数列求和课件-2025届高三数学一轮复习

第四节　数列求和 第六章 内容索引 01 02 强基础 固本增分 研考点 精准突破 课标解读 1.巩固等差数列、等比数列前n项和公式. 2.掌握数列求和的裂项相消求和法、错位相减求和法、拆项分组求和法、并项转化求和法、倒序相加求和法,能够解决数列的求和问题. 强基础 固本增分 数列求和的常用方法 1.公式法 当等比数列的公比未知而运用其前n项和公式时,注意对q=1时的情况进行讨论 2.裂项相消求和法:裂项相消求和法就是把数列的各项变为两项之差,使得相加求和时一些正负项相互抵消,前n项和变成首尾若干少数项之和,从而求出数列的前n项和. 3.错位相减求和法:如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前n项和可运用错位相减求和法. 4.拆项分组求和法:如果一个数列的各项是由几个等差数列和等比数列的项相加减得到的,那么可以把数列的每一项拆成多个项或把数列的项重新分组,使其转化成等差数列或等比数列,然后利用等差数列、等比数列的求和公式求和. 5.并项转化求和法:在求数列的前n项和时,如果一个数列的项是正负交错的,尤其是当各项的绝对值又构成等差数列时,可以先将相邻的两项或几项合并,然后再利用其他相关的方法进行求和. 6.倒序相加求和法:如果一个数列{an}中,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可运用倒序相加求和法. 常用结论 1.常用裂项公式 2.常用求和公式 自主诊断 题组一　思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”) × × × √ 题组二　回源教材 5.(人教A版选择性必修第二册第四章习题4.2第8题)已知两个等差数列2,6,10,…,190及2,8,14,…,200,将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列.求这个新数列的各项之和. 6.(人教A版选择性必修第二册第四章习题4.3第6题)求下列数列的一个通项公式和一个前n项和公式. 1,11,111,1 111,11 111,…. 研考点 精准突破 考点一 裂项相消求和法 例题(2024·山东潍坊高三月考)若Sn为数列{an}的前n项和,a1=2,且Sn+1=2(Sn+1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; 解 (1)因为Sn+1=2(Sn+1),n∈N*, 所以当n≥2时,Sn=2(Sn-1+1), 两式相减可得Sn+1-Sn=2(Sn+1)-2(Sn-1+1),即an+1=2an(n≥2). 当n=1时,a1+a2=S2=2S1+2=2a1+2, 又a1=2,所以a2=4,符合上式. 所以an+1=2an(n∈N*), 故数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为2,所以an=2n. 规律方法 裂项相消求和法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到求和的目的.利用裂项相消求和法的关键是分析数列的通项,考察其是否能分解成两项的差,在裂项求和的过程中,还要注意以下几点: (1)注意通项裂开后,是否恰好等于相应的两项之差,有时恰好等于两项之差,有时则是倍数关系,需要在裂开的式子前面乘上一个系数; (2)注意在正负项抵消后,是否只剩下了第一项和最后一项,有时可能前面剩下了两项,后面也剩下了两项. 对点训练(2024·河南平顶山高三模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=(n+2)an-2. (1)求数列{an}的通项公式; (1)解 当n=1时,2S1=(1+2)a1-2,即a1=2. 当n≥2时,2Sn=(n+2)an-2,2Sn-1=(n-1+2)an-1-2=(n+1)an-1-2, 两式相减得2an=(n+2)an-(n+1)an-1, 即nan=(n+1)an-1, 考点二 错位相减求和法 例题已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=-n2+kn(k∈N*),且Sn的最大值为25. (1)求k的值及通项公式an; 综上可得,k=10,Sn=-n2+10n. 当n=1时,a1=S1=9. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(-n2+10n)-[-(n-1)2+10(n-1)]=-2n+11, 当n=1时也成立. 综上可得an=-2n+11. 所以k=10,an=-2n+11. 规律方法 错位相减求和法的方法步骤 设{anbn}的前n项和为Sn,其中数列{an}为公差为d的等差数列,数列{bn}为公比为q(q≠1)的等比数列.则错位相减求和法的步骤如下. ∵Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+anbn, ∴qSn=a1b2+a2b3+…+an-1bn+anbn+1. ∵{an}的各项均为正数,∴an-an-1=3, ∴{an}为等差数列,则an=a1+3(n-1)=3n. ∵Sn=2bn-2,∴当n≥2时,Sn-1=2bn-1-2, 两式相减得bn=2bn-1. 当n=1时,b1=S1=2b1-2,得b1=2. ∴{bn}为等比数列,∴bn=2·2n-1=2n. 考点三 其他求和法(多考向探究预测) 考向1拆项分组求和法 规律方法 适合拆项分组求和法的两种数列 对点训练(2024·山东师大附中高三模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,且a1=1,an+an+1=2n+1. (1)求数列{an}的通项公式; 解 (1)an+an+1=2n+1变形为an+1-(n+1)=-(an-n), 因为a1-1=0,所以an+1-(n+1)=-(an-n)=…=0,故an=n. (2)当n为奇数时,bn=2n,当n为偶数时,bn=n, 则T2n=2+2+23+4+25+6+…+22n-1+2n=2+4+6+…+2n+(2+23+25+…+22n-1) 考向2并项转化求和法 题组(1)(2024·河北石家庄高三期中)已知数列{an}的通项公式为 an=ncos(n-1)π,Sn为数列的前n项和,S2 023=(　　) A.1 009 B.1 010 C.1 011 D.1 012 答案 (1)D　(2)D 解析 (1)当n为奇数时,cos(n-1)π=1,当n为偶数时,cos(n-1)π=-1, 所以cos(n-1)π=(-1)n-1,所以an=ncos(n-1)π=n×(-1)n-1, 所以S2 023=1-2+3-4+…-2 022+2 023=-1×1 011+2 023=1 012.故选D. 规律方法 并项转化求和法关注点 (1)一般地,当数列中的各项正负交替,且各项绝对值成等差数列时,可采用并项转化求和法. (2)在利用并项转化求和法时,一般需要对项数n分奇数和偶数两种情况进行讨论,所以结果一般用分段函数来表示. 考向3倒序相加求和法 答案 (1)D　(2)B ∵等比数列{an}满足a1a2 020=1,∴a1a2 020=a2a2 019=…=a2 020a1=1, ∴f(a1)+f(a2 020)=f(a2)+f(a2 019)=…=f(a2 020)+f(a1)=2, 即f(a1)+f(a2)+…+f(a2 020)=2 020.故选D. 规律方法 倒序相加求和法往往与函数的求值问题联系在一起,通过函数图象的对称性,得到当两个自变量之和为某一常数时,对应的两个函数值的和也为定值,使之符合倒序相加求和法的使用条件,从而进行数列的求和. 本 课 结 束 (1)等差数列前n项和公式Sn==na1+d; (2)等比数列前n项和公式Sn= (1); (2)); (3)); (4)];(5)). (1)1+2+3+…+n=; (2)1+3+5+…+(2n-1)=n2; (3)12+22+32+…+n2=; (4)13+23+33+…+n3=[]2. 1.对于n∈N*,都有=2(). (　　) 2.数列{}的前n项和等于1-. (　　) 3.1+m+m2+…+m20=. (　　) 4.若在数列{an}中,an=(-1)n(3n-1),则其前30项的和等于45. (　　) 解 设新数列为{cn},则有c1=2,c2=14,c3=26,显然{cn}为等差数列,公差为12.又{cn}的最后一项应为182,因此{cn}一共有+1=16项,所以{cn}的各项之和为=1 472. 解 观察可知数列的通项公式为an=(10n-1),其前n项和公式为 Sn=[(10-1)+(102-1)+…+(10n-1)]=-n]=. (2)若bn=log2a2n-1,求数列的前n项和Tn. 又an≠0,所以=2, (2)由(1)知bn=log2a2n-1=2n-1, 所以), 所以Tn=+…+ (1-+…+)=(1-)=. 引申探究(变条件变结论)将本例(2)改为“若cn=,求数列{cn}的前n项和Tn”,再进行求解. 解 因为cn=, 所以Tn=()+()+…+()=1-. (2)若数列的前n项和为Tn,求证:Tn<. 所以, 所以数列为常数列. 又=1, 所以=1,即an=n+1. (2)证明 由(1)得an=n+1, 所以=2(), 所以Tn=+…+<2()+2()+2()+… +2=2+++…+ =2<. (2)求数列{n·}的前n项和Tn. 解 (1)由题可得Sn=-(n-)2+,k∈N*, 所以当k为偶数时,(Sn)max==25,解得k=10; 当k为奇数时,(Sn)max==25,此时k无整数解. (2)因为n·=n·2-2n=, 所以Tn=+…+,① 因此Tn=+…+.② ①-②得Tn=+…+, 所以Tn=, 则Tn=. 两式相减得(1-q)Sn=a1b1+d(b2+b3+…+bn)-anbn+1=a1b1+d·-anbn+1, 令Tn=a1b1+d·-anbn+1, 则Sn=. 对点训练(2023·浙江绍兴高三模拟)已知各项均为正数的数列{an}满足a1=3,-3an=+3an-1(n∈N*,n≥2),数列{bn}的前n项和为Sn且满足Sn=2bn-2. (1)求数列{an},{bn}的通项公式; (2)设Cn=(n∈N*),证明:C1+C2+…+Cn<. (1)解 由已知条件,可化为=3an+3an-1. (2)证明 由题意Cn=. 设的前n项和为Tn, 则Tn=+…+),③ Tn=+…+),④ ③-④得,Tn=+…+)=), ∴Tn=(3-)<,∴C1+C2+…+Cn<Tn<. 例题(2023·河北沧州高三月考)已知数列{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a3+2a4=,S10=. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若bn=(an+1)2cos,求数列{bn}的前18项和T18. 解 (1)设等差数列{an}的公差为d. 因为a3+2a4=,S10=, 所以 解得 故数列{an}的通项公式为an=-+(n-1)×-1. (2)由(1)知,an=-1, 所以bn=(an+1)2cos=(-1+1)2cosn2cos. 当k∈N*时,b3k-2+b3k-1+b3k =k-2·cos2kπ-+k-2cos2kπ-+k2cos 2kπ=k-, T18=(b1+b2+b3)+(b4+b5+b6)+…+(b16+b17+b18)=1-+2-+3-+4-+5-+6-=(1+2+3+4+5+6)-×6=, 故数列{bn}的前18项和为. (2)记bn=求数列{bn}的前2n项和T2n. =+n2+n. (2)(2022·广东广州高三一模)若数列{an}满足an=(-1)n-1·,则{an}的前2 022项和为(　　) A. B. C. D. (2)当n为奇数时,an=,当n为偶数时,an=-, ∴S2 022=1+-+-…+- =1-.故选D. 题组(1)(2024·湖南常德高三月考)已知f(x)=(x∈R),若等比数列{an}满足a1a2 020=1,则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 020)=(　　) A. B.1 010 C.2 019 D.2 020 (2)(2024·山西太原高三期中)已知函数fx+为奇函数,且g(x)=f(x)+1,若an=g,则数列{an}的前2 022项和为(　　) A.2 023 B.2 022 C.2 021 D.2 020 解析 (1)∵f(x)=(x∈R),∴f(x)+f()==2. (2)因为函数fx+为奇函数,所以f-x+=-fx+,即f-x+f+x=0,所以f(x)+f(1-x)=0,所以g(x)+g(1-x)=[f(x)+1]+[f(1-x)+1]=2,所以2(a1+a2+…+a2 022)=2g+g+…+g=g+ g+g+g+…+g+g=2×2 022,因此数列{an}的前2 022项和为a1+a2+…+a2 022=2 022.故选B. $$