3.6 课时2 切线的判定及三角形的内切圆 课件 -2023-2024学年北师大版九年级数学下册

3.6 直线和圆的位置关系 课时2 切线的判定及三角形的内切圆 d r; d r; 直线和圆相切 直线和圆相离 d r. ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 r r r ┐d d ┐ d ┐ < = > 直线和圆相交 知识回顾 砂轮上打磨工件时飞出的火星 下图中让你感受到了直线与圆的哪种位置关系？如何判断一条直线是否为圆的切线呢？ 情境引入 如图，在⊙O中，经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA，则圆心 O 到直线 l 的距离是多少？直线 l 和⊙O有什么位置关系？ 圆心O到直线l的距离就是OA的长度，也就是r 直线l与⊙O是相切关系 l O A ┐ 知识点一：切线的判定 获取新知 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 切线的判定定理 应用格式 OA为⊙O的半径 l ⊥ OA于A l为⊙O的切线 l O A ┐ 切线的判定方法有三种： ①定义法：直线与圆有唯一公共点； ②数量法：圆心到直线的距离等于该圆的半径； ③切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线. l l r d A l O 类型一：有交点，连半径，证垂直 例1 如图，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30°. 求证：DC是⊙O的切线． 例题讲解 证明：如图，连接OC，BC. ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°. ∵∠CAB＝30°， ∴BC＝ AB＝OB. 又∵BD＝OB， ∴BC＝BD＝OB＝ OD， ∴∠OCD＝90°. ∴DC是⊙O的切线． 类型二：无交点，作垂直，证半径 例2 如图,△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC的中点，⊙O 与AB 相切于E.求证：AC 是⊙O 的切线． B O C E A 证明：连接OE ，OA, 过O 作OF ⊥AC. ∵⊙O 与AB 相切于E ， 又∵△ABC 中，AB ＝AC ，O 是BC 的中点． ∴AO 平分∠BAC， ∴OE ＝OF. ∵OE 是⊙O 半径，OF ＝OE，OF ⊥ AC. ∴AC 是⊙O 的切线． 又∵OE ⊥AB ，OF⊥AC. F B O C E A ∴OE ⊥ AB. 知识点二：三角形的内切圆 如何作圆，使它和已知三角形的各边都相切？ 已知：△ABC. 求作：和△ABC的各边都相切的圆I. 分析：如果圆I与△ABC的三条边都相切，那么圆心I到三条边的距离都等于______，从而这些距离相等. 半径 到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是∠A 的_______与∠B的_______的___点. 平分线 平分线 交 A B C 获取新知 作法： 1.作∠B和∠C的平分线BM和CN，交点为I. 2.过点I作ID⊥BC.垂足为D. 3.以I为圆心，ID为半径作圆I. ☉I就是所求的圆. M N D I A B C 与△ABC的三条边都相切的圆有几个？ 因为∠B和∠C的平分线的交点只有一个,并且交点O到△ABC三边的距离相等且唯一，所以与△ABC三边都相切的圆有且只有一个. D 1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆. B 2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 4.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点. ┐ A C O ┐ ┐ D E F 3.三角形的内心到三角形的三边的距离相等. ⊙O是△ABC的内切圆，点O是△ABC的内心. 归纳总结 名称 确定方法 图形 性质 外心：三角形外接圆的圆心 内心：三角形内切圆的圆心 三角形三边中垂线的交点 1.OA=OB=OC 2.外心不一定在三角形的内部． 三角形三条角平分线的交点 1.到三边的距离相等； 2.OA、OB、OC分别 平分∠BAC、∠ABC、∠ACB 3.内心在三角形内部． A B O A B C O 议一议 例3 △ABC中，⊙O是△ABC的内切圆，∠A=70°，求∠BOC的度数. A B C O 解：∵∠A=70° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° ∵⊙O是△ABC的内切圆 ∴BO,CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线 即∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB 例题讲解 例4 如图，点O为∠MPN的平分线上一点，以点O为圆心的⊙O与PN相切于点A. 求证：PM为⊙O的切线． 易错点：判定直线与圆相切时理由不充分. 如图，连接OA，过点O作OB⊥PM于点B. ∵PN与⊙O相切于点A， ∴OA⊥PN. ∵点O在∠MPN的平分线上， OB⊥PM， ∴OB＝OA. ∴点O到直线PM的距离等于⊙O的半径． ∴PM为⊙O的切线． 证明： 1.如图,直线l上有A,B,C,D四点,以点P为圆心,分别以线段PA,PB,PC,PD的长为半径作圆,所得的圆与直线l相切的是(　　) A.以PA的长为半径的圆 B.以PB的长为半径的圆　 C.以PC的长为半径的圆　 D.以PD的长为半径的圆 C 随堂演练 2.如图所示，A是☉O上一点，且AO=5,PO=13,AP=12,则PA与☉O的位置关系是 . 相切 3. 如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线.如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数为　　时,AC才能成为☉O的切线. 60 A P O 第4题 4. 如图,D是∠AOB的平分线OC上任意一点,过点D作DE⊥OB于点E,以DE为半径作☉D.求证:OA是☉D的切线. 证明:如图,过点D作DF⊥OA于点F. ∵D是∠AOB的平分线OC上任意一点,DE⊥OB, ∴DF=DE, 即D到直线OA的距离等于☉D的半径DE, ∴OA是☉D的切线. 课堂小结 $$