精品解析：福建省福州第二中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

福州二中2023—2024学年第四学段测试 高一年级 数学必修二试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高一数学集备组 审核：许秀亮 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 的实部为1 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得结果. 【详解】因为, 所以，，的实部为，即A、B、D错误，C正确. 故选：C 2. 已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（ ） A. 12 B. 4 C. 6 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】选择适当的向量作为平面向量基底，用基底来表示向量，即可解. 【详解】以网格的小正方形相邻两边所在方向单位向量 为基底,如图. 则 , 所以 ，则. 故选：C 3. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形弧长求底面半径，再代入圆锥的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， 则，解得，所以该圆锥的表面积为. 故选：C 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理化简已知式可得，由余弦定理即可求出，由正弦定理可求出的值. 【详解】由及正弦定理，得，可得， 由余弦定理得，又， 所以．又，，由， 得． 故选：D． 5. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为16 B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7 D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 【答案】B 【解析】 【分析】将数据由小到大排列，利用极差、百分位数、平均数的定义得到A、B、C选项；由前5年和后5年的波动性得到方差的大小，得到D选项. 【详解】A选项，将样本数据从小到大排列为，这10年的粮食年产量极差为，故A正确； B选项，，结合A选项可知第70百分位数为第7个数和第8个数的平均数，即，故B不正确； C选项，这10年粮食年产量的平均数，故C正确： D选项，结合图形可知，前5年的粮食年产量的波动小于后5年的粮食产量波动，所以前5年的粮食年产量的方差小于后5年的粮食年产量的方差，故D正确． 故选：B. 6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D. 在上的零点有4个 【答案】D 【解析】 【分析】由图象确定所对应的解析式，可判断A，然后根据正弦函数的性质即可判断BCD，从而可得结果. 【详解】由图可知，又，所以，解得， 所以，又函数过点，所以， 即，又，所以，则， 所以，故A错误； 当，则，因为在上不单调， 所以在上不单调，故B错误； 将的图象向右平移个单位长度后得到为非奇非偶函数，故C错误： 令，即，即，解得， 所以在上的零点有共4个，故D正确． 故选：D 7. 如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量、向量线性运算、向量数量积、向量的模等知识对选项进行分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，平行四边形中，， 所以， 则，所以， 所以在方向上的投影向量为，所以A错误； 对于B，因为，为的中点， 所以，则， 故，所以B不正确； 对于C，，所以C不正确； 对于D，，即，所以D正确. 故选：D. 8. 如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. 已知复数满足，则 B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则的最大值为2 【答案】BD 【解析】 【分析】由复数的除法得到A选项；由共轭复数的定义得到B选项；二次方程有虚根，则两根共轭，且符合韦达定理，得到C选项；由复数的几何意义得到D. 【详解】对于A中,，所以A不正确； 对于B中，由复数，可得，可得的虚部为2，所以B正确； 对于C中，由若是关于的方程的一个根， 可得方程的另一根为，则，所以C不正确； 对于D中，由复数满足，可得在复平面内表示以为圆心，半径为1的圆， 又由表示圆上的点到原点的距离，可其最大值为2，所以D正确． 故选：BD． 10. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线垂直、线面垂直、线面平行等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由于底面，底面，所以， 由于平面，所以平面， 由于平面，所以. A选项，当时，由于平面， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，A选项正确. B选项，当时，若， 则由于平面，所以平面， 由于平面，所以， 则由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 这与矛盾，所以与不垂直， 当与点重合时，如下图所示， 由于，所以与平面不垂直，则与不垂直， 同时，与不垂直，则与平面不垂直，则与不垂直. 所以不一定是直角三角形，B选项错误. C选项，当平面时，由于平面， 平面平面，所以， 所以平面，由于平面， 所以，所以是直角三角形，C选项正确. D选项，当平面时，由于平面， 所以，由于平面， 所以平面，由于平面，所以， 所以是直角三角形，D选项正确. 故选：ACD 【点睛】要证明线线垂直，可通过线面垂直来证明；要证明线面垂直，可通过线线垂直来证明.如果题目已知直线和平面平行，那么根据线面平行的性质定理，可得到直线与平面的某些直线平行. 11. 在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角为 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 二面角平面角的正切值为 【答案】CD 【解析】 【分析】连接交于点，利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；连接，求出棱长判断出三棱锥是正三棱锥，可得在底面的射影为等边的中心可判断B；利用线面平行的判定定理得平面平面，转化为求直线与平面所成角的正弦值，设到平面的距离为，利用解得，可判断C；连接，交于点，二面角的平面角为，利用余弦定理求出，再求可判断D. 【详解】对于A，连接，交于点，则， 因为平面平面，所以， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所以， 因为分别为的中点，所以分别为，的中点，， 所以，所以与所成角为，所以A错误， 对于B，连接，可得， ，所以， 且，所以三棱锥是正三棱锥， 可得在底面的射影为等边的中心， 连接，，， 所以，所以B错误； 对于C，连接，因为， 平面，平面，所以平面， 平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 即求直线与平面所成角正弦值，， ，， 设到平面的距离为， 则 ，解得， 所以直线与平面所成角正弦值为，故C正确， 对于D，连接，交于点，连接， 四边形为正方形，为中点， 所以，因为是等边三角形，所以， 二面角的平面角为， ，，由余弦定理得 ， 所以， 所以， 由图可知二面角为钝角，即二面角的正切值为，D正确. 故选：CD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】用诱导公式和二倍角公式化简求值即可. 【详解】根据诱导公式得， 由题设，可得， . 故答案为：. 13. 已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知外接球的球心为上下两个底面中心连线的中点，然后由已知的数据可求出球的半径，从而可求出球的表面积 【详解】解：因为正六棱柱的所有顶点都在球面上，所以外接球的球心为上下两个底面中心连线的中点， 因为正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2， 所以此正六棱柱外接球的半径为， 所以球的表面积为， 故答案为： 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值. 【详解】，，， ， 解得， 以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， , ∵，∴的坐标为, 又∵,则，设，则（其中）， ，， ， 所以，当时，取得最小值. 故答案为：；. 【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 【答案】（1）；第75百分位数为84． （2）5个 （3）总平均数，总方差． 【解析】 【分析】（1）根据各组的频率和为1列方程可求出的值，再判断第75百分位数，然后列方程可求得结果； （2）先根据频率分布直方图计算出成绩在和样本人数得成绩在的比例系数，再根据比例抽样即可； （3）先计算成绩在和的市民人数，再根据分层随机抽样的总平均数和总方差的公式计算即可. 【小问1详解】 （1）由每组小矩形的面积之和为1得， ，所以． 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第百分位数，由， 解得，所以第百分位数为． 【小问2详解】 由频率分布直方图知，样本成绩为的三组答卷的市民有 个样本， 成绩在的市民人数为， 所以用分层抽样的方法应在答卷成绩为的中抽取市民人数为个. 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 由样本方差计算总体方差公式，得总方差为 ． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 【答案】（1） 证明：平面与直线相交于点，平面平面， 四边形是菱形，， 平面，平面，平面， 平面，平面平面， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，证出平面，然后根据平面平面，利用线面平行的性质定理证出； （2）连接，取中点，连接、，根据线面垂直的判定定理，证出平面，可得是直线与平面的所成角，然后在中利用锐角三角函数的定义算出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，取中点，连接、， 菱形中，，，是等边三角形， 是中点，， 平面，平面，， 、平面，，平面． 是直线与平面的所成角， 是中点，，． 平面，平面，， 为中点，，中，， 等边中，高， 中，， 可得，即直线与平面的所成角等于． 17. 平面凸四边形中，． （1）若，求； （2）若，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由勾股定理求出，即可得到的正、余弦值，再求出，即可得到的正、余弦值，再由两角和的余弦公式求出，最后由余弦定理计算可得； （2）首先求出，再由锐角函数计算可得. 【小问1详解】 连接，由（1）知， 在中易知． 在中，由，得， 易知． ． 在中由余弦定理得： ， ； 【小问2详解】 连接，在中，由． 得， ， ， 在中，由知． 18. 如图，已知平面平面，是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，且分别为的中点， （1）求证：平面； （2）点在上移动，求证：； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，证得且，得到四边形为平行四边形，得出，结合线面平行判定定理，即可证得平面； （2）根据题意，证得和，结合面面垂直的性质定理，证得面，得到，进而证得平面，得出平面，即可得证； （3）过点作，证得面，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 证明：取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以且， 又因为为矩形，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 证明：因为是边长为2的等边三角形，且为的中点，可得， 又因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面平面，且平面平面，所以面， 又因为平面，所以， 因为，所以平面， 由（1）得，所以平面，因为平面，所以. 【小问3详解】 解：过点作， 因为平面平面，且平面平面，所以面， 所以即为棱锥的高，且， 可得， 因为分别为的中点，可得三棱锥的高是棱锥的高的一半， 且棱锥的底面面积是棱锥的底面面积的四分之一， 所以. 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知锐角的内角的对边分别为记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据两角差的正弦公式结合相伴向量的概念即可得结果； （2）①首先根据相伴函数的概念求出，进而求出，通过正弦定理将表示成关于的三角函数，进而可得结果；②利用面积分割法结合余弦定理得，利用①的结论求解即可. 【小问1详解】 ， 所以函数的相伴向量. 【小问2详解】 ①由题知， 由，得， 又，所以，即，所以， 又，由正弦定理，得，， 即， 因为，所以，即， 所以，即的取值范围为； ②由余弦定理得，即， 因为，所以， 所以， 由①知，所以， 所以内切圆半径的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州二中2023—2024学年第四学段测试 高一年级 数学必修二试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟） 命题：高一数学集备组 审核：许秀亮 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数，则下列正确的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 的实部为1 2. 已知向量在由小正方形（边长1）组成的网格中的位置如图所示，则（ ） A. 12 B. 4 C. 6 D. 3 3. 已知圆锥的母线长为6，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，角的对边分别为，若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法错误的是（ ） A. 这10年粮食年产量的极差为16 B. 这10年粮食年产量的第70百分位数为35 C. 这10年粮食年产量的平均数为33.7 D. 前5年的粮食年产量的方差小于后5年粮食年产量的方差 6. 函数在一个周期内的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数 D. 在上的零点有4个 7. 如图，平行四边形中，为的中点，与交于，则（ ） A. 在方向上的投影向量为 B. C. D. 8. 如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（ ） A. 已知复数满足，则 B. 复数的共轭复数的虚部为2 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 若复数满足，则的最大值为2 10. 在三棱锥中，已知底面分别是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，一定为直角三角形 B. 当时，一定为直角三角形 C. 当平面时，一定为直角三角形 D. 当平面时，一定为直角三角形 11. 在棱长为1的正方体中，点分别为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与所成角为 B. 点到平面的距离为 C. 直线与平面所成角的正弦值为 D. 二面角平面角的正切值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知一个正六棱柱的所有顶点都在球面上，若正六棱柱的底面边长与侧棱长均为2，则这个球的表面积为_____． 14. 如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________． 四、解答题：共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六段：得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值与样本成绩的第75百分位数： （2）在样本答卷成绩为的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13个，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少个？ （3）已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩的总平均数和总方差． 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点. （1）设平面与直线相交于点，求证：； （2）若，，，求直线与平面所成角的大小. 17. 平面凸四边形中，． （1）若，求； （2）若，求 18. 如图，已知平面平面，是边长为2的等边三角形，四边形是正方形，且分别为的中点， （1）求证：平面； （2）点在上移动，求证：； （3）求三棱锥的体积． 19. 定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）. （1）设，写出函数的相伴向量； （2）已知锐角的内角的对边分别为记向量的相伴函数，若且，求：①的取值范围；②的内切圆的半径的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $