4，6，3，4，则最大正方形E的面积是（    ） A．17 B．34 C．77 D．86 【答案】C 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积． 【详解】解：如下图： 根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2， S1＝42+62，S2＝32+42， 于是S3＝S1+S2， 即可得S3＝16+36+9+16＝77． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，根据勾股定理的几何意义表示出S3是解答本题的关键． 考点三：利用勾股定理解直角三角形 例3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，它的顶角的平分线的长为（    ） A． B．12 C．15 D．3 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形性质，涉及等腰三角形“三线合一”性、勾股定理等知识，由题意作出图形，结合等腰三角形“三线合一”性质可知，且，在中用勾股定理求解即可得到答案，熟记等腰三角形“三线合一”性、勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 等腰三角形的腰长为13，底边长为10， ，， 是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”性质可知，且， 在中，，，，则由勾股定理可得， 它的顶角的平分线的长为， 故选：B． 变式3-1．在中，，，，则的长为（     ） A．5 B． C．5或 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的长的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故选：B． 变式3-2．若直角三角形两直角边长分别为6和10，则它的第三边长为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理：“直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方即”求解即可． 【详解】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和10， ∴斜边长为：， 故选：D． 考点四：勾股定理与网格问题 例4．如图，网格中每个小正方形的边长都为1，是（     ）． A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，掌握数形结合思想的应用． 根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论． 【详解】解：∵，，，， 即，，， ∴不是直角三角形，不是等腰三角形． ∵是钝角三角形， ∴是锐角三角形． 故选：A． 变式4-1．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：正方形小方格边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 变式4-2．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，是边上的中线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴是直角三角形，是斜边， 又∵是边上的中线， ∴ 故选：D． 考点五：勾股定理与折叠问题 例5．如图，在中，，，，点D、E分别在、上．现将沿翻折，使点C落在点处．连接，则长度的最小值．（　　） A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当落在上，点B与E重合时，长度的值最小，根据勾股定理得到，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当落在上，点B与E重合时，长度的值最小， ∵，，， ∴， 由折叠的性质知，， ∴． 故选：B． 变式5-1．如图，在中，，，．将折叠，使点落在的中点处，折痕为，则线段的长为（    ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的方程是解题的关键． 设，由翻折的性质可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设， 由翻折的性质可知， ∵D是的中点， ， 在中，由勾股定理得： 即， 解得：， ∴， 故选：C． 变式5-2．如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点P处， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点P重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， 解得， 即， 故选：A． 考点六：用勾股定理构造图形解决问题 例6．如图，一圆柱高，底面半径为，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，爬行最短路程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是平面展开图（最短路径问题），解题的关键是根据题意画出展开图，表示出各线段的长度，再利用勾股定理求解． 此题最直接的解法就是将圆柱侧面进行展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示：    在侧面展开图中，的长等于底面圆周长的一半，即， ，， 根据勾股定理得：， 要爬行的最短路程是． 故选：C． 变式6-1．某扇门的规格是，下列规格的长方形薄木板不能从该扇门通过的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．利用勾股定理计算出门框对角线长，再与薄木板的宽比较即可． 【详解】门框的对角线长为米． ∵米． ∴只有D选项的薄木板的宽大于，即只有D选项的薄木板不可以通过． 故选：D． 变式6-2．一个长方形抽屉长，宽，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解： ，， 这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是， 故选：C． 考点七：勾股定理的应用 例7．如图，玻璃杯的底面半径为，高为，有一只长的吸管任意斜放于杯中，则吸管露出杯口外的长度至少为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是构建直角三角形． 吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴露出杯口外的长度为：， 故选：C． 变式7-1．一艘轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一艘轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的运用，熟练运用勾股定理是解题的关键；根据两艘轮船出发的方向，可以得到，结合勾股定理求解即可． 【详解】根据题意，如图所示， 可知，，，， 在中，， ， 解得：， 故两船相距海里 故选：A 变式7-2．在“综合与实践”课—测量旗杆高度中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了2米．当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好碰地时，经过测量此时绳子底端距离旗杆底部6米（如图所示），则旗杆的高度为 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x米，则米，米，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设旗杆的高度为x米，则米，米， 在中，由勾股定理得 ， ∴， 解得， ∴米， ∴旗杆的高度为8米， 故答案为：8． 考点八：利用勾股定理逆定理求解 例8．已知的三边长分别为，，，且，则是（　　） A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形 C．以为斜边的直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角形形状的确定，涉及非负式、非负式和为的条件、勾股定理的逆定理等知识，由可得，，的值，再由勾股定理的逆定理列式求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为的条件、勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解： ， ，解得， ， ，即， 是以为斜边的直角三角形， 故选：C． 变式8-1．如图，点在边长为的正方形内，测得，，则阴影部分的面积是（    ） A．12 B．16 C．19 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的运用，根据题意，可得，可得是直角三角形，结合图形用正方形的面积减去直角三角形的面积即可求解，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，即是直角三角形， ∴，且正方形的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选： C． 变式8-2．在中，已知，，，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟悉掌握此定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理判定出是直角三角形，再根据面积公式运算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故选：C． 考点九：勾股定理逆定理的应用 例9．如图，一块四边形，已知，则这块地的面积为（    ）． A．24 B．30 C．48 D．60 【答案】A 【分析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，难度不大；连接，先根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理证明，即可求解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴这块地的面积为：， 故选：A． 变式9-1．如图，某港口M位于东西方向的海岸线上，胜利号，智能号两轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，胜利号、智能号两轮船每小时分别航行12海里和16海里，1小时后胜利号、智能号两轮船分别位于点A，B处，且相距20海里，如果知道胜利号轮船沿北偏西方向航行，则智能号轮船的航行方向是（    ） A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先根据题意得到海里，海里，海里，则可得，由勾股定理的逆定理得到，进而求出，则智能号轮船的航行方向是北偏东． 【详解】解：由题意得，海里，海里，海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵胜利号轮船沿北偏西方向航行， ∴， ∴， ∴智能号轮船的航行方向是北偏东， 故选：A． 1．在学习勾股定理时，甲、乙两位同学给出了不同的方案，可以利用面积验证勾股定理的是（     ） 甲：由四个全等的直角三角形按图1所示的方式拼成一个大正方形 乙：如图2，分别以直角三角形的三条边为边向外作三个正方形 A．甲、乙均可以 B．甲可以，乙不可以 C．乙可以，甲不可以 D．甲、乙均不可以 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的几何证明，掌握数形集合思想是解题的关键． 甲：分别用两种方法表示大正方形的面积，然后化简即可判断；乙：先算出三个正方形的面积，看是否满足即可判断． 【详解】解：甲：大正方形的面积可以表示为：或，即； 先根据正方形的面积计算出，即可； 所以甲、乙均可验证． 故选A． 2．如图，在四边形中，，，点是边上一点，，，．下列结论：① ；②；③；④该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的证明；证明，由全等三角形的性质可得出，．再由图形的面积逐项分析判断即可求解． 【详解】解：，， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ． ， ， 故①②正确； 梯形的面积直角三角形的面积两个直角三角形的面积， ， ，， 故③④正确 故选：A． 3．如图，在中，为中点，且交于点E，，则的长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，勾股定理等，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质求出，根据三角形内角和定理求出，解直角三角形求出，，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 为中点，且交于点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，， ，，则这块地的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形面积的应用，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：连接，则在中，    ∵， ， 在中，，， ， ， ． 故答案为：A． 5．如图，小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C，D，M，N均在格点上，其中点A，B，C，D能与点M，N构成一个直角三角形的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【分析】此题考查勾股定理及其逆定理，证明直角三角形，即可得到答案. 【详解】解：连接， ， ∴， ∴直角三角形， ∴点符合题意， 用同样的方法证明其它点不符合要求， 故选：D 6．如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是1，设的的长为a，估算的运算结果应在（    ） A．6到7之间 B．7到8之间 C．8到9之间 D．9到10之间 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，无理数的估算，熟练掌握估算的基本方法是解题的关键．根据题意，得，结合，得到范围，解答即可． 【详解】根据题意，得， ∴ ∵， ∴， 故选：A． 7．如图，已知在中，，，，点 M，N 在 边上，将沿着折叠，使点C的对应点恰好落在边上，将沿着折叠，使点A 的对应点恰好落在的延长线上，则 的值为 （   ） A． B．+ C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查折叠的性质、含30度直角三角形的性质及勾股定理，熟练掌握折叠的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由折叠的性质可知，，然后可得，进而根据含30度直角三角形的性质、勾股定理及等腰直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故选C． 8．如图，在中，，，D，E分别为边上的点，沿将进行翻折．若正好为边的中点时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等腰直角三角形的性质与判定，先证明，得到，设，则，则，设，由折叠的性质可得，在中，根据勾股定理，得，解得，则，，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点作于点G， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为的中点， ∴， ∴， 设， ∴由折叠的性质可得， 在中，根据勾股定理，得， ∴， 解得， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 9．如图，在中，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接．则线段的长等于（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】如图连接交于，作于．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出、，在中，利用勾股定理即可解决问题．本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 【详解】解：如图连接交于，作于． 在中，，， ， ， ， ， ， ， 点在的垂直平分线上． ， 点在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， 是直角三角形， 垂直平分线段， ， ， ， 在中，， 故选：A． 10．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际情况中应用，正确挖掘隐含条件是解题的关键． 通过勾股定理可将“数学风车”的斜边求出，然后可求出风车外围的周长即可． 【详解】解：如图： 由题意可知： ∵， ∴，即， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 11．如图，在方格中作以为一边的，要求点也在格点上，这样的能做出（      ） A．个 B．个 C． 个 D．个 【答案】D 【分析】可以分A、B、C分别是直角顶点三种情况进行讨论即可解决． 【详解】解：当AB是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D，E，H四个； 当AB是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选D． 【点睛】正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键． 12．如图，在一块三角形土地上，准备规划出阴影所示部分作为绿地，若规划图设计中，，，，，则绿地的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．先根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后根据，利用三角形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：，，， ， 在中，，， ， 为直角三角形，且， ， 故答案为：24． 13．若一个三角形的三边长之比为8∶15∶17，则它为 三角形． 【答案】直角 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用．解题关键在于判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】解：∵一个三角形的三边长之比为8∶15∶17， 设三边分别为，，， 而， ∴三角形构成直角三角形， 故答案为：直角 14．在四边形中，，，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，等腰直角三角形的性质，延长、交于点，得，则，可知，，进而求得，再结合即可求解，作出图形，根据勾股定理，求得是解决问题的关键． 【详解】解：延长、交于点， ∵，，， ∴，则， ∴，，则， ∴， ∴ ， 故答案为：． 15．如图，在公路l的一侧有A，B两个工厂，A，B到公路的垂直距离分别为和，A，B之间的水平距离为．现要在公路l上建一个运输点，使A，B两厂到运输点的总路线最短，则最短总路线为 km． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】解：作A点关于直线的对称点C，连接交直线于点P，则此时最小， 过点作交的延长线于点D， ∵，，， ∴，， 则， ∴， ∴在中，， 即的最小值为， 故答案为：． 16．如图，正三角形的边长为2，点E是边上的动点（不与端点A、B重合），在上方作正三角形．当点E由点B向点A运动过程中．求面积的最大值为 ．    【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用． 根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为：， ∴的面积等于四边形面积， 当时，最小，最小，最大， ∵， ∴， 过点E作于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：．    17．如图，在四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）连接，在 中，利用勾股定理求出的长，，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后进行计算即可解答； （2）根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：连接， ，， ， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 的度数为； （2）解：由题意得：四边形的面积的面积的面积 ， 四边形的面积为． 18．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．由勾股定理求出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，四边形的面积的面积的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ， ， ∵， ， ， 四边形的面积的面积的面积． 19．如图，一辆汽车在一条限速的笔直的公路上沿直线匀速行驶，某一时刻汽车行驶到车速检测仪A正前方处的点C处，后汽车行驶到距离车速检测仪A点的点B处． (1)求B、C间的距离； (2)这辆汽车超速了吗?请说明理由． 【答案】(1)B、C间的距离为 (2)这辆汽车未超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理代入数据即可求得答案． （2）先根据，间的距离求得小汽车在内行驶的速度，再和限速比较大小即可． 【详解】（1）解：在中，由，，且为斜边， 根据勾股定理可得． 答：，间的距离为． （2）解：这辆小汽车没有超速，理由如下： ， 而， ， ∴这辆小汽车没有超速． 20．随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键． 由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可． 【详解】解：未超速，理由如下： 由题意知，， 由勾股定理可得， 则． 所以． 所以这辆家用小汽车未超速． 21．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上.按要求完成下列画图． (1)在图1中画出一个以为底的等腰，使，点在格点上，并直接写出的周长； (2)在图2中的边上找一点，连接，使．(要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法) 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了在格点图中画等腰三角形，平行线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等． （1）以为底的等腰，则点在的垂直平分线上，结合，即点到的距离等于点到的距离，即可确定点的位置；再根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出的值，即可求出的周长； （2）根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等可推得，即可得出． 【详解】（1）解：如图：点即为所求． 则， 故的周长为． （2）解：如图：． 理由：如图： ∵，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴． 22．我国古典数学著作中有一道计算秋千绳索长度的题目．翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】14.5尺 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：由题意得：，， 设尺， 尺，尺， （尺），尺， 在中，尺，尺，尺， 根据勾股定理得：， 解得：， 则秋千绳索的长度为14.5尺． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！10 学科网（北京）股份有限公司 $$