重难点02 绝对值的化简与绝对值方程 专项讲练-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

重难点02. 绝对值的化简与绝对值方程 专项讲练 1. 掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤； 2. 能利用绝对值的性质解方程； 3. 回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。 题型探究 题型1、根据字母取值范围化简求值 2 题型2、已知点在数轴上的位置化简求值 3 题型3、绝对值化简（型）： 5 题型4、采用零点分段讨论化简求值 7 题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法） 10 题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解） 14 培优精练 A组（能力提升） 16 B组（培优拓展） 16 1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 2.已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ：大的数－小的数＞0，转化到数轴上：右－左＞0；小的数－大的数＜0，转化到数轴上：左－右＜0。 ：正数＋正数＞0，化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号。 ②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值； 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）。 ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号。 ④化简（合并同类项）. 3.绝对值化简（型）：.当时，=1；当时，=-1。 4.零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 题型1、根据字母取值范围化简求值 【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 例1．（2023•广东七年级期中）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式|x﹣3|﹣2|x+1|的结果是（　　） A．1﹣3x B．1+3x C．﹣1﹣3x D．﹣1+3x 变式1．（2023·成都市七年级期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则_____． 变式2．（2023•肇源县七年级期末）当2≤x＜5时，化简：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值为 　． 题型2、已知点在数轴上的位置化简求值 【解题技巧】已知点在数轴上的位置的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 例1．（2022·江苏·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0． (2)化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 变式1．（2023·四川·七年级期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（　　） A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b 变式2．（2023·陕西·七年级期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 题型3、绝对值化简（型）： 【解题技巧】.当时，=1；当时，=-1。 例1．（2023·河北七年级期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 例2．（2023·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________． 变式1．（2023·上海杨浦·期中）若a，b各表示一个有理数，且，则算式的可能值有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（2023·浙江·七年级课时练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（       ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 题型4、采用零点分段讨论化简求值 【解题技巧】零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 例1．（22-23七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)化简代数式；(2)化简代数式． 变式1．（2023·广东·七年级培优）已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（       ）． A．5 B．10 C．15 D．75 变式2．（2023七年级上·绵阳·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式；(2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法） 【解题技巧】代数法：同题型4；几何法：利用绝对值的几何意义求解。 例1．（23-24七年级上·广东·期中）综合应用题：的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．(1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 例2．（23-24七年级上·内蒙古·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题：(1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______．(2)若，则______．(3)满足的有理数有______个． 变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　．(3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　；②若，则　　　． 变式2．（23-24七年级上·江西赣州·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)________；(2)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (4)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为_______． 题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解） 例1．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）实数a，b满足，则的最小值为______． 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差 ． 变式2．（23-24七年级·陕西·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． A组（能力提升） 1．（2023·江苏·七年级期末）已知a，b的位置如图，则的值为（　　　） A．0 B．－2b C．－2a D．2b－2a 2.（2023·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     ) A．-1 B．1 C．3 D．-3 3．（2023·广东·七年级校考期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（    ） A．点或点 B．点或点 C．点 D．点 4．（2023·山东·七年级期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且满足．则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2023·重庆·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中，则下列各式：①；②；③；④，正确的有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2023·广东·一模）如图，在关于x的方程（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程的解为，．用上述理解，可得方程的解为______． 7．（2023·广东·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为___________． 8．（2023秋·江苏·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________． 9．（2023·广东·七年级期末）如图，已知a、b、c在数轴上的位置． （1）a+b　　0，abc　　0，　　0．填（“＞”或“＜”） （2）如果a、c互为相反数，求＝　　．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|． 10．（2023·浙江·七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？ （3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|． 11．（23-24七年级上·北京西城·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则B，C两点间的距离是 ；    (2)点D和E分别在数轴上表示数x和，如果D，E两点之间的距离为3，那么x为 ； (3)借助数轴思考，当x为 时，与的值相等． 12．（23-24七年级上·广东河源·期中）对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示．①求A，B两点的“绝对距离”；②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；(2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 13．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间距离为；在数轴上与3所对应两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题：(1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为；(2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． B组（培优拓展） 1．（2023·江苏·七年级期末）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（     ） A． B． C． D． 2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（    ）． A．0 B． C． D． 3．（2022秋·山东七年级课时练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 4．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 5．（23-24七年级上·四川成都·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“绝对关联数”为，，则和关于的“绝对关联数”为 (1)和关于的“绝对关联数”为 ；(2)若和关于的“绝对关联数”为，求的值； (3)若和关于的“绝对关联数”为，和关于的“绝对关联数”为，和关于的“绝对关联数”为，…，和关于的“绝对关联数”为，…①的最小值为 ；②的最小值为 ． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一：请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二：根据绝对值的意义求字母的值：（1）若，求x所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______．（2）若，求x所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三：设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数；（3）若，求x所表示的有理数． 7．（2023·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 8．（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示6与的差的绝对值，也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】(1)若，则 ；(2)利用数轴，若，找出所有符合条件的整数x； (3)由以上探索，对于有理数x，使，写出符合条件的x的值． 9．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点02. 绝对值的化简与绝对值方程 专项讲练 1. 掌握绝对值的几何意义和代数意义，化简绝对值的一般步骤； 2. 能利用绝对值的性质解方程； 3. 回归数学思想，在课堂中充分渗透整体思想、分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。 题型探究 题型1、根据字母取值范围化简求值 2 题型2、已知点在数轴上的位置化简求值 3 题型3、绝对值化简（型）： 5 题型4、采用零点分段讨论化简求值 7 题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法） 10 题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解） 14 培优精练 A组（能力提升） 16 B组（培优拓展） 16 1.绝对值的性质：①正数的绝对值是它本身，即； ②0的绝对值是0，即；③负数的绝对值是它的相反数，即；④绝对值具有非负性，即。 2.已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； ：大的数－小的数＞0，转化到数轴上：右－左＞0；小的数－大的数＜0，转化到数轴上：左－右＜0。 ：正数＋正数＞0，化到数轴上：原点右侧两数相加＞0；负数＋负数＜，化到数轴上：原点左侧两数相加＜0；正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号。 ②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值； 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）。 ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号。 ④化简（合并同类项）. 3.绝对值化简（型）：.当时，=1；当时，=-1。 4.零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 题型1、根据字母取值范围化简求值 【解题技巧】已知范围的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 例1．（2023•广东七年级期中）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式|x﹣3|﹣2|x+1|的结果是（　　） A．1﹣3x B．1+3x C．﹣1﹣3x D．﹣1+3x 【答案】A 【详解】解：∵﹣1≤x≤2，∴x﹣3≤0，x+1≥0， ∴|x﹣3|﹣2|x+1|＝﹣（x﹣3）﹣2（x+1）＝﹣x+3﹣2x﹣2＝﹣3x+1＝1﹣3x．故选：A． 变式1．（2023·成都市七年级期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离，若x是一个有理数，且，则_____． 【答案】4 【分析】根据x的取值范围，分别判断x-1与x+3的正负，然后根据绝对值的性质求解即可. 【详解】∵，∴，， ∴原式 【点睛】此题主要考查了两点间距离公式的应用，解题的关键是根据绝对值的性质化简. 变式2．（2023•肇源县七年级期末）当2≤x＜5时，化简：|2x﹣10|﹣|x﹣2|的值为 　． 【答案】12﹣3x 【详解】解：∵2≤x＜5，∴4≤2x＜10，0≤x﹣2． ∴2x﹣10＜0，|x﹣2|＝x﹣2．∴|2x﹣10|＝10﹣2x． ∴|2x﹣10|﹣|x﹣2|＝10﹣2x﹣（x﹣2）＝10﹣2x﹣x+2＝12﹣3x． 题型2、已知点在数轴上的位置化简求值 【解题技巧】已知点在数轴上的位置的绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②根据绝对值符号里式子的正负去绝对值；③去括号；④化简（合并同类项）。 例1．（2022·江苏·七年级专题练习）有理数a、b、c在数轴上的位置如图： (1)判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c______0，a+b______0，c﹣a______0． (2)化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|． 【答案】(1)，，(2) 【分析】（1）根据数轴可知，且，然后问题可求解； （2）根据（1）可进行求解． (1)解：由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|， 所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；故答案为：＜，＜，＞； (2)解：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a| ＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a） ＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a ＝﹣2b． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义、有理数的大小比较及化简绝对值，熟练掌握绝对值的意义、有理数的大小比较及化简绝对值是解题的关键． 变式1．（2023·四川·七年级期末）已知有理数a、b在数轴上表示的点如图所示，化简|b﹣a|﹣|a+2b|+|﹣a﹣b|＝（　　） A．a B．﹣a﹣4b C．3a+2b D．a﹣2b 【答案】A 【分析】结合数轴知b<-1<0<a<1，据此判断出b-a< 0， a+2b< 0，-a-b> 0，再利用绝对值的性质去绝对值符号、合并即可得出答案． 【详解】由数轴知b<-1<0<a<1，∴b- a< 0，a+2b< 0，-a-b> 0， 则原式= a-b+a+2b-a- b= a，故选：A． 【点睛】本题主要考查数轴，解题的关键是结合数轴判断出b- a、a+ 2b、-a - b与0的大小． 变式2．（2023·陕西·七年级期末）已知、两数在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由数轴可知b<-1<1<a<2，且，得到a+b>0，b+1<0，化简绝对值再合并即可． 【详解】解：由数轴可知，b<-1<1<a<2，且，∴a+b>0，b+1<0， ∴=a+b-b-1=a-1，故选：A． 【点睛】此题考查了利用数轴比较数的大小，判断式子的正负，化简绝对值，正确理解数轴上数的大小关系是解题的关键． 题型3、绝对值化简（型）： 【解题技巧】.当时，=1；当时，=-1。 例1．（2023·河北七年级期中）有理数a，b在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【解析】由图得，a+1>0,a<0,a-b<0,b-1<0, =,选D. 点睛：化简绝对值问题，根据，此时，a可以看做一个式子，a是正数或0，则，把绝对值变成括号，如果a是负数，则绝对值变括号，前面加负号. a+1+b-1=a+b．故答案为：a+b． 【点睛】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较，正确去掉绝对值是解题的关键． 例2．（2023·福建泉州·七年级校考期中）已知：，且，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为，则____________． 【答案】3 【分析】根据绝对值的性质进行化简即可 【详解】，，，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， 当，为负，为正数时， 当，为负，为正数时， 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最大的值为， ，，，故答案为：3 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质是解题的关键 变式1．（2023·上海杨浦·期中）若a，b各表示一个有理数，且，则算式的可能值有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由于a、b的符号不确定，应分a、b同号，a、b异号两种情况分类求解． 【详解】解：①a、b同号时，、也同号，即同为1或-1，故此时原式=0； ②a、b异号时，、也异号，即一个是1，另一个是-1，故此时原式=2或-2； 所以所给代数式的值可能有3个：±2或0．故选：C． 【点睛】此题主要考查了绝对值的性质，有理数的减法运算，分类讨论是解答本题的关键． 变式2．（2023·浙江·七年级课时练习）已知非零有理数a，b，c，满足，则等于（       ） A．﹣1 B．0 C．±1 D．1 【答案】A 【分析】根据绝对值的性质和a、b、c的正负分情况讨论化简计算即可． 【详解】解：当a、b、c同为正数时，=1+1+1=3不满足条件； 当a、b、c为两正一负时，=1+1－1=1满足条件，此时abc＜0， ∴==－1； 当a、b、c为两负一正时，=1－1－1=－1不满足条件； 当a、b、c同为负数时，=－1－1－1=－3不满足条件， 综上，=－1，故选：A． 【点睛】本题考查绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，会利用分类讨论思想解决问题是解答的关键． 题型4、采用零点分段讨论化简求值 【解题技巧】零点分段法一般步骤：①求零点；②分段；③在各段内分别进行化简；④将各段内的情况综合起来，得到问题的答案。 例1．（22-23七年级上·北京西城·阶段练习）当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道， 世界上最遥远的距离，不是瞬间便无处寻觅，而是尚未相遇，便注定无法相聚。 距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．我们可以从图形和代数化简两个角度来计算距离： ①已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，例如表示到2的距离，而则表示到的距离； ②我们知道：，于是可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式． 例如化简时，可先令和，分别求得，（称和2分别为的零点值），在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①；②；③．从而化简可分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上，原式＝ 结合以上材料，回答以下问题：(1)化简代数式；(2)化简代数式． 【答案】(1) 见解析 (2)见解析 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （1）分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而化简代数式； (2)分、、分别化简，结合的取值范围确定代数式值的范围，从而化简代数式． 【详解】（1）当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 则=． （2）当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， 则=． 【点睛】本题考查了数轴上的点与点之间的距离及代数式的最值问题，明确数轴上的点之间的距离及绝对值的运算法则，是解题的关键． 变式1．（2023·广东·七年级培优）已知x为实数，且的值是一个确定的常数，则这个常数是（       ）． A．5 B．10 C．15 D．75 【答案】A 【分析】将按照每一段的取值范围进行分类讨论，即可得到答案． 【详解】解：（1）当时，原式，不是常数； （2）当时，原式，不是常数； （3）当时，原式，不是常数； （4）当时，原式，不是常数； （5）当时，原式，不是常数； （6）当时，原式，不是常数； （7）当时，原式，不是常数； （8）当时，原式，不是常数； （9）当时，原式，不是常数； （10）当时，原式，不是常数； （11）当时，原式，是常数； （12）当时，原式，不是常数； （13）当时，原式，不是常数； （14）当时，原式，不是常数； （15）当时，原式，不是常数； （16）当时，原式，不是常数．故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，解决本题的关键是弄清绝对值的性质以及具有分类讨论的意识． 变式2．（2023七年级上·绵阳·专题练习）学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式；(2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式(2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为．故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 题型5、含绝对值的方程（几何法与代数法） 【解题技巧】代数法：同题型4；几何法：利用绝对值的几何意义求解。 例1．（23-24七年级上·广东·期中）综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 【答案】(1)x，原点，=(2)1(3)x，3，4或2(4)x，，0或(5) 【分析】（1）根据的几何意义求解；（2）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （3）根据的几何意义及绝对值的意义求解；（4）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （5）根据的几何意义及解不等式组求解； 【详解】（1）解： 的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；， 故答案为：x，原点，＝； （2）解：的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则， 故答案为：1； （3）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若，则或2， 故答案为：x，3，4或2． （4）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，若，则或． 故答案为：x，，0或 （5）解：使得这样的整数是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，掌握数形结合是解题的关键． 例2．（23-24七年级上·内蒙古·阶段练习）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示、在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示与的两点之间的距离是______；数轴上表示与的两点之间的距离是______． (2)若，则______． (3)满足的有理数有______个． 【答案】(1)，(2)或(3)无数 【分析】（1）根据材料提示的两点之间距离的计算方法即可求解； （2）根据绝对值的性质即可求解；（3）根据绝对值的性质，结合数轴即可求解． 【详解】（1）解：与的两点之间的距离是， 与的两点之间的距离是， 故答案为：，． （2）解： 当时，；当时，； ∴或，故答案为：或． （3）解：根据材料提示两点之间距离公式，则表示为，即点到表示的点，与点到表示的点的距离和为，如图所示，    ∴在点之间的任何数都可以， 故答案为：无数． 【点睛】本题主要考查数轴上两点之间的距离的计算，绝对值的性质的综合，掌握绝对值的性质计算数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 变式1．（23-24七年级·江苏·假期作业）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离．所以式子的几何意义是数轴上表示x的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题： (1)数轴上表示2和5两点之间的距离是　　　，数轴上表示1和的两点之间的距离是　　　． (2)如果，那么　　　． (3)若，且数a，b在数轴上表示的数分别是点A，点B，则A，B两点间的最大距离是　　　，最小距离是　　　． (4)①若数轴上表示x的点位于与1之间，则　　　； ②若，则　　　． 【答案】(1)3，4(2)2或(3)8，2(4)①4；②5或． 【分析】（1）根据距离公式计算即可． （2）根据绝对值的意义计算即可．（3）根据绝对值的意义，确定a，b的值，再最值的意义计算即可． （4）①根据取值范围，化简绝对值计算即可．②分，，三种情况计算即可． 【详解】（1）数轴上表示2和5两点之间的距离是：，数轴上表示1和的两点之间的距离是：；故答案为：3，4． （2），∴， ∴，故答案为：2或． （3）∵，∴， ∴，∴或1，或， ∴A，B两点间的最大距离是：，最小距离是：；故答案为：8，2． （4）①∵x的点位于与1之间，∴，故答案为：4． ②当时，，得到，解得，； 当时，，得到，解得，； 当时，，得到，无解； 综上，或；故答案为：5或． 【点睛】本题考查了数轴上的两点间的距离，绝对值的化简与取值范围的关系，熟练掌握绝对值方程的计算是解题的关键． 变式2．（23-24七年级上·江西赣州·期中）【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看做，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)________；(2)在数轴上，有理数5与所对应的两点之间的距离为________； (3)结合数轴找出所有符合条件的整数，使得，则________； (4)利用数轴分析，若是整数，且满足，则满足条件的所有的值的和为_______． 【答案】(1)5(2)8(3)或2(4) 【分析】（1）根据值的概念计算即可；（2）根据材料列出绝对值，然后再计算即可； （3）观察数轴，找到与距离是3点即可解答； （4）根据表示x与2和的距离之和为5，再结合数轴即可解答． 【详解】（1）解： ．故答案为：5． （2）解：5与的两点之间的距离为．故答案为：8． （3）解：观察数轴： ∵表示x与的距离为3，∴或2．故答案为：或2． （4）解：观察数轴 ∵表示x与和2的距离之和为5， ∵和2之间的距离为5，∴所有符合条件的整数， 其和为．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点所表示的数、数轴的应用等知识点，明确数轴上的点之间的距离与绝对值的关系是解题的关键． 题型6、含绝对值的不定方程（绝对值的几何意义求解） 例1．（2023秋·陕西西安·七年级校考期末）实数a，b满足，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用绝对值的定义：“绝对值代表与原点的距离”可知答案． 【详解】解：∵，∴， 表示a到，2的距离与b到的距离之和为8， ∵时， 时，， ∴，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值，掌握绝对值的意义是关键． 变式1．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，求的最大值与最小值的差 ． 【答案】 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴．同理，，， 而， ∴，，． ∴．∴． ∴的最大值为15，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为．故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 变式2．（23-24七年级·陕西·阶段练习）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，则2x+y的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可得当时，有最小值3，当时，有最小值7，再结合已知，当，时有最小值． 【详解】解：表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值3， 表示数轴上表示的点与表示和的点的距离和， 当时，有最小值7， ∵，∴，， ∴的最小值为．故答案为：． 【点睛】本题可得绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． A组（能力提升） 1．（2023·江苏·七年级期末）已知a，b的位置如图，则的值为（　　　） A．0 B．－2b C．－2a D．2b－2a 【答案】B 【分析】结合数轴可知：，进一步可知：，，再去绝对值即可． 【详解】解：由图可知：，∴，， ∴．故选：B 【点睛】本题考查根据数轴上的点判断式子的正负，去绝对值，解题的关键是根据数轴得出，得出，． 2.（2023·河南周口·七年级期末）有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是(     ) A．-1 B．1 C．3 D．-3 【答案】D 【分析】先根据数轴求出－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|，再去掉绝对值，然后根据分式的性质计算即可． 【详解】解：根据数轴可知：－1<a<0，0<b<1，|a|<|b|， ∴原式．故选：D． 3．（2023·广东·七年级校考期中）如图，、、、是数轴上的四个整数所对应的点，且，而数在与之间，数在与之间，若，且、、、中有一个是原点，则此原点可能是（    ） A．点或点 B．点或点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】先根据图形和已知条件找出各线段长度，然后由推测原点位置． 【详解】解：由“B-A=C-B=D-C=1且数m在A与B之间，数n在C与D之间”可以得出： ①当原点是B点或C点时， 与已知相矛盾，故原点不可能是B点或C点； ②当原点在A点或D点且时， ， 综上可知：数轴原点可能是A点或D点． 故选A． 【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，解决本题的关键在于理解绝对值的几何意义． 4．（2023·山东·七年级期末）已知有理数在数轴上的位置如图所示，且满足．则下列各式：①；②；③；④．其中正确的有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据数a、b、c在数轴上的位置和绝对值的意义，进行逐一计算即可判断． 【详解】解：∵|a|＜|b|＜|c|，∴①−b＞−a＞−c，故①正确； ②＝1+1＝2，故②错误；③，故③正确； ④|a−b|−|c-b|＋|a−c|＝a−b−(c−b)＋(c−a)=a-b-c+b+c-a=0，故④正确： 所以正确的个数有①③④，共3个．故选：B． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解决本题的关键是掌握数轴和绝对值． 5．（2023·重庆·七年级期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，其中，则下列各式：①；②；③；④，正确的有（       ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】①根据a，b，c在数轴上对应的点的位置分别得出，即可判定的正负； ②由得到，即可判断的正负； ③根据，，即可得出的值； ④首先根据，，得出，化简即可求解． 【详解】解： 由有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置可得：， ∴，故①正确，符合题意； ∵，∴，∴；故②错误，不符合题意； ，故③正确，符合题意； ∵，，，∴， ， 故④正确，符合题意；综上所述，正确的有①③④，共有3个．故选：B． 【点睛】此题考查了利用数轴进行相关的计算，绝对值的意义，解题的关键是掌握数形结合的方法和绝对值等的化简法则． 6．（2023·广东·一模）如图，在关于x的方程（a，b为常数）中，x的值可以理解为：在数轴上，到A点的距离等于b的点X对应的数．例如：因为到实数1对应的点A距离为3的点X对应的数为4和-2，所以方程的解为，．用上述理解，可得方程的解为______． 【答案】， 【分析】根据题目中（a，b为常数）的特点解方程即可． 【详解】依题意得：表示x对应的点到实数3对应的点距离为2 到实数3对应的点距离为2的点对应的数是5和1 ∴的解为，．故答案为：， 【点睛】本题考查绝对值的几何意义，理解题目中给出的解释是解题的关键． 7．（2023·广东·七年级统考期末）有理数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】根据数轴得到，，，，根据绝对值的性质去掉绝对值，化简即可得到答案． 【详解】解：，，， 原式故答案为： 【点睛】此题考查了实数与数轴、绝对值，掌握正数的绝对值等于正数，负数的绝对值等于它的相反数是解题关键． 8．（2023秋·江苏·七年级统考期末）已知，，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是 ___________． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断出绝对值里边式子的正负，再利用绝对值的代数意义化简、去括号、合并同类项即可解答． 【详解】解：由数轴上点的位置得：，且， ，，， 则原式．故答案为：． 【点睛】本题考查数轴、绝对值、去括号、合并同类项等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 9．（2023·广东·七年级期末）如图，已知a、b、c在数轴上的位置． （1）a+b　　0，abc　　0，　　0．填（“＞”或“＜”） （2）如果a、c互为相反数，求＝　　．（3）化简：|b+c|﹣2|a﹣b|﹣|b﹣c|． 【答案】（1）＜，＜，＜；（2）﹣1；（3）2a． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （2）根据相反数的定义即可求解； （3）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，，则 （1），，．故答案为：，，； （2）、互为相反数，．故答案为：； （3）． 【点睛】本题主要考查数轴、绝对值的性质、整式的加减，解题的关键是根据数轴和题目条件判断出、、的大小关系． 10．（2023·浙江·七年级期中）如图，点A和B表示的数分别为a和b，若c是绝对值最小的数，d是最大的负整数．（1）在数轴上表示c＝ ，d＝ ．（2）若|x+3|＝2，则x的值是多少？ （3）若﹣1＜x＜0，化简：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|． 【答案】（1）0，；（2）或；（3） 【分析】（1）根据c是绝对值最小的数，d是最大的负整数，即可得到，； （2）由，则，由此求解即可； （3）根据数轴上的位置可得，则，，，由此进行化简即可． 【详解】解：（1）∵c是绝对值最小的数，d是最大的负整数， ∴，，故答案为：0，； （2）∵，∴，∴或； （3）根据数轴上的位置可得， ∵，∴，，， ∴． 【点睛】本题主要考查了根据数轴上点的位置化简绝对值，解绝对值方程，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的相关方法． 11．（23-24七年级上·北京西城·期中）先阅读，再探究相关的问题：表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)点A的位置如图所示，点B与点A分别位于原点两侧且与原点距离相等，把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则B，C两点间的距离是 ；    (2)点D和E分别在数轴上表示数x和，如果D，E两点之间的距离为3，那么x为 ； (3)借助数轴思考，当x为 时，与的值相等． 【答案】(1)3.5(2)2或(3) 【分析】（1）根据数先在数轴上描出点，再根据点得出两点间的距离； （2）根据数轴上两点间的距离公式，可得到的值两个； （3）根据到两点距离相等的点是这两个点的中点，可得答案； 【详解】（1）解：如图，    点表示的数，点表示的数1，的距离是；故答案为： 3.5 （2）数轴上表示和的两点D和E之间的距离表示为：， 如果D，E两点之间的距离为3，即， 或，那么为或2；故答案为： 2或 （3）与的值相等，此种情况等式不成立，或，， 如图：到距离和到2的距离相等      时，与的值相等；故答案为： 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，相反数，解题的关键是掌握数轴知识，绝对值的定义，相反数的定义． 12．（23-24七年级上·广东河源·期中）对于数轴上的两点P，Q给由如下定义：P，Q两点到原点的距离之差的绝对值称为P，Q两点的“绝对距离”，记为．例如，P，Q两点表示的数如图1所示，则．    (1)A，B两点表示的数如图2所示．①求A，B两点的“绝对距离”；②若点C为数轴上一点（不与点O重合），且，求点C表示的数；(2)点M，N为数轴上的两点．（点M在点N左侧）且，，请直接写出点M表示的数为 ___________． 【答案】(1)①2；②或2(2)或 【分析】（1）①根据绝对距离的定义即可解题；②由题意可求出，再根据绝对距离的定义即可解题；（2）由题意可知，即得出或．再分类讨论：①当M，N都在原点的左侧时，②当M，N都在原点的右侧时和③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时，结合，即可求解； 【详解】（1）①， 即A，B两点的友好距离为2．故答案为：2； ②∵，∴， 又∵点A所表示的数是1，即，∴，即，∴或， 又∵点C不与点O重合，∴，∴点C表示的数为或2； （2）由题可知，∴或． ∵点M在点N左侧，故可分类讨论： ①当M，N都在原点的左侧时，∴． ∵，∴，∴此情况不存在； ②当M，N都在原点的右侧时， ∵，∴，∴此情况不存在； ③当M点在原点的左侧，N点在原点的右侧时， ∵，∴． ∵或，∴或， ∴点M表示的数为或．故答案为：或． 【点睛】本题考查绝对值实际应用，数轴上两点之间的距离．读懂题意，理解绝对距离的概念是解题关键． 13．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）阅读下面材料： 在数轴上2与所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与3所对应的两点之间的距离为； 在数轴上与所对应的两点之间的距离为． 归纳：在数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离或． 回答下列问题： (1)数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为 ；数轴上表示数x和 的两点之间的距离表示为； (2)试说明当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，并求出这个固定值． 【答案】(1)或，(2)这个固定值为5 【分析】本题考查了绝对值的意义与性质：（1）结合题干条件，即可作答； （2）因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，即，再根据绝对值的性质进行化简，即可作答；正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，数轴上表示数x和1的两点之间的距离表示为或， 因为，所以数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为； （2）解：依题意，因为当表示数x的点在与3的对应点之间移动时， 所以，故， 即当表示数x的点在与3的对应点之间移动时，的值总是一个固定的值，且为5． B组（培优拓展） 1．（2023·江苏·七年级期末）若有理数a、b满足等式│b－a│－│a＋b│＝2b，则有理数数a、b在数轴上的位置可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数值上表示的数和绝对值的意义逐一判断分析各项即可． 【详解】解：A.∵a<0，b>0, <，∴， ∴选项不符合题意； B. ∵a>0，b>0, <，∴，∴本选项不符合题意； C. ∵a>0，b>0, >，∴，∴本选项不符合题意； D. ∵a<0，b<0, >，∴，∴本选项符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查数轴，绝对值的意义，解题的关键是正确化简绝对值：正数和0的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数． 2．（2023春·广东河源·七年级校考开学考试）满足的x的值是（    ）． A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先将范围分类，再去绝对值进行运算，最后核对选项即可． 【详解】时，，，舍去； 时， 得，∴或，得，满足，可取； 时，，舍去； 综上所述，故选C． 【点睛】本题考查复杂的含有绝对值的一次方程，遇到绝对值须先判断绝对值内式子正负，在不确定范围的情况下，按照绝对值为0进行未知数范围的分类讨论是常见的办法．对未知数进行范围分类而去除绝对值是解题的关键． 3．（2022秋·山东七年级课时练习）已知有理数a，c，若，且，则所有满足条件的数c的和是（　　） A．﹣6 B．2 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据绝对值的代数意义对进行化简，或，解得或有两个解，分两种情况再对进行化简，继而有两个不同的绝对值等式，和，每个等式同样利用绝对值的代数意义化简，分别得到c的值有两个，故共有四个值，再进行相加，得到所有满足条件的数的和． 【详解】，或，或， 当时，等价于，即， 或，或； 当时，等价于，即， 或，或，故或或或， 所有满足条件的数的和为：．故答案为：D 【点睛】本题主要考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值是它的相反数，正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，解题的关键在于经过两次分类讨论，的值共有4种可能，不能重复也不能遗漏． 4．（22-23七年级上·江苏南京·阶段练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，则此值为 . 【答案】1 【分析】因为P = |1 - 4x| + |1 - 5 x |+|1-6 x| + |1 - 7 x| + |1 - 8 x |的值恒为一常数，即P的值与x无关，因此化简后不含x项，根据绝对值的意义化简得出答案． 【详解】的值恒为一常数，P的值与x无关， , 且且且且，， ==1．故答案为：1． 【点睛】此题考查绝对值的意义和计算方法，理解并掌握绝对值的意义和计算结果为常数的意义是解此题的关键． 5．（23-24七年级上·四川成都·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“绝对关联数”为，，则和关于的“绝对关联数”为 (1)和关于的“绝对关联数”为 ；(2)若和关于的“绝对关联数”为，求的值； (3)若和关于的“绝对关联数”为，和关于的“绝对关联数”为，和关于的“绝对关联数”为，…，和关于的“绝对关联数”为，…①的最小值为 ；②的最小值为 ． 【答案】(1)(2)或(3)①；② 【分析】本题考查了绝对值的应用，解题的关键是掌握绝对值的意义，数轴上点与点的距离． （1）认真读懂题意，利用新定义计算即可；（2）利用新定义计算求未知数； （3）①读懂题意寻找规律，利用规律计算； ②由①得到的规律写出含有绝对值的等式，一一分析到、、、、……、的距离和为的时候两点表示的数的和的最小值，最后得出最小值． 【详解】（1）解：，故答案为：； （2）和关于的“绝对关联数”为， ，，解得：或； （3）（3）①和关于的“绝对关联数”为，， 在数轴上可以看作数到的距离与数到的距离和为， 有最小值，故答案为：； ②由题意可知：， ，，的最小值；， ，，的最小值； 同理，，的最小值； ，的最小值；……； ，的最小值； 的最小值：．故答案为：． 6．（23-24七年级上·山东烟台·期中）阅读理解：数轴上表示有理数的点到原点（有数数0表示的点）的距离，叫做这个有理数的绝对值例如：，它表示数轴上有理数2表示的点到原点0的距离，从数轴上容易发现，有理数2表示的点到原点0的距离是2个单位长度，即（如图1）． 同样的，数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用来表示．例如：数轴上表示的点到表示2的点的距离用表示，从数轴上容易发现，表示-3的点到表示2的点的距离是5个单位长度，即（如图2）． 以上这种借助直观的数轴来解决问题的方法就是研究数学问题常用的“数形结合”的方法．请你根据以上学到的方法完成下列任务解答： 任务一：请根据以上阅读列式并计算（不必在卷面上画数轴）：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离； 任务二：根据绝对值的意义求字母的值： （1）若，求x所表示的有理数．根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x表示的有理数是______．（2）若，求x所表示的有理数． 根据绝对值的意义，“”指数轴上表示x的点到表示_______的点的距离是4个单位长度，x表示的有理数是______． 任务三：设点P在数轴上表示的有理数是x，借助数轴解答下列问题： （1）当x取哪些有理数时，的值最小？最小值是多少？ （2）若，求x所表示的有理数；（3）若，求x所表示的有理数． 【答案】任务一：数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度；任务二：（1）1或5；（2）；3或；任务三：（1）x取与4之间（包含和4）的有理数时，+的值最小；最小值是5；（2）x所表示的有理数是或；（3）x所表示的有理数的值是 【分析】此题主要考查了数轴上两点间的距离的求法，以及相反数和绝对值的含义和求法，熟练掌握数形结合是解题关键． 任务一，阅读：数轴上表示m和表示n的两个有理数之间的距离可以用表示， ，可求出． 任务二∶（1）数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度，x有两个值；（2）数轴上表示必的点到表示的点的距离是4个单位长度，必有两个值，计算即可． 任务三∶（1）指数轴上表示必的点到表示4和的两点的距离的和； （2）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离的和等于8；(3) 指数轴上表示必的点到表示2和-3的两点的距离相等． 【详解】任务一：， 所以，数轴上表示2的点和表示的点之间的距离为9个单位长度； 任务二：（1），数轴上表示x的点到表示3的点的距离是2个单位长度， ，，故答案为：1或5 （2）， 数轴上表示x的点到表示-1的点的距离是4个单位长度， ，，故答案为：；3或 任务三：（1）指数轴上表示x的点到表示4和的两点的距离和， x取与4之间（包含和4），的值最小； 最小值是； （2）①当点P在和4之间时，， ∴点P表示的数不在和之间， ②当点P在左边时，，， ③当点P在4右边时， ， ， 所以x的值是或， （3）即数轴上点P到2表示的点的距离与到表示的点的距离相等， 2到的距离是5个单位长度， ，，所以x的值是． 7．（2023·江苏苏州·七年级统考期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简，当时，；当时，；当时，．求解下列问题： (1)当时，值为______，当时，的值为______，当x为不等于0的有理数时，的值为______；(2)已知，，求的值； (3)已知：，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为______（请用含n的式子表示） 【答案】(1)，1，(2)或3(3) 【分析】（1）根据绝对值的定义求解即可； （2）已知，，所以，，一正两负，根据（1）的结论解即可； （3）个正数，负数有个，式子中有个正1，个，相加得答案． 【详解】（1）解：，，，故答案为：，1，． （2）， ，，，，的正负性可能为： ①当为正数，，为负数时：原式； ②当为正数，，为负数时，原式； ③当为正数，，为负数时，原式，原式或3． （3）∵有个正数，负数的个数为， ．故答案为：． 【点睛】本题考查的是数字的规律，有理数的混合运算，解题的关键是一个不等于0的数除以它的绝对值等于1或，将题目转化为由几个正1和几个的问题． 8．（23-24七年级上·山东临沂·期中）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示6与的差的绝对值，也可理解为6与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】(1)若，则 ；(2)利用数轴，若，找出所有符合条件的整数x； (3)由以上探索，对于有理数x，使，写出符合条件的x的值． 【答案】(1)8或(2)，，，0，1，2(3)或4 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握数轴上的两点间的距离，绝对值，分类思想，化简绝对值是解题的关键． （1）根据题意，或，计算即可． （2）根据题意，，确定，确定整数解即可． （3）分，，三种情况，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得或，解得或，故答案为：8或． （2）解：当时，，此时，符合题意的整数有，，，0，1，2； 当时，，不是常数，此时，不符合题意； 当时，，不是常数，此时，不符合题意； 故满足题意的x的整数解为，，，0，1，2． （3）解：当时，，此时，不符合题意 当时，， ∵，∴解得，符合题意； 当时，， ∵，∴解得，符合题意；故x的值为或4． 9．（23-24七年级上·广东广州·期中）阅读与运用：若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点间的距离表示为．如数轴上表示4和-1的两点之间的距离是，利用上述结论，回答以下问题：如图，在数轴上A、B两点对应的数分别为、20，数轴上有一动点P．      (1)若点P在A、B两点之间，则点P到A、B两点的距离的和为___________． (2)如图，设点P对应的数为x，数轴上一点Q在点P的右侧，且与点P始终保持相距18个单位长度，当x取何值时，点A与点P的距离、点B与点Q的距离的和为48？ (3)结合对前面问题的思考，若，求的最大值． 【答案】(1)60(2)或5(3)7 【分析】（1）根据数轴上两点的距离公式即可求解；（2）分在点左边，、都在、中间，点在、中间，在点右边，和、都在点右边四种情况讨论，列出相应方程即可求解；（3），可推出，进而求出即可求解． 【详解】（1）∵，∴点到、两点的距离的和为60，故答案为：60； （2）若在点左边，则点与点的距离为， 点与点的距离为，由题意得：解得：， 若、都在、中间，此时距离和为，不符合题意， 若点在、中间，在点右边， 则点与点的距离为，点与点的距离为， 由题意得：解得， 若、都在点右边，此时仅点与点的距离，不符合题意： 综上所述，当或5时，满足题意． （3）由前面可知，， ∵已知 当时，有最大值：综上所述，的最大值为7． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，关键是根据、相对的位置关系分类． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 第 3 页 共 31 页 学科网（北京）股份有限公司 $$