1.2 一元二次方程的解法（第2课时 配方法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.2　一元二次方程的解法（2） 第2课时　配方法（二次项系数为1） 学习目标 1．理解配方法，能将一般形式的一元二次方程配方成 (x＋h)2＝k (h、k为常数)的形式； 2．能熟练运用配方法解简单的二次项系数为1的一元二次方程，体会转化思想. 2 知识回顾 你还记得完全平方公式吗？ a2±2ab+b2 (a±b)2 = a2±2ab+b2= 反过来： (a±b)2 1.填上适当的数，使下列各等式成立. (1) x2－2x+ = ( x－ )2； (2) x2+8x+ = ( x+ )2； 12 1 42 4 观察上面的等式，你能发现有什么规律吗？ 思考与探索 (3) x2－5x+ = ( x－ )2； (4) x2+x+ = ( x+ )2 . 4 获取新知 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 思考与探索 2.比较下列几个方程 ，它们能转化为相同的形式吗？ (x＋3)2＝5 x2＋6x+9＝5 x2＋6x＋4＝0 去括号 移 项 你能将方程x2＋6x＋4＝0配成完全平方的形式吗？ 6 思考与探索 2.比较下列几个方程 ，它们能转化为相同的形式吗？ 你能将方程x2＋6x＋4＝0配成完全平方的形式吗？ 两边都加上9 x2+6x+4=0 x2+6x=-4 移项 x2+6x+9=-4+9 配方 (x+3)2=5 7 思考与探索 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? (1) x2+6x+9=5 先转化成(x+h)2=k(k≥0)的形式，再利用直接开平方法求解. 解：(1)原方程可化为(x+3)2=5 ∵x+3是5的平方根， ∴x+3=±. ∴x=-3±. 即x1=-3+，x2=-3-. 8 (2) x2+6x+4=0 思考与探索 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? 如何解这个方程呢？ 9 (2) x2+6x+4=0 思考与探索 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? 还是先转化成(x+h)2=k(k≥0)的形式，再利用直接开平方法求解. 10 (2) x2+6x+4=0 思考与探索 3.下列方程能用直接开平方法来解吗? (2)解：移项，得：x2+6x=-4. 配方，得：x2+2x3 +32=-4+32， (x+3)2=5. 解这个方程，得x+3=±. 所以x1=-3+，x2=-3-. 11 获取新知 把一个一元二次方程变形为(x＋h)2 ＝k (h、k为常数) 的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法. 例题讲解 例1 解下列方程： (1) x2－4x＋3＝0； 解: (1)移项，得 x2-4x=-3. 配方，得 x2-2x2 +22=-3+22， (x-2)2=1. 解这个方程，得x-2=±1. 所以x1=3，x2=1. (2) x2＋3x－1＝0． (2)移项，得 x2+3x=1. 配方，得 x2+2x=1+ , (x+)2= . 解这个方程，得 x+=±， 所以x1=-+，x2=--. 讨论与交流 1. 配方法解一元二次方程的基本思路是什么？ 先把方程化为(x+h)2=k的形式，再用直接开平方法求解． 配方法 直接开平方法 (x+h)2=k (k≥0) x= 14 一般步骤 方 法 一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 二配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 三开 开平方求根 利用平方根的意义直接开平方 四解 解两个一元一次方程 移项，合并 讨论与交流 2. 配方法解一元二次方程(二次项系数为1)的一般步骤是什么？ 15 新知巩固 解下列方程： (1) x2+2x=3 (2) x2-6x=4 (4) x2-x-1=0 (3) x2+10x+20=0 x1=-3，x2=1 x1=3+，x2=3- x1=，x2= x1=-5+，x2=-5- 数学实验室 用配方法解一元二次方程，配方的过程也可以用拼图直观地表示. x(x+2)=24 x x+2 24 x2+2x=24 x x x2 1 1 1x 1x x2+2x+12=24 +12 x x x2 1 1x 1x 1 1 25 (x+1)2=25 拼图的过程 配方的过程 观察左图理解为什么在配方过程中，方程两边同时加上一次项系数一半的平方？ 17 上面的“数学实验室”用拼图的方法直观地表示出解一个一元二次方程的过程. 解：把方程x2-2x-3=0变形为x2-2x=3，即x(x-2)=3 x x-2 3 1 1(x-2) 1(x-2) x-2 x-2 1(x-2) 1(x-2) 由上图可得方程x2-2x-3=0可化为(x-1)2=4 新知应用 请你尝试用这种方法解方程x2-2x-3=0. 1 1 18 思维提升 例2 试用配方法确定代数式x2+6x+11的最小值. 解：x2+6x+11 =x2+6x+9+2 =(x+3)2+2 ∵ (x+3)2≥0 ∴ (x+3)2+2≥2 即 x2+6x+11 ≥2 ∴x2+6x+11的最小值为2. 19 配方法的概念 配方法的一般步骤 特别提醒： 配方时，在方程两边都加上一次项系数一半的平方，是在二次项系数为1的前提下进行的. 课堂总结 当堂检测 基础过关 1.用配方法解方程 <m></m> 时，需在方程两边同时加上( ) A. 5 B. 25 C. 10 D. 100 B 2.用配方法解方程x2－2x＝2时，配方后正确的是 ( ) C A．(x＋1)2＝3 B． (x＋1)2＝6 C．(x－1)2＝3 D． (x－1)2＝6 21 当堂检测 基础过关 3. 一元二次方程y2－y－＝0配方后可化为___________. ＝1 4. 若一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k， 则k的值是 　1　⁠. 1　 5. 若x2－6x＋m2是一个完全平方式，则m的值是______. ±3 22 当堂检测 基础过关 7. 一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为____. 6. (1)x2－7x＋___＝(x－___)2；(2)x2＋x＋___＝(x＋__)2. 12 23 当堂检测 基础过关 8.用配方法解下列方程： (1) x2－2x－5＝0；　 x1＝1＋，x2＝1－ (2) x2＋4x＋8＝2x＋11; x1＝1，x2＝－3 24 当堂检测 综合提升 1.将一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a、b为常数)的形式，则a、b的值分别是(　　) A.－4，21 B.－4，11 C.4，21 D.－8，69 A 2. 对于任意实数x，多项式x2－2x＋3的值一定是(　　) A.非负数 B.正数 C.负数 D.无法确定 B 25 当堂检测 综合提升 3.已知方程 x2－6x+q＝0 配方后是 (x－p)2=7 ，那么方程 x2+6x+q=0 配方后是( ) A．(x－p)2=5 B．(x+p)2=5 C．(x－p)2=7 D．(x+p)2=7 D 26 当堂检测 综合提升 4. 将代数式x2＋6x＋7进行如下变形：x2＋6x＋7＝x2＋2·x·3＋9－9＋7＝(x＋3)2－2. 当x的值为 　－3　⁠时，(x＋3)2取得最小值，最小值为0，即(x＋3)2－2的最小值为－2，从而代数式x2＋6x＋7的最小值为　2　⁠.  －3　 －2 27 当堂检测 综合提升 5.用配方法解下列方程： (1)x2+4x-9=2x-11； (2)x(x+4)=8x+12. 解：(1) x2+2x+2=0， (x+1)2=-1. 此方程无解. (2) x2-4x-12=0， (x-2)2=16. x1=6，x2=-2. 28 当堂检测 综合提升 6.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－4k＋5的值必定大于零. 解：k2－4k＋5=k2－4k＋4＋1 =(k－2)2＋1 ∵(k－2)2≥0， ∴(k－2)2＋1≥1＞0. ∴k2－4k＋5的值必定大于零. 29 2021 Blues 4800.0 $$