3.6 课时1 直线和圆的位置关系及切线的性质 课件 2023-2024学年北师大版九年级数学下册

3.6 直线和圆的位置关系 课时1 直线和圆的位置关系及切线的性质 点和圆的位置关系有哪几种？ （1）d<r （2）d=r （3）d>r 点A在圆内 点B在圆上 点C 在圆外 三种位置关系 d A B C O 点到圆心距离为d ⊙O半径为r r 知识回顾 知识点一：直线与圆的位置关系 清晨,一轮红日从东方冉冉升起,太阳的轮廓就像一个运动的圆,从地平线下渐渐升到空中.在此过程中,太阳轮廓与地平线有几种不同的位置关系呢? a地平线 a(地平线) ●O ●O ●O 获取新知 作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺 ●O ●O 相交 ●O 相切 相离 直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点A）. A l O 直线与圆的 位置关系 图形 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 位置关系 公共点个数 问题1 刚才同学们用直尺移近圆的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还发现有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？ 相关知识： 点到直线的距离是指从直线外一点（A)到直线(l)的垂线段(OA)的长度. l A O 圆心到直线的距离 在发生变化； 首先距离大于半径， 而后距离等于半径， 最后距离小于半径. 问题2 怎样用d(圆心与直线的距离)来判别直线与圆的位置关系呢？ O d d>r 直线l与⊙O相离 d=r 直线l与⊙O相切 d<r 直线l与⊙O相交 d表示圆心O到直线l的距离， r表示⊙O的半径 r r r 数形结合： 位置关系 数量关系 公共点个数 例1 已知 Rt△ABC的斜边 AB= 8 cm, AC= 4 cm. (1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时， AB与⊙O相切？ (2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？ B C A 8 4 解：(1)如图,过点C作AB的垂线，垂足为D. ∵AC = 4cm,AB = 8 cm, ∴cosA= ∴ ∠ A = 60°. ∴ CD = ACsinA = 4 sin 60° = (cm). 因此，当半径长为 cm时，AB与⊙C相切. B C A D 问题 对于例1(1)，你还有其他解法吗？ B C A D ∴ 解：过C作CD⊥AB，垂足为D. 在△ABC中， AB= 根据三角形的面积公式有 因此，当半径长为4.8cm时，AB与圆C相切. (2) 由(1)可知，圆心C到AB的距离 d = cm,所以 当r = 2cm时，d>r, ⊙C与AB相离； 当r = 4cm时，d<r，⊙C与AB相交. 知识点二：切线的性质 如图,直线CD与⊙O相切于点A,直径AB与直线CD有怎样的位置关系?说说你的理由. C D B ●O A 小颖的理由是: ∵右图是轴对称图形,AB是对称轴, ∴沿直线AB对折图形时,AC与AD重合,因此∠BAC=∠BAD=90°. AB与CD垂直 获取新知 小亮的理由是:通过反证法. （1）假设AB与CD不垂直,过点O作一条直径垂直于CD,垂足为M, （2）则OM<OA,即圆心到直线CD的距离小于⊙O的半径, 因此CD与⊙O相交.这与已知条件“直线与⊙O相切”相矛盾. （3）所以AB与CD垂直. C D B ●O A M 切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． ∵直线l是⊙O 的切线，A是切点， ∴直线l ⊥OA. 应用格式 A l O r ┐ 例2 如图，PA为⊙O的切线，切点为A，OP = 2，∠APO=30° ，求⊙O的半径. 解：连接OA，则OA为⊙O的半径， 因为PA是⊙O的切线，所以OA⊥AP，又∠APO＝30°，OP＝2， 所以OA＝ OP＝1，即⊙O的半径为1. 利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题. 归纳总结 1. 若直线m与⊙O的公共点个数为2，则直线m与⊙O的位置关系是(　　) A．相交 B．相切 C．相交或相切 D．相离 A 随堂演练 2. ☉O的半径为5,直线l上的一点到圆心O的距离是5，则直线l与☉O的位置关系是（ ） A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能 A 3. 如图,在△ABC中,AB=5,BC=3,AC=4,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为(　　) A.2.3 B.2.4 C.2.5 D.2.6 B 4. 如图,C为☉O外一点,CA与☉O相切,切点为A,AB为☉O的直径,连接CB.若☉O的半径为2,∠ABC=60°,则BC=　 . 8 课堂小结 $$