重难点01 数轴上的动点问题 专项讲练-2024年小升初数学无忧衔接（2024新教材通用版）

重难点01. 数轴上的动点问题 专项讲练 1.学会用动态思维、方程的思想去分析问题和解决问题； 2.学会抓住动中含静的思路（动时两个变量之间的关系，静时两个变量之间的关系）； 3.掌握数轴上动点的移动规律，结合分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。 题型探究 题型1、单动点问题 2 题型2、单动点问题（规律变化） 4 题型3、双动点问题（匀速） 7 题型4、双动点问题（变速） 9 题型5、多动点问题 13 题型6、动点中的新定义问题 16 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 30 数轴动点问题属于各版本七年级上册必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。 1.知识储备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b， （1）则AB两点间的距离；（2）AB的中点对应的数为：。 2.数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数： 一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1、 单动点问题 例1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（）根据数轴两点间的距离即可求解；（）根据数轴两点间的距离即可求解； （）根据数轴上点的运动特征即可求解；此题考查了数轴，解题的关键是熟练掌握数轴上的特点． 【详解】（1）设表示的数为， ∵点到点、点的距离相等，∴，解得：， ∴点表示的数为，故答案为：； （2）∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴，∴运动时间，故答案为：； （3）∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴运动过程中点表示的数是，故答案为：． 变式1.（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，线段中点， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可．理解题意，进行分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且，，， 点对应的数是，故①错误； 由题意得：（秒），点到达点时，，故②正确； 当点在点右边时， ，，，（秒）， 当点在点左边时， ，，，（秒）， 综上，时，或；故③错误； ，始终为，的中点，，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变，故④正确； 所以，上列结论中正确的有2个，故选：C． 变式2．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P．    (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数；(3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值 【答案】(1)(2)(3)的值是或或或 【分析】（1）根据千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向，即可得到答案；（2）根据速度时间路程，计算出小时行走的路程，再减去2即可得到答案； （3）分四种情况：从到，当小明在点的左边时；从到，当小明在C点的右边时；返回时小明在C点的右边；返回时小明在点的左边，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：千米，且一个单位长度表示，点为坐标原点，从到为正方向， 点所表示的有理数是； （2）解：，时，点所表示的有理数是； （3）解：从到，当小明在点的左边时，， 从到，当小明在C点的右边时，， 之间的距离是，点所表示的有理数是，点表示的数为， 当返回时小明在C点的右边时，， 当返回时小明在点的左边时，， 综上所述，当小明距离地时，的值是或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴，熟练掌握行程问题中速度、时间和路程的关系是解此题的关键． 题型2、单动点问题（规律变化） 例1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查数字的变化规律，分别求出部分点表示的数，发现规律为每移动四次相当于向左移动4个单位长度，再由，可得，即为在数轴上表示的数． 【详解】解：∵表示的数为，表示的数为，表示的数为0，表示的数为，表示的数为，.....， ∴每移动四次相当于向左移动4个单位长度， ∵，∴， ∴在数轴上表示的数为，故选：B． 变式1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】 【分析】观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动，然后再观察每两次平移，点A实际移动的距离，然后计算，即可解答． 【详解】解：观察发现奇数次移动为向左移动，偶数次移动为向右移动； 第一次向左平移一个单位，第二次向右平移两个单位，实际向右平移个单位； 第三次向左平移三个单位，第四次向右平移四个单位，实际向右平移个单位； 第次向左平移一个单位，第次向右平移两个单位，实际向右平移单位；则第100次A点距原点距离为：． 即当时，点与原点的距离是个单位．故答案为： 【点睛】本题是一道规律型试题，通过观察、思考寻找解题思路，其中找出点表示的数的变化规律是解决本题的关键． 变式2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…….(1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次；(2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s；(3)第n次移动后，点Q运动时间为______s.(4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 【答案】(1)4(2)4，7(3)(4)能，47.5秒或52.5秒 【分析】（1）根据路程=速度时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解; （2）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度时间求出路程，进而求得时间; （3）根据（1）（2）的规律，根据左减右加列式计算即可求解； （4）分点在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程速度计算即可得解． 【详解】（1）解：,点走过的路程是：,所以共移动4次故答案为：4． （2）解：处于：；点走过的路程是, (秒) 故答案为：4，7． （3）解：第次移动后，点运动时间为 （4）解：①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得 则第一次与A重合需要时间是：         ②当点A在原点左边时，设需要第n次到达点A，则，解得      则第一次与A重合需要时间是： 综上，第一次与A重合需要时间47.5s或52.5s． 【点睛】本题主要考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键.分情况讨论求解，弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键. 题型3、双动点问题（匀速） 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 【答案】(1)；(2)或； (3)点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 【分析】（）根据两点间的距离公式即可求解； （）分两种情况：点在点的左边，；点在点的右边，进行讨论即可求解； （3）分两种情况：点在点的左边，点在点的右边，进行讨论即可求解； 本题考查了两点间的距离和数轴，解题的关键是熟练掌握数轴及“分类讨论”的数学思想． 【详解】（1），故点所对应的数是； （2），点在点的左边，， 点在点的右边，，故点所对应的数是或； （3）点在点的左边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是； 点在点的右边，（秒）， 点对应的数是，点对应的数是， 综上可知：点对应的数是，点对应的数是或点对应的数是，点对应的数是． 变式1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．    【答案】(1)， (2)①点M对应的数为：，点N对应的数为：；②的长度与无关，长度为 【分析】本题是数轴上的动点问题，涉及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示数等知识，解题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式．（1）由已知、结合数轴，根据数轴上两点之间的距离即可求解； （2）①由题意可得、的长度，从而由点、对应的数即可求出点、对应的数；②根据题意可得点对应的数，进而得到的长度，根据结果即可作出判断． 【详解】（1）解：点对应的数为，，点对应的数为：， 又，点对应的数为：，故答案为：，； （2）①由动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， ，， 点对应的数为：，点对应的数为：； ②的长度与无关，理由如下： 由于， 点对应的数为：， 则， 即的长度与无关，长度为． 变式2．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 【答案】(1)在数轴上把数表示见解析，用“＜”将它们连接起来为 (2)①6；②(3)①甲、乙两个小球之间的距离为3；②甲、乙两个小球之间的距离为 【分析】（1）根据数轴的点的表示解答即可；（2）①根据题意找出对称轴即可；②根据题意列出方程即可；（3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2，据此回答即可；②设运动的时间为t，根据题意列出代数式即可． 【详解】（1）如图所示．      用“＜”将它们连接起来为． （2）由题意得：折叠点与数轴的交点表示的数为， ，所以表示的点与表示6的点重合，故答案为：6， 设点A表示的数为x，则点B表示的数为，可得，解得：故答案为：； （3）①当时，小球甲在的位置表示的数为，小球乙在的位置表示的数为2， 所以甲、乙两个小球之间的距离为． ②运动前，甲、乙两个小球之间的距离为． 当时，甲、乙两个小球之间的距离为； 当时，甲、乙两个小球之间的距离为．所以甲、乙两个小球之间的距离为． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，一元一次方程的应用，利用数轴比较有理数的大小，明确对折点所表示的数以及数轴上两点之间距离的计算方法是解决问题的关键． 题型4、双动点问题（变速） 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 【答案】(1)(2)(3)或或或 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点距离． （1）由点表示，点表示，点表示，得，，，即可得动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要，可知在上运动时，表示的数为，表示的数为，有，即可解得当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，，②当时，，③当时，，④当时，，⑤当时，，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解：点表示，点表示，点表示， ，，， ，动点从点运动至点需要； （2）从到需要，从到需要， 在上运动时，表示的数为，表示的数为， ，解得，当，两点相遇时，的值为； （3）①当时，在上，在上，表示的数为表示的数为 ，解得， ②当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为 ，解得； ③当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； ④当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，方程无解； ⑤当时，在上，在上，表示的数为，表示的数为， ，解得； 综上所述，的值为或或或．故答案为：或或或． 变式1．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    【答案】(1)(2)，(3)秒或秒或秒或秒 【分析】本题考查了绝对值的非负性、列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，熟练根据题中的等量关系列方程求解是解此题的关键．（1）根据绝对值和平方式的非负性得出和的值即可； （2）根据点的运动列出代数式即可；（3）分情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ，，解得：； （2）解：由（1）可得：，点表示的数为12，点表示的数为， 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒， 点在数轴上对应的数为：；点在数轴上对应的数为：，故答案为：，； （3）解：设当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒， 相遇前：，解得： 相遇后：相遇的时间为：（秒）， 相遇点为， 点在原地停留4秒时，，解得：； 由题意得：当相遇后，点在数轴上对应的数为：，点在数轴上对应的数为：， 当在左侧时，，解得：， 当在右侧时，，解得：， 故当之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒或秒或秒． 变式2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 【答案】(1)，，(2)点C表示的有理数为或；(3)t的值为2或或17． 【分析】（1）根据平方与绝对值的和等于0，则每一项都等于0，求出a、b，从而求出线段的长； （2）设出点C表示的有理数为c，根据位置不同进行分类讨论，根据题意中给出的等式运算，得出结果； （3）根据题意分情况讨论，结合，列出每种情况下的等式，并对t的取值范围进行说明，从而进行判断取舍，最终得出所有满足的结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ；故答案为：，，； （2）解：设点C表示的有理数为c，根据题意得：， 当点C在点A的左侧时，， ∴，解得：； ∵，，∴点C不可能在A、B之间， 当点C在点A的右侧时，， ∴，解得：； 综上，点C表示的有理数为或； （3）解：由（1）得，， ∵，∴当时，点P到达点O，当时，点Q到达点O，由题意得：， 当点P、Q都在点O左侧时，， ，，∴，解得：； 当点P点O右侧，点Q在点O左侧时，， ，，∴，解得：(舍)； 当点P点O右侧，点Q在点O与点M之间时，， ，，∴，解得：； 当点P点O右侧，点Q在点M右侧时，， ，，∴，解得：； 当点P点O重合时，，，不合题意； 当点Q点O重合时，，，不合题意； 当点Q点M重合时，，，不合题意； 综上，t的值为2或或17． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值与一元一次方程的应用，是一个综合问题，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，进而求解． 题型5、多动点问题 例1．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 【答案】(1)，，；(2)或；(3)的值不随着时间的变化而变化，值为． 【分析】（）根据绝对值及平方的非负性，求出，的值，从而求出线段的长； （）设P对应的数为y，再由，可得出点对应的数； （）根据，，的运动情况即可确定，的变化情况，即可确定的值． 【详解】（1）∵，∴， ，解得：，， ∴线段的长为：，故答案为：，，； （2）由（）得：，∴，设对应的数为，由图知： 在右侧时，不可能存在点； 在左侧时，，解得: ， 当在、中间时，，解得: ，故点对应的数是或； （3）的值不随着时间的变化而变化，理由如下：秒钟后，点位置为：， ∴点的位置为: ，点的位置为: ， ∴， ∴，∴的值不随着时间的变化而变化，值为． 【点睛】此题考查了非负数的应用，数轴的应用，数轴上的距离，理解数轴上点的距离是解题的关键． 变式1．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，； (2)当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度；存在，或． 【分析】（）利用两点间的距离为即可求出点表示的数，根据动点则可求出表示的数； （）利用数轴上两点间的距离即可求解； 利用数轴上两点间的距离和整式化简不含则有系数为零即可求解； 此题考查了数轴和绝对值，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间的距离和绝对值化简及其应用． 【详解】（1）设点表示的数为， ∵是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴，解得：，∴点表示的数是， ∵动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数是，故答案为：，； （2）同理，点表示的数是， 依题意，得，整理得：，解得或， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度； ②存在，理由：由题意得：点表示的数是：， ∴，， 当时，即，∴， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得； 当时，， 若的值与无关，则，解得 ∴综上可知：当或时，的值与无关． 变式2．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)的值不会随着t的变化而变化，定值是2 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离．正确的表示数轴上两点之间的距离是解题的关键．（1）由，可知在之间，则，，即，计算求解即可；（2）由题意知，，即，计算求解即可；（3）由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，则，，根据，进行作答即可． 【详解】（1）解：∵，∴在之间，则，， ∴，解得，，∴x的值为1． （2）解：由题意知，， ∵，∴，即，或，解得或． （3）解：的值不会随着t的变化而变化； 由题意知，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴，∴的值不会随着t的变化而变化，定值是2． 题型6、动点中的新定义问题 例1．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”；(2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是(2)0或(3)2；1(4) 【分析】（1）根据已知条件及新定义即可判定；（2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值；（3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可；（4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，，，，， 原点是“，2关联点”，故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，，， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，，此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，，此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或，故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒，则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”，是正整数），即有，， 是正整数，而，为3的约数，，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1，故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上，设点表示的数为，则 ，，，， ，，， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ．即整数、满足的数量关系是． 变式1．（2023·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由． 【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）根据幸福中心的定义即可求解． 【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2； （2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心． 故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）； （3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6， 故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心． 变式2．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． 【答案】(1)， (2)；； (3)存在t为4或，使等式成立 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据材料阅读，即可求解；（2）根据材料阅读，可表示和，即可求解；（3）分两种情况：当点Q到达点A之前时，当点Q到达点A返回时，结合，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，∵，∴，故答案为：， （2）解：∵，∴，∵∴， ∴，∴； （3）解：当点Q到达点A之前时， ∵∴， ∵∴，∴， ∵，∴，         解得：； 当点Q到达点A返回时，此时，∴ ∵，∴，∵∴   ∴                              ∴存在t的值为4或，使等式成立． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，根据两点间距离进行计算即可判断；利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，由题意求出的长，再利用路程除以速度即可判断；分两种情况，点在点的右边，点在点的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断；根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 【详解】解：∵已知(在的左侧)是数轴上的两点，点对应的数为，且， ∴对应的数为，故正确； ∵，∴点到达点时，，故是正确的； 当点在点右边时，∵，∴，∴； 当点在点左边时，∵，∴， ∴，∴时，或，故错误； 在点的运动过程中，当点在点右边时， ； 在点的运动过程中，当点在点左边时， ； ∴在点的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故错误；∴正确结论有，故选：． 2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】数轴上点的移动规律是“左加右减”，依据规律计算即可． 【详解】解：由题可得：==，故答案选：B． 【点睛】本题考查了数轴与图形的变化，数轴上点的移动规律是“左加右减”，把数和点对应起来，数形结合是解答本题的关键． 3．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2，列式计算即可． 【详解】根据题意，M表示的数为4t-2，N表示的数为6-3t，则MN=|6-3t -4t+2|，BM=6-4t+2， ∴8-7t=4-2t或7t-8=4-2t，解得t=或，故选C． 【点睛】本题考查了数轴上两动点间的距离，用定数，运动距离表示动点表示的数是解题的关键． 4．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 【答案】(1)A对应的数为-10，B对应的数为2(2)①表示的数是，表示的数是； ②当秒或秒时． 【分析】（1）根据点C对应的数为，有OC=6，根据BC=4，可得OB=OC-BC=6-4=2，即点B表示的数是2；根据，可得OA=10，即问题得解； （2）①根据动点P、Q运动特点可得，，根据M为的中点，，可得，，结合A对应的数为-10，C表示的数是6，即可求解；②根据（1）中，表示的数，即可得，，即有，结合，可得，即可作答． 【详解】（1）∵点C对应的数为，∴OC=6， ∵，∴OB=OC-BC=6-4=2，∴点B表示的数是2， ∵，∴OA=AB-OB=12-2=10， ∴根据点A在O点左侧，可得点A表示的数是-10，即A对应的数为-10，B对应的数为2； （2）①∵动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒个单位和个单位的速度，时间是， ∴，， ∵M为的中点，在上，且，∴，， ∵A对应的数为-10，C表示的数是6，∴表示的数是，表示的数是； ②∵表示的数是，∴，∵表示的数是，∴， ∵B对应的数为2，∴OB=2，∴， ∵，∴， 当时，得， 当时，得， 故当秒或秒时． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题、在数轴上表示有理数以及数轴上两点之间的距离等知识，得出是解答本题的关键． 5．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)(2)存在，x的值为2或(3)24 【分析】（1）根据题意可得，利用中点解题； （2）此题分为三种情况，当P在之间时，当点P在B的右边时，当点P在A的左边时，分别列出方程求解即可；（3）设经过x分钟点A与点B重合，根据题意得：进而求出即可． 【详解】（1）解：∵A、B两点之间的距离为，P到A、B两点的距离相等， ∴，∴点P对应的数为； （2）解：①当P在AB之间时，． ②当P在A点左侧时，，解得：； ③当P在B点右侧时，，解得：， 故当点P对应数x的值为2或时，点P到A、B两点距离之和为6； （3）解：设经过x分钟点A与点B重合，由题意可得，点P运动的时间即为点A追上点B的时间， ∴，解得，∴， 故当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是24． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解此题的要点在于根据数轴得出点的位置． 6．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)G；－4或－16(2)1.5，2.25，3，6.75，9，13.5 【分析】（1）根据美好点的定义，结合图2，直观考察点E，F，G到点M，N的距离，只有点G符合条件．结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化．（2）根据没好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况，须区分各种情况分别确定P点的位置，进而可确定t的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，GM＝18，GN＝9，GM＝2GN，，只有点G符合条件，答案：G． 结合图2，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点N的距离是到点M的距离2倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和N之间靠近点M一侧应该有满足条件的点，进而可以确定－4符合条件．点M的左侧距离点M的距离等于点M和点N的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是－16．答案－4或－16； （2）解：根据美好点的定义，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点分6种情况， 第一情况：当P为【M，N】的美好点，点P在M，N之间，如图1， 当MP＝2PN时，PN＝3，点P对应的数为2－3＝－1，因此t＝1.5秒； 第二种情况，当P为【N，M】的美好点，点P在M，N之间，如图2， 当2PM＝PN时，NP＝6，点P对应的数为2－6＝－4，因此t＝3秒； 第三种情况，P为【N，M】的美好点，点P在M左侧，如图3， 当PN＝2MN时，NP＝18，点P对应的数为2－18＝－16，因此t＝9秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点P在M左侧，如图4， 当MP＝2MN时，NP＝27，点P对应的数为2－27＝－25，因此t＝13.5秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M左侧，如图5， 当MN＝2MP时，NP＝13.5，点P对应的数为2－13.5＝－11.5，因此t＝6.75秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点P在M，N左侧，如图6， 当MN＝2MP时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒； 第七种情况，N为【P，M】的美好点，点P在M左侧， 当PN＝2MN时，NP＝18，因此t＝9秒， 第八种情况， N为【M，P】的美好点，点P在M右侧，当MN＝2PN时，NP＝4.5，因此t＝2.25秒， 综上所述，t的值为：1.5，2.25，3，6.75，9，13.5． 【点睛】本题考查实数与数轴、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7．（22-23七年级下·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）    (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由． 【答案】(1)(2)点C在原点位置(3)不变， 【分析】（1）根据绝对值和偶次幂的非负性，列方程组求解即可； （2）根据题意列关于t的方程，解方程进而即可求解； （3）表示出当时，的值就可得的关系式，即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴，∴，∴．故答案为：． （2）根据题意得，解得：，，∴点C在原点位置． （3）当时，， ∴， ∴的值不会随时间的变化而变化．∴． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 8．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】(1)，9(2)4(3)能，需要294秒 【分析】（1）根据左减右加列式计算即可得解，根据路程=速度×时间求出路程，进而求得时间；（2）根据左减右加列式计算即可得解；（3）先求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解． 【详解】（1）解：Q处于：； ∴点Q走过的路程是 秒，故答案为：，9． （2）解：Q处于：； ∴7秒后动点Q所在的位置是4； （3）解：设需要第次到达点，则，解得， 动点走过的路程是 ， 时间秒．即需要294秒． 【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．弄清楚跳到点处的次数的计算方法是关键． 9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________； （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________． （4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度． 【答案】【小问1】9，  【小问2】或2   【小问3】，，    【小问4】或 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，并结合题意求得对应点的位置和中点位置， （1）根据题目给定的距离公式即可求得； （2）利用点P与点A的位置关系或两点表示的数之差的绝对值即可求得答案； （3）点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动即可写出点A和点B在t秒后所在位置的点表示的数，结合题目所给中点表示方法即可解得答案； （4）根据相遇前与相遇后的等量关系分类讨论列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，∴， 点M在数轴上所对应的数为．故答案为：9， （2）∵若A、P两点间的距离，点A在数轴上所对应的数为， 当P点在A点左边时，则P点的为：， 当P点在A点右边时，则P点的为：，故答案为：， （3）点A运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为：， 此时A、B两点的中点M表示的数为：． 故答案为：，， （4）设它们按上述方式运动，A、B两点经过t秒会相距5个单位长度， 当点A在点B左侧时：解得； 当点A在点B右侧时：解得； 答：它们按上述方式运动，A、B两点经过秒或秒会相距5个单位长度． 10．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 【答案】(1)1(2)或4(3)点P所经过的总路程是个单位长度 【分析】（1）若点P对应的数与、3差的绝对值相等，则点P到点A，点B的距离相等． （2）根据当P在A的左侧以及当P在B的右侧分别求出即可； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据点A比点B运动的距离多4，列出方程，求出a的值，即为点P运动的时间，再乘以点P运动的速度，可得点P经过的总路程． 【详解】（1）∵，2的绝对值是2， ，的绝对值是2，∴点P对应的数是1． （2）当P在之间，（不可能有） 当P在A的左侧，，得 当P在B的右侧，，得 故点P对应的数为或4； （3）设经过a分钟点A与点B重合，根据题意得：，解得．则． 答：点P所经过的总路程是个单位长度． 【点睛】此题考查动点问题，解题关键是正确表示点和点直接的距离，以及根据数量关系列方程求解． B组（培优拓展） 1．（2023·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】设C点在数轴上对应的数为，根据题意可得，求得；根据题意分时间段讨论两小球的位置，分别求解即可． 【详解】解：设C点在数轴上对应的数为，则， 当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板，则 解得，即C点在数轴上对应的数为0，①正确； 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点， 当时，N小球运动的距离为，刚好到达点，M小球运动的距离为 当10＜t＜25时，N小球从点向点开始运动，此时， 点表示数的为，②正确； 当时，N小球运动的距离为，M小球运动的距离为 当25＜t＜40时，N小球从点向点开始运动，M小球向点运动 则，，，③错误； 当时，，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，， 由题意得，，解得，不符题意； 当时，，当时，， 由题意得，，解得，此时三点重合，成立； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； 当时，，由题意得，，解得，不符题意； ④正确 故选：D 【点睛】此题考查了数轴的应用，涉及了数轴上两点之间的距离以及数轴上的动点，解题的关键是理解题意，掌握题中的等量关系，分时间段进行讨论求解即可． 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 【答案】11或40 【分析】设运动时间为秒，分，，和，四种情况分类讨论，求解即可。 【详解】解：由题意，得：，，， 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 点从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 从点运动到点所用的时间为：秒； 设运动时间为秒时，P、Q两点到点C的距离相等， ①当时，依题意，得： ， 解得（舍去）； ②当时，依题意，得： ， 解得； ③当时，依题意，得： ， 解得（舍去）； ④当时，依题意，得： ， 解得． 故运动时间为11或40秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 故答案为：11或40． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，正确的列出方程，是解题的关键． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用； 根据非负数的性质求出，，设运动时间为t，然后分两种情况：①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时，②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时，分别判断出P、Q的位置，列方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴B表示的数是9，C表示的数是5， 设运动时间为t， ①当P、Q都在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得，P、Q在上， ∴， 解得：； ②当点P在点B右侧，点Q在点B左侧，、两点到点的距离相等时， 由题意得：， 解得：， 故答案为：或． 4．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值． 【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1， x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意； 由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m． ∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22， ∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意； ∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404， 故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数． 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 【答案】探索1：P从点A运动至点B的时间为秒；探索2：P表示的数为；探索3：动点P运动的时间是秒或秒． 【分析】本题考查数轴上动点计算问题及数轴上两点间距离问题，根据时间等于路程除以速度结合数轴上两点间距离列式求解即可得到答案； 【详解】解：探索1：∵点A表示，点B表示，∴，， ∵P在段初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的一半， ∴P在段速度为1个单位长度/秒， ∴P从点A运动至点B的时间为：（秒）； 探索2  ∵P的初始速度为2个单位长度/秒，P在段速度为初始速度的两倍， ∴P在段速度为4个单位长度/秒， 由探索1可得：P在段运动时间为：秒，∴， ∵点B表示，∴P表示的数为：， 探索3：设t秒后， ①当P在上时，∵，∴， ∵，∴，∴，∴（秒）； ②当P在上时∵，∴， ∵，∴，∴（秒）．综上：动点P运动的时间为秒或秒． 6．（2023·山东·七年级统考期中）问题一： 如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为． (1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？ (3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？ 问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为． (4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由． (5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？ 【答案】(1)不成立，把点C向右移动一个单位长度时，成立(2)把点C向右移动x个单位长度 (3)①将点C向右移动x个单位长度，②点B应该向左移动x个单位长度(4)成立，见解析(5) 【分析】（1）根据将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8即可解答； （2）根据（1）中各数值的变化即可得出结论；（3）①根据原点向左移动就是数轴向左移动解答； ②根据（2）中的结论即可解答．（4）当数轴的原点向左拖动x个单位长度时，则点A表示，点B表示，点C表示，再代入检验即可； （5）由（4）可知，当时，都能使成立．即可得出结论． 【详解】（1）不成立． ∵将数轴的原点向左拖动1个单位长度则点A表示3，点B表示6，点C表示8， ∴不成立．把点C向右移动一个单位长度时，成立； （2）由（1）可知，将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该把点C向右移动x个单位长度； （3）①∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，． ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，， ∴，∴若成立，则将点C向右移动x个单位长度； ②∵点A表示m，点B表示n，点C表示t，． ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，，，， 当时：， 即：点B应该向左移动x个单位长度时，成立． （4）成立．∵数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5， ∴将数轴的原点向左拖动x个单位长度时，点A表示，点B表示，点C表示， ∴，与，∴成立； （5）由（4）可知，点A表示m，点B表示n，点C表示t，当时，都能使成立． 【点睛】本题考查的是数轴上点的平移，熟练掌握点在数轴上的平移规律：左减右加，是解答此题的关键．注意原点移动时，等同于数轴上的点相对于原点往相反的方向移动． 7．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或20 (2)9 (3)存在，6或 【分析】本题考查数轴上点的表示，用点正确地表示出数轴上线段的长，并建立方程是解题的关键， （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． （3）设运动的时间为a秒，点B运动到点C和点D所对应的时间即可得经过对应时间．设点P所对应的数为m，则．可得到、、长度，再分P与C相遇前后求即可． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点A的右侧时，，解得． 故答案为：或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：， 点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前， 则， 解得， 又因为点P的速度为3单位每秒， 所以点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后， 因为点N速度比点P速度快， 所以此种情况不存在． 故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒， 因为点B运动到线段上， 则， 解得， ， 解得， 则． 设点P所对应的数为m， 由点P是线段上一点得，． 则，， 或． 当时， ，整理得， 又∵， ∴． 当时， 同理可求得， 又因为， 所以． 故线段的长为：6或． 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】 （1）平移运动 如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点． ①______（用含的代数式表示）； ②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数； ③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换 ①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 【答案】（1）①；②；③；（2）①；②；③P对应的数为或．迁移拓展：问题见解析，表示的数为． 【分析】（1）①根据用数轴上的点表示有理数的方法即可求解．②根据题意先列式再计算可求解．③先列式，再利用规律求解即可； （2）①根据翻折的性质结合相反数的特点即可求解．②根据数轴上两点之间的距离先求解折痕对应的数，再列式即可求解．③设折点P对应的数为，则对应的数为，利用点与点相距2个单位长度，再建立方程即可求解． 迁移拓展：仿照（1）（2）设置问题，再解答即可． 【详解】解：（1）①数为； ②点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，点表示的数为； ； ③由题意可得： ； （2）①在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系为； ②由题意可得：； ③设折点P对应的数为，则对应的数为， ∵点与点相距2个单位长度， ∴，即， ∴或， 解得：或， ∴P对应的数为或． 迁移拓展：问题如下： 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点，并且线段的长度为5，请直接写出点表示的数． 解答如下： 点对应的点落在点的右边，把向右平移2个单位得到点， 设在数轴上表示的数为，则对应的数为， ∴， ∴， ∴， 点为，故表示的数为． 【点睛】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，相反数的含义，整式的加减运算的应用，绝对值方程与一元一次方程的应用，熟练的表示折痕点与折后对应点对应的数是解本题的关键． 9．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示） ②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2)①；②存在，2或16 【分析】本题主要考查了有理数与数轴、数轴上两点之间的距离、一元一次方程的应用等知识点，理解 “和谐点”的定义，熟练掌握解一元一次方程，准确地用代数式表示出数轴上的点，根据“和谐点”以及分类讨论思想是解题的关键． （1）根据“和谐点”的定义求解即可； （2）先由非负数的性质得，进而得点A所表示的数为，点B所表示的数为，点C所表示的数为4．①依题意得点P从点A运动到点B所用的时间为3秒，点P从点B运动到点C所用的时间为1秒，进而可得点P表示的数；再由点Q从点D运动到点C所用的时间为4秒，点Q从点C运动到点B所用的时间为8秒，进而可得点Q表示的数；②根据点C是的和谐点，得，且点C在点P，Q之间，因此有以下三种情况：a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为，此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为，则，进而得，据此求出t即可；b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为,则，，进而得，据此求出t即可；c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点，点P所表示的数为，点Q所表示的数为，则，进而得，据此求出t即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点M，N表示的数分别为，点P是的和谐点， ∴， 设点P所表示的数为p,则, ∴，解得：， ∴点P所表示的数为3； ∵点Q是的和谐点， ∴， 设点Q所表示的数为q,则， ∴，解得， ∴点Q所表示的数为． 故答案为：3；． （2）解：∵， ∴解得：， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为， ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数为4， 又∵点D所表示的数为12， ∴点A，B，C，D在数轴上为位置如下图所示： ∵点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度， ∴点C所表示的数，点B，C之间的距离， ①∵动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动， ∴点P从点A运动到点B所用的时间为：（秒）， 又∵点P在线段上的运动速度为（个单位/秒）， ∴点P从点B运动到点C所用的时间为（秒）， ∴点P从B运动到C的过程中，点P表示的数是：，其中； ∴点Q从点D运动到点C所用的时间为：（秒）， ∵点Q从点C运动到点B期间速度变为原来的一半， ∴点Q从点C运动到点B期间的速度为：（个单位/秒）， ∴点Q从点C运动到点B所用的时间为：秒）， ∴点Q从C运动到B的过程中，点Q表示的数是：,其中． 故答案为：． ②存在； ∵点C是的和谐点， ∴，且点C在点P，Q之间， ∴有以下三种情况： a.当点P在点A，B之间时，此时，点P所表示的数为， 此时点Q在点C，D之间，点Q所表示的为：， ∴, ∴，解得：； b.当点Q在点C，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：， 当时，点Q正好到达点C，即点Q于点C重合，不合题意，舍去； c.当点Q在点A，B之间时，此时，点P已过C点， ∴点P所表示的数为，点Q所表示的数为， ∴， ∴，解得：． 综上所述：t的值为2或16秒． 10．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值．(3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 【答案】(1)当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； (2)当，两点相遇时，运动时间的值为秒； (3)当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找到相等关系是解题的关键． （1）由点，，，表示的数，可求出，及的值，利用时间路程速度，可求出点到达点及点到达点所需时间，结合，的出发点、运动速度、运动方向及运动时间，可找出当时，点，表示的数，进而可求出的长； （2）当时，点表示，点表示，由点，相遇时两点表示的数相同，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出结论； （3）由定点与，两点相距的长度相等，可得出点表示6，利用时间路程速度，结合（1）可求出点到达点及点到达点所需时间，分情况讨论，可得出关于的含绝对值的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：点表示，点表示0，点表示12，点表示20， ，，． （秒，（秒， 当时，点表示，点表示， ． 答：当时，，两点在数轴上相距16个单位长度； （2）解：由题可知，M从至的时间为秒，从到为秒， ∴M、N两点相遇在线段上于P处， 当时，点表示，点表示， 根据题意得：， 解得：． 答：当，两点相遇时，运动时间的值为秒； （3）解：“折线数轴”上定点与，两点相距的长度相等， 点表示． （秒），（秒），（秒），（秒）， 当时，即点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即相遇前，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即相遇后且点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：； 当时，即点在上，点在上，点表示，点表示， ，． 根据题意得：， 解得：(舍去)； 答：当秒或秒或秒时，、与点相距的长度之和等于6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01. 数轴上的动点问题 专项讲练 1.学会用动态思维、方程的思想去分析问题和解决问题； 2.学会抓住动中含静的思路（动时两个变量之间的关系，静时两个变量之间的关系）； 3.掌握数轴上动点的移动规律，结合分类讨论、数形结合等数学思想解决问题。 题型探究 题型1、单动点问题 2 题型2、单动点问题（规律变化） 4 题型3、双动点问题（匀速） 7 题型4、双动点问题（变速） 9 题型5、多动点问题 13 题型6、动点中的新定义问题 16 培优精练 A组（能力提升） 20 B组（培优拓展） 30 数轴动点问题属于各版本七年级上册必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素养要求较高。 1.知识储备：数轴上A、B两点对应的数分别为a、b， （1）则AB两点间的距离；（2）AB的中点对应的数为：。 2.数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数： 一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“—”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1、 单动点问题 例1．（23-24七年级上·山东枣庄·期中）如图，已知数轴上的点表示的数为，点表示的数为，点到点、点的距离相等，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为（大于）秒．(1)点表示的数是______；(2)当______秒时，点到达点处？ (3)运动过程中点表示的数是______（用含字母的式子表示）．    变式1.（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，已知 A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为 ，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是4；②点P到达点B时，；③时，；④在点P的运动过程中，线段的长度不变 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 变式2．（23-24七年级上·河南商丘·期中）如图，相距的A、B两地间有一条笔直的马路，C地位于A、B两地之间且距A地，小明同学骑自行车从A地出发沿马路以每小时的速度向B地匀速运动，当到达B地后立即以原来的速度返回，到达A地时停止运动，设运动时间为t（小时），小明的位置为点P． (1)以点C为坐标原点，以从A到B为正方向，用1个单位长度表示画数轴，指出点A所表示的有理数； (2)在（1）的数轴上，求时点P表示的有理数；(3)当小明距离C地1km时，直接写出所有满足条件的t值    题型2、单动点问题（规律变化） 例1．（23-24七年级上·辽宁丹东·期中）一个动点P从数轴上原点O出发开始移动，第1次向右移动1个单位长度到达点，第2次向右移动2个单位长度到达点，第3次向左移动3个单位长度到达点，第4次向左移动4个单位长度到达点，第5次向右移动5个单位长度到达点，…，点P按此规律移动，则移动第次后到达点在数轴上表示的数为（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·广西南宁·阶段练习）在数轴上，点表示原点，现将点A从点开始沿数轴如下移动，第一次点A向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 变式2．（23-24七年级上·福建漳州·期中）已知在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…….(1)求出2.5秒钟后动点Q移动______次；(2)第7次移动后，点Q在表示数______的位置上，运动时间为______s；(3)第n次移动后，点Q运动时间为______s.(4)如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距10个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与A重合，若能，则第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由. 题型3、双动点问题（匀速） 例1．（23-24七年级上·吉林长春·期中）如图，点均在数轴上，点所对应的数是，点在点的右边，且距点个单位长度，点是数轴上的两个动点．(1)求出点所对应的数；(2)当点到点的距离之和是个单位长度时，求出此时点所对应的数；(3)若点分别从点出发，均沿数轴向左运动，点每秒运动个单位长度，点每秒运动个单位长度．若点先出发秒后点出发，当两点相距个单位长度时，直接写出此时点分别对应的数． 变式1．（23-24七年级上·河北沧州·期末）如图，已知点、、是数轴上三点，为原点．点对应的数为，，．(1)则点对应的数是 ，点对应的数是 ；(2)动点、分别同时从、出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．在线段上，且，在线段上，且，设运动时间为．①求点、对应的数（用含的式子表示）；②猜想的长度是否与的大小有关？如果有关请你写出用表示的代数式；如果无关请你求出的长度．    变式2．（23-24七年级上·山西晋中·期中）综合与探究：数轴是规定了原点、正方向和单位长度的直线，利用数轴可以解决很多问题，班里三个小组分别设计了三个问题，请你与他们共同解决：    (1)勤奋小组：在图所示的数轴上，把数，，4，，2.5表示出来，并用“<”将它们连接起来． (2)励志小组：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题： ①表示的点与表示______的点重合；②若数轴上A，B两点间的距离为7（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为_____．(3)攀登小组：假如在原点处放立一挡板（厚度不计），有甲、乙两个小球（忽略球的大小，可看成一点），小球甲从表示数的点处出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，同时小球乙从表示数4的点处出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，两个小球在碰到挡板后即刻按原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为秒．①当时，求甲、乙两个小球之间的距离；②用含t的代数式表示甲、乙两个小球之间的距离． 题型4、双动点问题（变速） 例1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“形数轴”．图中点A表示，点表示，点表示，我们称点和点在“形数轴”上相距个长度单位．动点，同时出发，点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复到原来的速度；动点从点出发，以单位秒的速度沿着“形数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复到原来的速度．设运动的时间为秒．请根据以上条件回答：(1)动点从点运动至点需要多少时间？(2)当，两点相遇时，求值；(3)当，两点在“形数轴”上相距的长度与，两点在“形数轴”上相距的长度相等时，则的值为______(直接写出结果)． 变式1．（23-24七年级上·湖北随州·期中）已知，其中分别为点、点在数轴上表示的数，如图所示． 动点分别从同时开始运动，点以每秒6个单位向左运动，点以每秒2个单位向右运动，设运动时间为秒．(1)直接写出的值； (2)请用含的代数式表示点在数轴上对应的数为：___________，点在数轴上对应的数为___________． (3)当相遇后，点继续保持向左运动，点在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍． 在整个运动过程中，当之间的距离为2个单位时，求运动时间的值（需写出必要的解答过程）．    变式2．（22-23七年级上·湖北武汉·期中）点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且．我们将A，B两点间的距离记为． (1)______，______，______； (2)若点C在数轴上，且，求点C表示的有理数； (3)M，P，Q三点在数轴上，点O为原点，点M表示的数为12．P，Q两点分别从A，B两点同时出发，沿数轴的正方向运动，在到达点O前，P，Q两点的运动速度分别为4个单位长度/秒和2个单位长度/秒，点P经过点O后的速度变为原速度的一半，点Q经过点O后的速度变为原速度的2倍．设运动时间为t秒，当时，求t的值． 题型5、多动点问题 例1．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，我们把、两点之间的距离表示为，记，且，满足． (1) ； ；线段的长 ； (2)点在数轴上对应的数是，且与互为相反数，在数轴上是否存在点，使得?若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由；(3)在（）、（）的条件下，点、、开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，秒钟后，若点和点之间的距离表示为，点和点之间的距离表示为，那么的值是否随着时间的变化而变化?若变化，请说明理由；若不变，请求出的值． 变式1．（23-24七年级上·福建龙岩·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．(1)数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点同时出发；当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？若点间的距离记为，点间的距离记为，是否存在一个数，使得的值与无关？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．    变式2．（23-24七年级上·陕西渭南·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为，点B与点P之间的距离表示为．    (1)若，求x的值；(2)若，求x的值；(3)若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由． 题型6、动点中的新定义问题 例1．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”，如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”；(2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 变式1．（2023·湖北·七年级期中）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”． （1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______； （2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由． 变式2．（22-23七年级上·湖南岳阳·期末）材料阅读：当点C在线段上，且时，我们称n为点C在线段上的点值，记作．如点C是的中点时，则，记作；反过来，当时，则有．因此，我们可以这样理解：与具有相同的含义．    初步感知：(1)如图1，点C在线段上，若，则_______；若，则_______； (2)如图2，已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，运动速度均为，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为．请用含有t的式子表示和，并判断它们的数量关系． 拓展运用：(3)已知线段，点P、Q分别从点A和点B同时出发，相向而行，若点P、Q的运动速度分别为和，点Q到达点A后立即以原速返回，点P到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为ts．则当t为何值时，等式成立． A组（能力提升） 1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知（在的左侧）是数轴上的两点，点对应的数，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，始终为的中点，设运动时间为（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①对应的数是；②点到达点时，；③时，；④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·重庆·阶段练习）一只跳蚤在数轴上从原点O开始沿数轴左右跳动，第1次向右跳1个单位长度，第2次向左跳2个单位长度，第3次向右跳3个单位长度，第4次向左跳4个单位长度……依此规律跳下去，当它第次落下时，落点处对应的数为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·江苏七年级课时练习）已知数轴上，点A表示的数是-2，点B在点A的右侧8个单位长度处，动点M从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴运动，动点N从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴运动，已知点M，N同时出发，相向运动，运动时间为t秒．当时，运动时间t的值为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2024·广东·七年级专题练习）如图，已知点，，是数轴上三点，点对应的数为，，．(1)求点，对应的数；(2)动点，同时从，出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动，为的中点，在上，且，设运动时间为。 ①求点，对应的数用含的式子表示；②为何值时， 5．（2023·浙江·七年级专题练习）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．(1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数．(2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ 6．（2023·山东·七年级期末）定义：若A，B，C为数轴上三点，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们就称点C是【A，B】的美好点． 例如：如图1，点A表示的数为－1，点B表示的数为2.表示1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是【A，B】的美好点；又如，表示0的点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是【A，B】的美好点，但点D是【B，A】的美好点． 如图2，M，N为数轴上两点，点M所表示的数为－7，点N所表示的数为2 (1)点E，F，G表示的数分别是－3，6.5，11，其中是【M，N】美好点的是 　 　；写出【N，M】美好点H所表示的数是 　 　． (2)现有一只电子蚂蚁P从点N开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t为何值时，P，M和N中恰有一个点为其余两点的美好点？ 7．（22-23七年级下·福建泉州·期中）如图，A、B两点在数轴上对应的数分别、，且满足，O为原点；在A、B两点处各放一个档板，M、N两个小球同时从数轴上的C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴的负方向运动，N以每秒4个单位的速度向数轴的正方向运动，小球碰到档板后立即向反方向运动且速度不变，设小球的运动时间为秒钟（）    (1)填空：线段AB的长为 ．(2)若M小球第一次碰到A档板时，N小球刚好也是第一次碰到B档板，试确定点C的位置．(3)当时，试判断的值是否随时间的变化而变化？若它的值不变，请求出该值；若它的值会变，请通过计算说明理由． 8．（23-24七年级上·安徽滁州·阶段练习）在数轴上，一动点Q从原点O出发，沿着数轴以每秒4个单位长度的速度来回移动，第1次移动是向右移动1个单位长度，第2次移动是向左移动2个单位长度，第3次移动是向右移动3个单位长度，第4次移动是向左移动4个单位长度，第5次移动是向右移动5个单位长度，…，以此类推．（参考公式：） (1)第8次移动后，点Q在表示数___________的位置上，运动时间为___________秒； (2)求7秒后动点Q所在的位置； (3)如果在数轴上有一个定点A，且点A在原点O的左侧，相距原点O24个单位长度，问：动点Q从原点出发，移动后可能与点A重合吗？若能，第一次与点A重合需要多长时间？若不能，请说明理由． 9．（23-24七年级上·江西吉安·期中）【阅读材料】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美的结合，某数学兴趣小组探究数轴发现了一些重要的规律． 规律1：如图1，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，则A、B两点间的距离可表示为： ①（即用右边点B表示的数减去左边点A表示的数）； ②（即两点表示的数之差的绝对值）． 规律2：数轴上A、B两点的中点M表示的数为 【简单应用】如图1，点A在数轴上所对应的数为，点B表示的数为4，P是数轴上一动点． （1）则A、B两点间的距离________， A、B两点的中点M表示的数为________； （2）若A、P两点间的距离，则点P表示的数为________． 【拓展运用】如图2，已知数轴上有A、B两点，分别表示的数为，8，点A以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点B以每秒3个单位向左匀速运动，设运动时间为t秒（）． （3）用含t的式子填空：点A运动t秒后所在位置的点表示的数为________； 点B运动t秒后所在位置的点表示的数为________；此时A、B两点的中点M表示的数为________． （4）按上述方式运动， A、B两点经过多少秒会相距5个单位长度． 10．（2023春·广东·七年级期末）已知数轴上两点A、B对应的数分别为、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)若点P到点A，点B的距离相等，求点P对应的数； (2)数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为6？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；(3)点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？ B组（培优拓展） 1．（2023·重庆·七年级专题练习）如图，A、O、B两点在数轴上对应的数分别为﹣20、0、40，C点在A、B之间，在A、B两点处各放一个挡板，M、N两个小球同时从C处出发，M以2个单位/秒的速度向数轴负方向运动，N以4个单位/秒的速度向数轴正方向运动，碰到挡板后则反方向运动，速度大小不变．设两个小球运动的时间为t秒钟（0＜t＜40），当M小球第一次碰到A挡板时，N小球刚好第一次碰到B挡板．则：①C点在数轴上对应的数为0；②当10＜t＜25时，N在数轴上对应的数可以表示为80﹣4t；③当25＜t＜40时，2MA+NB始终为定值160；④只存在唯一的t值，使3MO＝NO，以上结论正确的有（　　） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②④ 2．（22-23七年级上·江苏无锡·期中）点A、B、C、D在数轴上对应的数分别是、、8、16，动点P从点A出发以2单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以1个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，P、Q两点到点C的距离相等． 3．（23-24七年级上·浙江台州·期末）已知点是数轴的原点，点、、在数轴上对应的数分别是，，，且，满足，动点从点出发以2单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以1个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的3倍，之后立刻恢复原速，运动时间为 秒时，、两点到点的距离相等． 4．（2023·浙江·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______． 5．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）七年级数学兴趣小组成员自主开展数学微项目研究，他们决定研究“折线数轴”． 探索“折线数轴”：素材1  如图，将一条数轴在原点O，点B，点C处折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示，点C表示24，点D表示，我们称点A与点D在数轴上的“友好距离”为个单位长度，并表示为． 素材2  ：动点P从点A出发，以2个单位长度/秒的初始速度沿着“折线数轴”向其正方向运动．当运动到点O与点B之间时速度变为初始速度的一半．当运动到点B与点C之间时速度变为初始速度的两倍．经过点C后立刻恢复初始速度． 问题解决：探索1  动点P从点A运动至点B需要多少时间？ 探索2  动点P从点A出发，运动t秒至点B和点C之间时，求点P表示的数（用含t的代数式表示）； 探索3  动点P从点A出发，运动至点D的过程中某个时刻满足时，求动点P运动的时间． 6．（2023·山东·七年级统考期中）问题一： 如图1，数轴上的点A表示2，点B表示5，点C表示7，易得，我们记为． (1)现将数轴的原点向左拖动1个单位长度，如图2所示，此时还成立吗？若不成立，怎样移动点C就能使之成立？(2)若将数轴的原点向左拖动x个单位长度，为了使成立，应该怎样移动点C？ (3)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，如果，那么仍然有．现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，①为了使成立，应该怎样移动点C？②为使成立，应该怎样移动点B？ 问题二：如图3，数轴上的点A表示，点B表示1，点C表示5，易得，我们记为． (4)现将数轴的原点向左拖动x个单位长度，还成立吗？请说明理由． (5)若点A表示m，点B表示n，点C表示t，当m，n，t满足什么关系时，都能使成立？ 7．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度；(3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 8．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）【思考背景】数轴是数学中的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，帮助我们更加直观的思考问题．平移和翻折是数学中两种重要的图形变化，从变化的角度观察数轴，可以提出很多有趣的问题： 【问题情境】（1）平移运动：如图1，数轴上的一点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度到达点．①______（用含的代数式表示）；②将点沿着数轴先向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度得到点，求点表示的数；③一机器人从原点开始，第1次向左移动1个单位，紧接着第2次向右移动2个单位，第3次向左移动3个单位，第4次向右移动4个单位，…，以此规律，当它移动2023次时，所在数轴上的点表示的数是______． （2）翻折变换：①若在原点处折叠数轴使之两侧重合，数轴上的点与点恰好重合，则点与点表示的数、满足关系：______； ②若以表示的点为折点，折叠数轴使之两侧重合，与表示的点重合的点在数轴上表示的数是______； ③如图2，一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折重合，若点、对应重合的点分别为点、，点与点相距2个单位长度，请直接写出点表示的数． 【迁移拓展】请你结合以上情境，思考并提出一个合理的数学问题．（不要求作答） 9．（23-24七年级上·江苏无锡·期中）已知数轴上三点，若点在点之间且，则称点是的和谐点．例如，图1中，点表示的数分别为，1,0，，此时，，则点是的和谐点，点是的和谐点． (1)如图，数轴上点，表示的数分别为，5，若点是的和谐点，则点表示的数是 ；若点是的和谐点，则点表示的数是 ； (2)已知点A、B、C、D在数轴上，它们表示的数分别为数a， b， c， d， 且a，b满足，点C在点B的右侧且到点B的距离为8个单位长度，点D表示的数是12；动点P从点A出发以4单位/秒的速度向右运动．同时点Q从点D出发，以2个单位/秒速度向左运动，B、C两点之间为“变速区”，规则为从点B运动到点C期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复原速，从点C运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，假设运动时间为秒， ①从B运动到C的过程中，点P表示的数是 ，从C运动到B的过程中，点Q 表示的数是 ；（用含t的代数式表示）；②求使得点C是的和谐点的值；若不存在，请说明理由． 10．（23-24七年级上·四川南充·期末）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示12，点表示20，我们称点和点在数轴上相距32个长度单位，记为．动点从点出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”正方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着“折线数轴”负方向运动，从点运动到点期间，速度变为原来的2倍，之后也立刻恢复原速．设运动时间为秒．    (1)当时，两点在数轴上相距多少个单位长度？ (2)当、两点相遇时，求运动时间的值．(3)若“折线数轴”上定点与两点相距的长度相等，当为何值时，、与点相距的长度之和等于6？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 第 2 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$