1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 安徽淮南第四中学 2023.9 情 境 导 入 　　一位探险家被土人抓住,土人首领说:“如果你说真话,你将被烧死,说假话,将被五马分尸.” 问题　请问探险家该如何保命?  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  知识点一　全称量词命题的否定 　对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定: 　∃x∈M,􀱑p(x)　⁠.也就是说, 　全称量词　⁠命题的否定是存在量词命题. 全称量词　 知识点二 　存在量词命题的否定 　对含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定: 　∀x∈M,􀱑p(x)　⁠.也就是说,存在量词命题的否定是 　全称量词　⁠命题. 全称量词　 提醒　对全称量词命和存在量词命题进行否定,总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真,也不能同时为假,只能一真一假. (1)一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作 “¬p ”，读作“非p”或“p的否定”． (2)如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然 常见的否定词语 一般地，写一个命题的否定，往往需要对正面叙述的词语进行否定，下面把常用的正面叙述的词语及它的否定列举如下： 原词 否定词 原词 否定词 等于 不等于 至多一个 至少两个 大于 不大于 至少一个 一个也没有 小于 不小于 任意 某个 是 不是 所有的 某些 都是 不都是 或（且） 且（或） 题型一 全称量词命题的否定 例1.写出下列全称量词命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)∀a∈R，方程x2＋ax＋2＝0有实数根； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. (1)存在一个平行四边形，它的对边不都平行． (2)∃a∈R，方程x2＋ax＋2＝0没有实数根． (3)∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在． (4)存在被5整除的整数，末位不是0. 练习.（多选）下列说法正确的是( ) A.若p：∀x＞3, x2-x-6＞0, 则¬p ：∃x＞3, x2-x-6＜0, B.若p：∀x＞3, x2-x-6＞0, 则¬p ：∃x＞3, x2-x-6≤0, C.若q：∃x≥1，x4≤ 2，则¬q ：∃x≥1，x4＞2， D.若q：∃x≥1，x4≤ 2，则¬q ：∀x≥1，x4＞2， 对量词改变：任意改存在，存在改任意 对结论进行否定，通常情况下用补集思想 题型二 存在量词命题的否定 例2　写出下列命题的否定并判断真假: (1)p:∃a∈R,一次函数y＝x＋a的图象经过原点; ¬p ：∀a∈R,一次函数y＝x＋a的图象不经过原点. 因为当a＝0时,一次函数y＝x＋a的图象经过原点, ¬p是假命题 (2)q:有的有理数没有倒数; ¬q ：所有的有理数都有倒数. 因为0为有理数且没有倒数,所以¬q为假命题. (多选)对下列命题进行否定,得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有(　) A.∃x∈R, B.所有的正方形都是矩形 C.∃x∈R,｜x｜＋2≤0 D.至少有一个实数x,使x3＋1=0 命题的否定是全称量词命题,则原命题为存在量词命题,故排除B选项. 命题的否定为真命题,则原命题为假命题. 又选项A、C中的命题为假命题,选项D中的命题为真命题,故选A、C. 题型三 根据命题的否定求参数范围 例3 命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题,求实数a的取值范围. 解命题“存在x＞1,使得2x＋a＜3”是假命题, 所以此命题的否定“任意x＞1,使得2x＋a≥3”是真命题, 因为对任意x＞1,都有2x＋a＞2＋a,所以2＋a≥3, a≥1 　已知命题p:∀x∈{x｜-3≤x≤2},都有x∈{x｜a-4≤x≤a＋5},且¬p是假命题,求实数a的取值范围. ¬p是假命题即p是真命题, 即∀x∈{x｜-3≤x≤2},x∈{x｜a-4≤x≤a＋5}成立, 所以实数a的取值范围为{a｜-3≤a≤1} 1.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2＋1≠0”的叙述,正确的是(　　) A.¬p:∃x∈R,x2＋1＝0 B.¬p:∀x∈R,x2＋1＝0 C.p是真命题,¬p是假命题 D.p是假命题,¬p是真命题 命题p:“∀x∈R,x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R,x2＋1＝0”.所以p是真命题,􀱑¬p是假命题. 2.(多选)下列说法正确的有(　　) A.命题“∃x∈R,1＜y≤2”的否定是“∀x∈R,y≤1或y＞2” B.“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C.“∃x∈R,x-2＞ ”是真命题 D.“∀x∈R,x2＞0”的否定是真命题 因为命题“∃x∈R,x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R,x2＋2x＋m＞0”,而命题“∃x∈R,x2＋2x＋m≤0”是假命题,则其否定“∀x∈R,x2＋2x＋m＞0”为真命题,所以两位同学题中m的取值范围是一致的. 则Δ＝4-4m＜0,解得 m＞1. 4.已知命题p:∃x＞0,x＋a-1＝0,若p为假命题,则实数a的取值范围是(　) A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1} C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1} ∵p为假命题,∴¬p为真命题,即∀x＞0,x＋a-1≠0,即∀x＞0,x≠1-a,∴1-a≤0,则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D. ①方程3x-2y＝10有整数解; ②∃x∈R,x≤0的否定为∀x∈R,x≤0; ③∃n∈N*,使得n能被11整除; ④∀x∈N,x2≥1的否定是∃x∈R,x2＜1. ①③ 6.已知命题p:∀1≤x≤3,都有m≥x,命题q:∃1≤x≤3,使m≥x,若命题p为真命题,命题q的否定为假命题,求实数m的取值范围. ¬q是假命题即q是真命题, 命题p:∀1≤x≤3,都有m≥x, 为真命题,则m≥xmax,即m≥3 命题q:∃1≤x≤3,使m≥x,为真命题,则m≥xmin,即m≥1. 因为命题p,q同时为真命题,故实数m的取值范围是m≥3. 选条件①.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0对于1≤x≤2恒成立. 因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1.若命题q为真,则关于x的方程x2＋2x＋4a＝0有解,所以Δ＝22-16a≥0,解得 又p,q都是真命题,所以 选条件②.由命题p为真,可得不等式x2-a≥0对于1≤x≤2恒成立. 因为1≤x≤2,所以1≤x2≤4,所以a≤1. 对于命题q,当B＝⌀,即a≤0时,A∩B＝⌀,命题q为真命题; 当a＞0时,由A∩B＝⌀得a≥4或3a≤2,所以 所以实数a的取值范围是 ∀x∈M，¬p(x) ∃x∈M，¬q(x) $$