1.1.2 空间向量的数量积-2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第一册)

1.1.2 空间向量的数量积 第 一 章空间向量与立体几何 人教A版2019选修第一册 学习目标 1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角 2.掌握空间向量数量积的性质及运算律 3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的垂直及平行 01复习回顾 PART ONE 复习回顾 与 反向 O A B 与 同向 O A B 记作 与 垂直， O A B 注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 1.平面向量的夹角： A O B B 复习回顾 (2)平面向量的数量积的定义： 已知两个非零向量, ，则|| || ，叫做向量, 的数量积，记作 即 || || 并规定0 02空间向量的数量积 PART ONE 空间向量的夹角 探究：空间任意两个向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，思考平面中的两个向量a，b，它们的夹角是如何定义的？范围如何？ 提示：将a，b移到共同的起点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做a与b的夹角，记作θ＝∠AOB，范围是[0, π]． A O B 空间向量的夹角 (1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ． (2)范围：〈，〉∈ . 特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线； 当〈，〉＝π时，两向量， ， 所以若∥，则〈，〉＝0或π； 当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 . ∠AOB [0，π] 0 反向共线 垂直 O A B O A B O A B 〈〉 ⊥ 空间向量的数量积 注意：两个向量的数量积是数量,而不是向量 空间中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·. 即 |||| （1）空间向量数量积的定义 空间向量的数量积 思考1：类比平面向量，你能说出a·b的几何意义吗？ 答：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|·cosθ的乘积． 思考2：对于向量a，b，c，由a·b＝a·c，能得到b＝c吗？ 答：不能，若a，b，c是非零向量，则a·b＝a·c得到a·(b－c)＝0，即可能有a⊥(b－c)成立． 空间向量的数量积 思考3：对于向量a，b，若a·b＝k，能不能写成a＝？ 答：不能，向量没有除法，无意义． 思考4：为什么(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立？ 答：(a·b)·c表示一个与c共线的向量，而a·(b·c)表示一个与a共线的向量， 而a与c不一定共线，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立. 向量的数量积运算与实数运算是有一定区别的 空间向量的数量积 ①(λ)·＝ ； ②交换律：·＝ ； ③分配律：·(＋)＝ . λ(·) · ·＋· (2)运算律 注意：向量的数量积不满足结合律 空间向量的数量积 （3）性质 ①⊥⇔·＝0;　 ②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2; ③ 零向量与任意向量的数量积为0，即·＝0; ④ |·|≤||·||. ⑤cos〈，〉= 证明两个向量垂直 求模长 夹角公式 1.a,b是两个非零向量，以下命题正确的有几个（ ） （1）a·b>0⇔〈〉ϵ （2）a·b=0⇔〈〉= （3）a·b<0⇔〈〉ϵ （4）⇔⇔〈〉=π A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 空间向量的数量积 C √ √ √ 空间向量的数量积 2.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___. 解析　由a⊥b，得a·b＝0， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6. 6 空间向量的数量积 3.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)；(3) ·. (1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝， 所以＝. (2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ . (3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－. 空间向量的数量积 在几何体中求空间向量的数量积： 首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积； 最