2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质 1.会画二次函数y=a(x-h)2 和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的性质. 3.比较函数y=ax2 、 y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2+k (a ≠0)之间的联系. 学习目标 画出二次函数 的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点． x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ··· ··· ··· ··· ··· －2 －2 0 0 －2 －2 －2 2 －2 －4 －6 4 －4 0 x y 二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 -8 －4 获取新知 x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向下 直线x=-1 ( -1 , 0 ) 直线x=0 直线x=1 向下 向下 ( 0 , 0 ) ( 1, 0) 对于函数 ，x取哪些值时， y值随x值的增大而增大？ x取哪些值时， y值随x值的增大而减小？ 函数 ( 或 ) 当x>1 (x>0 或 x>-1)时， y值随x值的增大而增大; 当x<1 (x<0 或 x<-1)时， y值随x值的增大而减小. 类似地，可以得出二次函数 y=a(x-h)2的下列性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,0） （h,0） 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 归纳总结 例1 若抛物线y＝3(x＋ )2的图象上有三个点，A(－3 ，y1)，B(－1，y2)，C(0，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为________________． 解析：∵抛物线y＝3(x＋ )2的对称轴为x＝－ ，a＝3＞0，∴x＜－ 时，y随x的增大而减小；x＞－ 时，y随x的增大而增大．∵点A的坐标为(－3 ，y1)，∴点A在抛物线上的对称点A′的坐标为( ，y1)．∵－ ＜ 1＜0＜ ，∴y2＜y3＜y1.故答案为y2＜y3＜y1. y2＜y3＜y1 例题讲解 向右平移 1个单位 问题1：抛物线 ， 的图象与抛物线 的图象有什么关系？ x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 向左平移 1个单位 二次函数y=ax2的图象与y=a(x-h)2的图象的关系 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到(h>0). 平移规律： 括号内左加右减，括号外不变. y=a(x-h)2 当向左平移 ︱h︱ 时 y=a(x+h)2 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a的值和平移后的函数关系式． 解：二次函数y＝ax2的图象向右平移3个单位后的二次函数关系式可表示为y＝a(x－3)2， 把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ， ∴平移后二次函数关系式为y＝ (x－3)2. 探究1. 画出函数 的图象. 指出它的开口方向、顶点、对称轴与增减性. 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 … … … … 2 1 0 -1 -2 -3 -4 x 解：先列表 再描点、连线 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 直线x=－1 开口方向向下； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-1); x＜-1时，y随x的增大而增大；x＞-1时，y随x的增大而减小. 开口方向向上； 对称轴是直线x=-1; 顶点坐标是(-1,-2); x＜-1时，y随x的增大而减小；x＞-1时，y随x的增大而增大. -2 2 x y O -2 4 6 8 -4 2 4 探究2. 画出函数y= 2（x+1）2-2图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点及增减性. 解：列表（略）、描点、连线，画图如右侧： 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h 直线x=h （h,k） （h,k） 当x=h时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 例3 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对称轴分别是(　　) A．向下、(1，2)、直线x＝1　　 B．向上、(－1，2)、直线x＝－1 C．向下、(－1，2)、直线x＝－1 D．向上、(1，2)、直线x＝1 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向上，顶点坐标为(1， 2)，对称轴为直线x＝1，故选D. 解析： D 本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质，结合图象进行判断 15 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法1 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 想一想 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2+k的关系 可以看作互相平移得到的(h>0，k>0). y = ax2 y = ax2 + k y = a(x - h )2 y = a( x - h )2 + k 上下 平移 左右 平移 上下 平移 左右 平移 平移规律 简记为： 上下平移， 括号外上加下减； 左右平移， 括号内左加右减. 二次项系数a不变. 1. 将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函数 y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是(　　) A．向上平移1个单位　　B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位　　D．向右平移1个单位 C 随堂练习 2.对于抛物线y=- (x−2）2+6，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=2； ③顶点坐标为（2，6）； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 3.已知y＝ (x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________． 解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)， 则另一个交点坐标是(5，0)． (5，0) 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 4.完成下列表格: 5.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到? 解：由抛物线向上平移7个单位再向右平移3个单位得到的. 二次函数y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2+k的图象和性质 图象特点 当a>0,开口向上；当a<0,开口向下 平移规律 左右平移：括号内左加右减 上下平移：括号外上加下减 开口方向 对称轴 顶点坐标 直线x=h (h,0) 函数性质 a＞0，当x>h时，y随x的增大而增大; 当x<h时，y随x的增大而减小; a＜0，当x>h时，y随x的增大而减小; 当x<h时，y随x的增大而增大 课堂小结 $$