专题02 等式与不等式(讲义)-备战2025年高考数学一轮复习《重难点题型•高分突破》（上海专用）

专题02 等式与不等式(讲义) 1、 等式与不等式 1.不等式的依据：实数的有序性，即a>b⇔a-b>0;a<b⇔a-b<0;a=b⇔a-b=0; 2. 等式与不等式的性质： 性质 等式 不等式 意义 a=b⇔a-b=0 a>b=a-b>0;a<b=a-b<0 传递性 a=b,b=c⇔a=c a>b,b>c=→a>c 加法性质 a=b⇔a+c=b+c a>b⇔a+c>b+c 推论 a=b,c=d→a+c=b+d a>b,c>d>a+c>b+d 推广 乘法性质 a=b→ac=bc a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc 推论 a=b,c=d=ac=bd a>b>0,c>d>0→ac>bd 推广 a₁=b,(i∈N,i≥2) →a₁a₂…an=b₁b₂…bn a₁ >b₁ >0(i∈N,i≥2) →a₁a₂…an>b₁b₂…bn。 乘方性质 a=b,n∈N,n≥1→an=bn a>b>0,n∈N,n≥1>an>bn>0 开方性质 a=b>0,n∈N,n≥1→>0 a>b>0,n∈N,n≥2→>＞0 倒数性质 a＞b，ab＞0 常用结论： 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 二、基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2.基本不等式的证明 （1）.代数证法 （2）.几何证法 如图，AB 是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE, 连接 AD,BD. 可证△ACD~△DCB, 因而 CD=√ab. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立. 例 已知a,b,c 都是正数，证明： 证明： 三、几个重要不等式 1．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 四、最值定理 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 五、三角不等式 ①|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立） ②|a-b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≤0时，等号成立） ③||a|-|b||≤|a+b|（当且仅当ab≤0时，等号成立） ④||a|-|b||≤|a-b|（当且仅当ab≥0时，等号成立） 即a、b∈R⇒||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 六、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 七、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 八、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 九、一元高次不等式及其解法 1、概念 只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式. 2、 一元高次不等式的解法 一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为 1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为0; 2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出 温馨提示:要仔细区分点的虚实. 3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线； 温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过. 4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集. 温馨提示: 1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正. 例：不等式的解集是_____________ 答案： 十、解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．　 十一、恒成立问题求参数的范围 1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式： （1）在R上恒成立； （2）在给定区间上恒成立； （3）给定参数范围的恒成立． 处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法． 2.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 3.给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a． 4.给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 一、单选题 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．不等式解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 6．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 7．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 9．已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 10．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 11．已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 13．已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 14．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 15．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 16．已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 17．已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．设，，则三个数（     ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 20．已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 二、填空题 21．已知实数满足，则的取值范围是 ． 22．已知：，则大小关系是 ． 23．若实数，且，则的取值范围是 . 24．不等式的解集为 ． 25．关于x 的不等式 的解集是 . 26．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 27．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 28．已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为 ． 29．已知实数满足且，则的最小值是 30．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 31．对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 32．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 33．已知函数（），集合，，若，则的取值范围为 . 三、解答题 34．解不等式： (1)； (2)． 35．解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 36．（1）求不等式的解集； （2）已知，若的最小值为3，求实数a的值； （3）若不等式对于任意非零实数a恒成立，求实数x的取值范围． 37．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式 (2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 38．已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 39．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． (1)记，求证：为型函数； (2)设，记，若是型函数，求的取值范围； (3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． ( 第 3 页 共 8 页 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 等式与不等式(讲义) 1、 等式与不等式 1.不等式的依据：实数的有序性，即a>b⇔a-b>0;a<b⇔a-b<0;a=b⇔a-b=0; 2. 等式与不等式的性质： 性质 等式 不等式 意义 a=b⇔a-b=0 a>b=a-b>0;a<b=a-b<0 传递性 a=b,b=c⇔a=c a>b,b>c=→a>c 加法性质 a=b⇔a+c=b+c a>b⇔a+c>b+c 推论 a=b,c=d→a+c=b+d a>b,c>d>a+c>b+d 推广 乘法性质 a=b→ac=bc a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc 推论 a=b,c=d=ac=bd a>b>0,c>d>0→ac>bd 推广 a₁=b,(i∈N,i≥2) →a₁a₂…an=b₁b₂…bn a₁ >b₁ >0(i∈N,i≥2) →a₁a₂…an>b₁b₂…bn。 乘方性质 a=b,n∈N,n≥1→an=bn a>b>0,n∈N,n≥1>an>bn>0 开方性质 a=b>0,n∈N,n≥1→>0 a>b>0,n∈N,n≥2→>＞0 倒数性质 a＞b，ab＞0 常用结论： 1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 2.有关分式的性质 (1)若a>b>0，m>0，则<；>(b－m>0). (2)若ab>0，且a>b⇔<. 二、基本不等式 1．基本不等式：≤ (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0. (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2.基本不等式的证明 （1）.代数证法 （2）.几何证法 如图，AB 是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE, 连接 AD,BD. 可证△ACD~△DCB, 因而 CD=√ab. 由于CD小于或等于圆的半径，用不等式表示为 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立. 例 已知a,b,c 都是正数，证明： 证明： 三、几个重要不等式 1．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤2 (a，b∈R)． (4)≥2 (a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 四、最值定理 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2. (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 五、三角不等式 ①|a+b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≥0时，等号成立） ②|a-b|≤|a|+|b|（当且仅当ab≤0时，等号成立） ③||a|-|b||≤|a+b|（当且仅当ab≤0时，等号成立） ④||a|-|b||≤|a-b|（当且仅当ab≥0时，等号成立） 即a、b∈R⇒||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b| 六、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两相异 实根x1， x2(x1<x2) 有两相等实 根x1＝x2 ＝－ 没有 实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} {x|x≠x1} {x|x∈R } ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ 七、分式不等式 （1） （2） （3） （4） 八、绝对值不等式 （1） （2）； ； （3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解 九、一元高次不等式及其解法 1、概念 只含有一个未知数，最高次项的次数高于二次的不等式称为高次不等式. 2、 一元高次不等式的解法 一元高次不等式的常用解法是数轴标根法，又称穿针引线法，其具体步骤为 1.化形：将不等式的一侧化为一次因式或二次不可约因式的积，且每个因式最高次项的系数为正，另一侧化为0; 2.求根，标根；求出各因式所对应的方程的根，在数轴上依次标出 温馨提示:要仔细区分点的虚实. 3.画曲线；数轴的最右端上方起，从右到左依次经过各个根画曲线； 温馨提示:奇次重根穿过数轴，偶次重根穿而不过. 4.写解集：在数轴上画出曲线后，根据不等号的方向，写出不等式的解集. 温馨提示: 1.考虑端点是否能取到；2.各因式中最高次项系数必须为正. 例：不等式的解集是_____________ 答案： 十、解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类． (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数． (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．　 十一、恒成立问题求参数的范围 1.一元二次不等式的恒成立问题对一元二次不等式的恒成立问题的考查常有以下几种形式： （1）在R上恒成立； （2）在给定区间上恒成立； （3）给定参数范围的恒成立． 处理此类问题的常用方法有：①分参法；②函数法；③变换主元法． 2.一元二次不等式在R上恒成立的条件 (1)不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ (2)不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)对任意实数x恒成立⇔ 注意：只要二次项系数含参数，必须讨论二次项系数为零的情况． 3.给定区间上的恒成立问题的求解方法 (1)函数法：若f(x)>0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围． (2)分参法：转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a． 4.给定参数范围的恒成立问题解法 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． 一、单选题 1．已知，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误. 【解析】，即，故选项A正确； 当时，满足，但，此时，，故选项B，C错误； 当时，由可得，故选项D错误. 故选:A． 2．若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A、D，可借助特殊值法举出反例即可得；对B、C，借助不等式的基本性质即可得. 【解析】对A，令，，有，故A错误； 对B，由，故，故B错误； 对C，， 即只需，，由，故，故C正确； 对D，令，有，故D错误. 故选：C. 3．下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【解析】解：对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 4．已知为实数，且，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对于A，利用基本不等式判断，对于B，由已知结合完全平方式判断，对于C，举例判断，对于D，利用基本不等式判断 【解析】对于A，由基本不等式可知当时，，当且仅当时取等号，所以A正确， 对于B，因为，，所以，且，所以，当且仅当时取等号，所以B正确， 对于C，若，则，所以C错误， 对于D，因为，，所以，且，所以，，所以且，所以D 正确， 故选：C 5．不等式解集为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】解高次不等式使用穿根法求解. 【解析】根据高次不等式的解法，使用穿根法如图得不等式的解集为或或 故选：D. 6．函数的最小值是（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式即可得解. 【解析】因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 则的最小值是. 故选：D. 7．已知，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】用基本不等式求解即可. 【解析】因为， 所以，当且仅当即时取等号； 故选：B 8．函数的最小值为（    ） A．2 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】由基本不等式即可求解. 【解析】由可得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 故选:D 9．已知正数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本不等式直接计算即可. 【解析】由题意得，，则， ，即， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 10．若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解析】，，由得， 故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A 11．已知实数，，满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得. 【解析】实数，，由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 12．对任意给定的实数a，b，有，且等号当且仅当（    ）成立． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据取等号时的等式分析出之间的关系，然后再逐项分析选项是否与所得到的之间的关系等价即可. 【解析】当不等式取等号时有， 所以，所以， 所以，所以， 所以或， 对于A：等价于或，不满足； 对于B：等价于或，不满足； 对于C：等价于或，不满足； 对于D：等价于或，即为或，满足； 故选：D. 13．已知都是实数，实数满足，实数满足，判断以下哪个选项正确（   ） A．对任意的实数、，恒有成立 B．若，则 C．若，则， D．不存在实数、，使得 【答案】A 【分析】利用绝对值三角不等式可判断A选项；绝对值三角不等式成立的条件可判断BC选项；取可判断D选项. 【解析】对于A选项，由绝对值三角不等式可得， 当且仅当时，等号成立，A对； 对于B选项，由A选项可知，当时，，即， 则不一定成立，B错； 对于C选项，由A选项可知，当时，，即， 则，不一定成立，C错； 对于D选项，取，则，D错. 故选：A. 14．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用数形结合计算出，再在中，利用勾股定理得，再由，可得结论． 【解析】设，可得圆的半径为， 又由， 在中，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 故选：D. 15．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应一元二次方程的根之间的关系求出的值，再解不等式. 【解析】根据题意，方程的两根为2和3， 则， 则为，其解集为. 故选：D. 16．已知的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据二次方程和不等式根与系数的关系确定a,b,c的关系，代入不等式得解集 【解析】已知的解集为， 则的两根为和2， 所以，即， 代入不等式，化简整理得， 因为，故， 不等式的解集为或. 故选：C 17．已知甲：，乙：关于的不等式，若甲是乙的必要不充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将乙中的分式不等式化为二次不等式求解，再由必要不充分条件得到集合的包含关系，结合数轴求参数范围即可. 【解析】甲：，设此范围对应集合； 由， 则乙：， 设此范围对应集合， 若甲是乙的必要不充分条件，则，其中必不成立； 则，所以. 故选：A. 18．关于的方程有两个不相等的实数根，且，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】说明时，不合题意，从而将化为，令，结合其与x轴有两个交点，且分布在1的两侧，可列不等式即可求得答案. 【解析】当时，即为，不符合题意； 故，即为， 令， 由于关于的方程有两个不相等的实数根，且， 则与x轴有两个交点，且分布在1的两侧， 故时，，即，解得，故， 故选：D 19．设，，则三个数（     ） A．都小于4 B．至少有一个不大于4 C．都大于4 D．至少有一个不小于4 【答案】D 【分析】由题意知利用反证法推出矛盾，即可得正确答案． 【解析】假设三个数且且，相加得： ，由基本不等式得： ；；； 相加得：，与假设矛盾； 所以假设不成立， 三个数、、至少有一个不小于4． 故选． 【点睛】本题考查反证法和基本不等式的应用，属于简单题． 20．已知，，若，则对此不等式描述正 确的是 A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形 B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形 D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形 【答案】B 【解析】本题可用排除法，由， 对于，若，可得，故不存在这样的错误，排除；对于时，成立，而以为边的三角形不存在，错误，排除；对于时，成立，存在以为边的三角形为直角三角形，故错误，排除故选B. 【 方法点睛】本题主要考查不等式的性质、排除法解选择题，属于难题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前 项和公式问题等等. 二、填空题 21．已知实数满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【解析】由可得，所以， 故答案为： 22．已知：，则大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用作差法结合不等式性判断作答. 【解析】由，得，因此， 显然，则， 所以大小关系是. 故答案为： 23．若实数，且，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先得到，并根据得到，从而求出. 【解析】因为，故， 由得，解得， 故. 故答案为： 24．不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式通过移项，通分，转化为二次不等式求解，但要注意除去使分母为零的数值即可 【解析】 即 解得不等式的解集为 故答案为： 25．关于x 的不等式 的解集是 . 【答案】 【分析】不等式可化简为，计算即可. 【解析】不等式整理的5x+1>4x-2，解得x>-3，又因为2x-1≥0，所以， 所以不等式的解集为, 故答案为： 26．函数y＝x＋（x≥2）取得最小值时的x值为 ． 【答案】2 【分析】令x＋1＝t(t≥3)，则有＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增，当t＝3时，即可求解. 【解析】依题意， y＝x＋＝x＋1＋－1(x≥2)， 设x＋1＝t(t≥3)．因为f(t)＝t＋－1在[3,＋∞)上单调递增， 所以当t＝3，即x＝2时，y＝x＋(x≥2)取得最小值． 故答案为：2. 27．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1500步有树，出南门1200步能见到此树，则该小城的周长的最小值为 里（注：1里=300步）． 【答案】 【分析】根据题目条件得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【解析】设该小城的长宽分别为，，步里，步里， 则，即， 故周长为，当且仅当时等号成立. 故答案为：. 28．已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为 ． 【答案】 【分析】根据基本不等式求得的最大值，结合对勾函数单调性，即可求得结果. 【解析】，∴，， 令，， 当时，，与已知矛盾； 当时，在单调递减， ∴， 解得或（舍去）， ∴的取值集合． 故答案为：. 29．已知实数满足且，则的最小值是 【答案】 【分析】根据绝对值的性质分析可知，解不等式即可得结果. 【解析】因为， 则， 且，则，可得，解得， 所以的最小值是. 故答案为：. 30．已知关于的不等式有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用绝对值不等式求得的最小值，从而利用能成立问题得到，解之即可得解. 【解析】因为， 当且仅当时，等号成立， 因为有解，所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 31．对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先若满足不等式恒成立，即，利用绝对值三角不等式求最小值，最后解不等式求的取值范围. 【解析】， 若满足不等式对于任意实数x恒成立， 即 ，即或 ， 解得：. 故答案为：. 32．若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，求出的最大值，则，解不等式即可得出答案. 【解析】因为， 关于的不等式有解， 即，所以，解得： 则实数的取值范围是. 故答案为： 33．已知函数（），集合，，若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】先根据，利用求得的范围，再求出集合，利用，即可求解. 【解析】解：， 即有解， 由知：， 解得：或， 又， ， 令， 解得：， 故， ， 令， 即， 又， 易知：， ， 故， 即， 又， 故恒成立， 即， 又， 即， 即， 解得：， 又， . 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用得出. 三、解答题 34．解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题可得，即得. 【解析】（1）由，可得， ∴， 解得或， 所以原不等式的解集为或. （2）由可得，， ∴，解得， 所以原不等式的解集为. 35．解下列一元二次不等式： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)或 【分析】依据二次不等式解法程序去求解即可. 【解析】（1）二次方程有二重根， 则不等式的解集为 （2）二次方程有二根， 则不等式的解集为 （3）不等式可化为 由可知，二次方程无根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 （4）不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 （5）不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为 故不等式的解集为 （6）不等式可化为 二次方程有二根， 则不等式的解集为或 故不等式的解集为或 36．（1）求不等式的解集； （2）已知，若的最小值为3，求实数a的值； （3）若不等式对于任意非零实数a恒成立，求实数x的取值范围． 【答案】（1）或（2）1 （3） 【分析】（1）将不等式等价转换为一元二次不等式，从而即可求解. （2）对分类讨论即可得到，结合已知即可求解. （3）将原不等式等价转换为，然后证明引理：，恒有，结合引理即可求解. 【解析】（1）由题意 ， 解不等式得或， 所以不等式的解集为或. （2）由题意， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，当且仅当时，， 解得符合题意，故实数的值为1. （3）由题意不等式对于任意非零实数a恒成立， 等价于， 所以只需， 我们先来证明如下引理：，恒有， 因为， 所以， 即， 从而，等号成立当且仅当即，引理得证. 由以上引理得，即， 所以， 且注意到，等号成立当且仅当即， 因此，等号成立当且仅当， 综上所述：实数x的取值范围为. 37．建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容．习近平指出：“绿水青山就是金山银山”．某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其调研小组研究发现：一棵水果树的产量（单位：千克）与肥料费用（单位：元）满足如下关系：．此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等）元．已知这种水果的市场售价为16元千克，且市场需求始终供不应求．记该棵水果树获得的利润为（单位：元）． (1)求的函数关系式 (2)当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元． 【分析】（1）根据题意可得，则化为分段函数即可， （2）根据分段函数的解析式即可求出最大利润． 【解析】（1）； （2）当时，，对称轴为, 当时，， 当时， 当且仅当时等号成立 答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树获得的最大利润是430元． 38．已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【解析】（1）根据题意，当，即时，，不合题意； 当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． （2），即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. （3），即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 39．如果函数满足以下两个条件，我们就称为型函数． ①对任意的，总有； ② 当时，总有成立． (1)记，求证：为型函数； (2)设，记，若是型函数，求的取值范围； (3)是否存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，理由见解析 【分析】（1）证明函数满足型函数的定义即可； （2）根据是型函数，则由其满足条件①推出，再结合其满足条件②得关于b的不等式，利用构造函数，结合函数最值，即可求得答案； （3）举出具体函数，说明其满足型函数的定义，即可得结论. 【解析】（1）当时，， 当，，时， ，， 则， ，， ，为型函数. （2）当时，由得， 当，，时， ，， 由，得， 即，即， 即， 令， 则对称轴， 所以在上的最小值为，只要，则， 因为， 所以． （3）存在，举例1：． 理由如下：当时，符合； 当，，时， ，， ，， 故， ，即， 即是型函数，且对任意的，存在，使得等式成立； 举例2：； 理由如下：当时，，符合， 当，，时， ，， ， ， 即，即是型函数， 且对任意的，都存在，使得等式成立. 由此可知存在型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立. 【点睛】关键点睛：解答此类给出新的函数定义的题目，解答的关键是要理解题中所给的新的函数定义的含义，明确其满足的条件，然后按照其需满足的条件求解即可. 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