1.1.1 空间向量及其线性运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何 高二上学期 练习1：在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种现象吗？ 解：如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，， 为方便起见，我们不妨设.另设，的夹角为， 旅行包所受的重力为.由向量的平行四边形法则、力的平衡 以及直角三角形的知识，可以知道. 当由0变大到时，由0变大到，由大变小，此时由小变大； 当由变小到0时，由变小到0，由小变大，此时由大变小. 这就是说，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力. 复习回顾 可以想象，在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，如拉力、风力、重力.显然这些力不在同一个平面内， 思考：你能从数学角度来研究飞行员在滑翔运动中的运动状态吗？ 联想用平面向量解决物理问题的方法，把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动. 复习回顾 练习2：在正方形中，点分别是的中点，求证：. 法二(基底)： 法一(几何法)： 又在正方形中，，， ，，即. 法三(坐标)：建系如图，设边长为2，则， 则， ， 平面向量 平面几何问题 空间向量 立体几何问题 复习回顾 平面向量 及其应用 平面向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 平面向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 平面向量基本定理、共线向量的充要条件及推论 平面向量在平面几何中的应用(向量的基底法和坐标法) 类比 推广 空间向量的基础概念(相等/相反/共线/零/单位向量) 空间向量的加/减/数乘/数量积运算及其坐标表示 空间向量基本定理、共面向量的充要条件及推论 空间向量在立体几何中的应用(向量的基底法和坐标法) 应用：解决平面或空间中的平行、垂直、距离、角度等问题 空间向量 章框架 1.1.1 空间向量及其线性运算 高二上学期 6 1、了解空间向量的相关概念，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次； 2、掌握空间向量线性运算法则和运算律，并能运用它们进行空间向量的运算，达到数学运算核心素养学业质量水平一的层次； 3、理解并掌握共线向量定理与共面向量定理，达到直观想象与数学抽象核心素养学业质量水平一的层次； 重点：空间向量及其相关概念，空间向量的线性运算 难点：共线向量定理与共面向量定理 学习目标 一、空间向量的定义及表示 3、空间向量的大小称为的_____(或称___)，记作_____. 印刷用黑体， 书写用. 空间向量的大小称为的长度（或称模），记作. 长度为0的向量叫做______，记作___. 长度为1的向量叫做________. 零向量的方向是_____的. 1、定义：在空间中，既有_____又有_____的量叫做空间向量. 2、表示： ②字母表示：字母. ①几何表示：有向线段 大小 方向 长度 模 零向量 任意 单位向量 4、平行向量： 共线向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合， . 向量不能比较大小，但模可以 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. 新知生成 5、相等向量： 相反向量： 方向相同、长度相等的向量叫做相等向量，记作： 方向相反、长度相等的向量叫做相等向量，记作： 题型一：空间向量有关概念的辨析 例1：①若将空间中所有表示单位向量的有向线段的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆； ②若空间向量满足||； ③若空间向量满足，，则 ④空间中任意两个单位向量必相等； ⑤零向量没有方向. 上述命题中假命题的是___________________. ①②④⑤ 新知生成 练习：下列说法中正确的是________. A、若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B、任一向量与它的相反向量不相等 C、四边形ABCD是平行四边形的充要条件的是 D、“模为0”是“一个向量的方向是任意的”的充要条件. CD 题型一：空间向量有关概念的辨析 说明任意两个空间向量都可以平移到同一平面内，成为同一平面内的两向量. 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.由此，我们把平面向量的线性运算推广到空间，定义空间向量的加法、减法以及数乘运算： 新知生成 二、空间向量的线性运算及运算律 1、加法运算： ①三角形法则： 首尾相接，和向量由起点指向终点. ②平行四边形法则： 同起点，和向量由起点指向对角线端点 ●对于零向量与任意向量，我们规定： 推广：__________. 模长： 反向 同向 ●对于非零向量，： 新知生成 2、减法运算： 3、数乘运算： 当时，； 当时，； 当时， ●转化为加法运算：减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. ●非零向量减法的三角形法则： 同起点，是从终点指向终点的向量 模长： 同向 向 模长：； 新知生成 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律（其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 思考：你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？ 二、空间向量的线性运算及运算律 利用向量加法的交换律和结合律，还可以得到：有限个向量求和，交换相加向量的顺序，其和不变. 新知生成 下面证明空间向量的加法结合律： 如图，因为 所以， 由以上证明可以看出，证明空间向量的加法结合律时，由于三个向量可能不同在任何一个平面内，因此证明方法与平面向量有所区别.对于空间向量线性运算的其他运算律，它们都只涉及同一平面内的向量，因此证明方法与平面向量相同. 运算律的证明 例2、如图，E，F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′的棱AB，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果？ (1) (2) (3) (4) 教材P5 练习 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 例3、如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. (1) (2) (3) 教材P5 练习 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 思考：如图，在平行六面体中，分别标出，表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？ 可以发现，. 一般地，对于三个不共面的向量，以任意点为起点，为邻边作平行六面体，则的和等于以为起点的平行六面体对角线所表示的向量. 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 教材P5 练习 例4、在图中，用，，表示，，？ 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 例5、如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值. (1) (2) (3) 教材P5 练习 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 思考：对任意两个空间向量与，如果，与有什么位置关系？反过来，与有什么位置关系时，？ 对两个空间向量，，的充要条件是存在实数，使. 三、向量共线定理 题型：判断向量共线或三点共线 推论：若三点共线，为直线外一点，，则__. 1 新知生成 判断正误： （1）若向量共线，则存在唯一实数，使得. （2）若存在使得，则必有. （3）若，则的方向相同或相反 （4）若，，则有. （5）若，，则有. × × × × √ 习题演练 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量， 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. 这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 四、直线的方向向量 • • 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点， 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. 新知生成 ●向量平行于直线：如图，如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线. ●向量平行于平面：如果直线平行于平面或在平面内，那么称向量平行于平面. 共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 任意两个空间向量总是共面的 思考：任意三个空间向量共面吗？ 五、共面向量 思考：共面向量所在直线是何位置关系？ 可能平行、重合、相交或异面 可能共面，也可能不共面. 新知生成 思考：对平面内任意两个不共线向量，由平面向量基本定理可知，这个平面内的任意一个向量可以写成其中是唯一确定的有序数对.对两个不共线的空间向量，如果那么与有什么位置关系？反过来，向量与有什么位置关系时，？ 如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 共面向量定理 追问：那么，什么情况下三个空间向量共面呢？ 新知生成 证明：必要性是由平面向量基本定理得到的. 当，都为或部分为零向量时，充分性显然成立， 下面就与都不是零向量的情况进行证明： 因为分别与共线，所以都在确定的平面内，又因为是以为邻边的平行四边形的一条对角线所表示的向量，并且此平行四边形在确定的平面内，所以在确定的 平面内.即与共面. 如果两个向量不共线，那么向量与共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使. 定理证明 证明：因为， 所以 因为四边形是平行四边形，所以 因此 由向量共面的充要条件可知，，共面， 又，过同一点，从而，，，四点共面. 例6：如图，已知平行四边形，过平面外一点作射线，，，，在四条射线上分别取点，，，，使.求证：，，，四点共面. 题型三：证明三点共线、四点共面(向量共面) 例7：如图，已知矩形和矩形所在的平面互相垂直，点，分别在对角线上，且.求证：向量共面. 证明：因为在上，且 所以，同理 所以 . 又与不共线，所以根据向量共面的充要条件可知共面. 题型三：证明三点共线、四点共面(向量共面) 练习1：已知向量不共面，且 试判断，，是否共面. 练习2：已知A,B,C三点不共线，对空间内任意一点O，若 ，则P，A，B，C四点（ ）. A.不共面 B.共面 C.不一定共面 D.无法判断 B 不共面 题型三：证明三点共线、四点共面(向量共面) 证明空间三向量共面或四点共面的方法 (1)向量表示：设法证明其中一个向量可以表示为另两个向量的线性组合，即若，则向量共面. (2)若存在有序数组使得对于空间任一点，有，且成立，则四点共面. 归纳总结 例8：如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中， O是B1D1的中点，求证：B1C//平面ODC1. 思路：证B1C//平面， 即证：//平面 即证：与，共面，且不在平面， 即证：存在 题型四：向量在立体几何中的应用 一、空间向量(定义、表示、模、零/单位/相等/相反/共线/共面向量) 二、空间向量的线性运算及运算律 三、向量共线定理、向量共面定理 四、直线的方向向量 题型一：空间向量有关概念的辨析 题型二：空间向量的线性运算、分解与表示 题型三：证明三点共线、四点共面(向量共线、共面) 课堂小结 1、在下列命题中正确命题的个数为(　　) ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知两向量、，则空间任意一个向量， 总可以唯一表示为＝x＋y. A.0 B.1 C.2 D.3 A 或重合 任意两个向量必共面 课后习题 2、如图所示，以长方体的八个顶点的两点为始点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模. 解：(1)与相等的向量有,，，共3个. (2)向量的相反向量为，，，共4个. (3)因为所以 课后习题 3、已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面. 证明：令， 则 因为不共线，所以解得 所以， 所以四点共面. 课后习题 4、如图，已知E，F，G，H，分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面. 课后习题 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$