1.5.1全称量词与存在量词课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.5.1　全称量词与存在量词 安徽淮南第四中学 2023.9 新课程标准 核心素养 1.理解全称量词、存在量词的含义． 数学抽象 2.掌握全称量词命题与存在量词命题的真假判断． 逻辑推理 3.能正确地对全称量词命题和存在量词命题进行否定． 数学抽象 4.掌握全称量词命题和存在量词命题与它们的否定在形式上的变化规律． 数学抽象 5.能够用全称量词命题和存在量词命题解决简单的数学问题． 逻辑推理 情 境 导 入 　　学校为了迎接秋季田径运动会,正在排练由1 000名学生参加的开幕式团体操表演.这1 000名学生符合下列条件: (1)所有学生都来自高一年级; (2)至少有30名学生来自高一(1)班; (3)每一个学生都有固定表演路线. 问题　上述条件中包含以下短语:“所有”“至少有”和“每一个”,这些短语在逻辑上称为什么?含有这些短语的命题称做什么命题? 知识点一　全称量词与全称量词命题 全称量词 “所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等 符号  　∀　⁠ 全称量词命题 含有 　全称量词　⁠的命题 形式 “对M中任意一个x,p(x)成立”,可用符号简记为“ 　∀x∈M,p(x)　⁠” ∀　 全称量词　 ∀x∈M,p(x)　 提醒　(1)从集合的观点看,全称量词命题是陈述某集合中的所有元素都具有某种性质的命题;(2)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来,例如:命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”. 读作：“对任意x属于M，有p(x)成立” 知识点二　存在量词与存在量词命题 存在量词 “存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等 符号  　∃　⁠ 存在量词命题 含有 　存在量词　⁠的命题 形式 “存在M中的元素x,p(x)成立”,可用符号简记为“ 　∃x∈M,p(x)　⁠” ∃　 存在量词　 ∃x∈M,p(x)　 提醒　(1)从集合的角度看,存在量词命题是陈述某集合中有或存在一些或至少一个元素具有某种性质的命题;(2)有些命题可能没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 读作：“存在x属于M，有p(x)成立” 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并用符号“∀”或“∃”表示下列命题: (1)自然数的平方大于或等于零; 解　(1)是全称量词命题,表示为∀x∈N,x2≥0. (2)存在实数x,满足x2≥2; 解　(2)是存在量词命题,表示为∃x∈R,x2≥2. (3)有些平行四边形的对角线不互相垂直; 解　(3)是存在量词命题,表示为∃平行四边形,其对角线不互相垂直. (4)存在实数a,使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 解　(4)是存在量词命题,∃a∈R,使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大. 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断 例2　指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假: (1)有的集合中存在两个相同的元素; 解　(1)是存在量词命题,由集合中元素的互异性可知,此命题是假命题. (2)∀a,b∈R,(a＋b)(a2-ab＋b2)＝a3＋b3; 解　(2)是全称量词命题,∀a,b∈R,(a＋b)(a2-ab＋b2)＝a3-a2b＋ab2＋a2b-ab2＋b3＝a3＋b3是真命题. (4)对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sin A＝cos B. 是全称量词命题,根据锐角三角函数的定义可知,对任意直角三角形的两个锐角A,B都有sin A＝cos B,是真命题. 　(多选)下列命题判断为真的是(　　) A.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P B.每一条线段的长度都能用正有理数来表示 C.至少有一个直角三角形不是等腰三角形 D.存在一个实数x,使得方程x2＋x＋8＝0成立 题型三 由含量词命题的真假求参数范围 例3　已知集合A＝{x｜-2≤x≤5},B＝{x｜m＋1≤x≤2m-1},且B≠⌀,若命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题,求m的取值范围. 解　由于命题p:“∀x∈B,x∈A”是真命题, 所以B⊆A,因为B≠⌀,所以 即m的取值范围为{m｜2≤m≤3}. 1.(变条件)把本例中命题p改为“∃x∈A,x∈B”,求m的取值范围. p为真,则A∩B≠⌀,因为B≠⌀,所以m≥2. 解得2≤m≤4. 2.(变设问)把本例中的命题p改为“∀x∈A,x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由. 由于命题p:“∀x∈A,x∈B”是真命题,所以A⊆B,B≠⌀, 所以不存在实数m,使命题p是真命题. 通性通法 依据含量词命题的真假求参数范围的方法 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻理解题意; (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. 　若命题“∃x∈R,x2-4x＋a＝0”为真命题,求实数a的取值范围. ∵命题“∃x∈R,x2-4x＋a＝0”为真命题,∴方程x2-4x＋a＝0存在实数根, 则Δ＝(-4)2-4a≥0,解得 a≤4. 即实数a的取值范围为{a｜a≤4}. 1.(多选)下列命题中是真命题的是(　　) A.∃x∈R,x3＝3 B.∃x∈R,3x＋1是整数 C.∀x∈R,｜x｜＞3 D.∀x∈Q,x2∈Z 2.(多选)下列结论中正确的是(　　) A.∀n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 B.∀n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 C.∃n∈N*,2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题 D.∃n∈N*,2n2＋5n＋2能被2整除是真命题 当n＝1时,2n2＋5n＋2不能被2整除,当n＝2时,2n2＋5n＋2能被2整除,所以A、B错误,C、D正确.故选C、D. 由题意,“二次函数y＝x2-3x＋9a的图象恒在x轴上方”为真命题,根据二次函数的图象与性质,可得Δ＝(-3)2-4×9a＜0, 4.(多选)下列命题正确的是(　　) A.存在x＜0,使｜x｜＞x B.对于一切x＜0,都有｜x｜＞x C.不存在实数x,使x2＋2x＋2＝0 D.已知A＝{a｜a＝2n},B＝{b｜b＝3n},对于任意n∈N*,都有A∩B＝⌀ 由于对于∀x∈R,x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1＞0恒成立,故C为真命题; 如n＝2,3时,6∈(A∩B),故D为假命题. 5.已知“∀x∈{x｜0≤x≤2},m＞x”和“∃x∈{x｜0≤x≤2},n＞x”均为真命题,那么m,n的取值范围分别是(　　) A.m＞0,n＞0 B.m＞0,n＞2 C.m＞2,n＞0 D.m＞2,n＞2 解析:　由“∀x∈{x｜0≤x≤2},m＞x”是真命题,可得m＞2;由“∃x∈{x｜0≤x≤2},n＞x”是真命题,可得n＞0. 6.已知M＝{x｜a≤x≤a＋1}. (1)“∀x∈M,x＋1＞0”是真命题,求实数a的取值范围; “∀x∈M,x＋1＞0”是真命题,即a＋1＞0,解得a＞-1, 所以实数a的取值范围是a＞-1. (2)“∃x∈M,x＋1＞0”成立,求实数a的取值范围. “∃x∈M,x＋1＞0”成立,即a＋1＋1＞0,解得a＞-2, 所以实数a的取值范围是a＞-2. $$