2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

2.2 课时3 二次函数 y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质 1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象的影响．(重点) 2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系，理解抛物线的平移规律．（难点） 学习目标 我们已经学习过二次函数y＝ax2＋c的图象可以由函数y＝ax2的图象经过上下平移得到.那么如果将函数y＝ax2的图象左右平移呢？它左右平移后又会得到怎样的函数形式，它又有哪些性质呢？ 我们已经认识了二次函数y＝2x2的图象，那么二次函数y＝2（x-1）2的图象与y＝2x2的图象有什么关系呢？本节课我们将继续研究有关问题． x y O －2 2 2 4 6 4 －4 8 y＝2x2 情境引入 探究一：二次函数y=a（x-h）2的图象和性质 做一做：画二次函数y＝2(x－1)2的图象． （1）完成下表： x －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y＝2x2 y＝2(x－1)2 观察上表，你能发现2(x－1)2与2x2的值有什么关系？ 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 32 18 8 2 0 2 8 18 探究新知 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 你是怎么画的，与同伴进行交流. （2）在图中画出y=2(x－1)2的图象. 可以用描点法画图. x=1 议一议：（1）二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？ O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2x² y=2(x-1)² 向上 向上 y轴 （直线x=0） 直线x=1 ( 0, 0) ( 1, 0) （2）二次函数y=2(x-1)2中，x取哪些值时，y值随x的值增大而增大？当x取哪些值时，y值随x的值增大而减小？ 抛物线 增减性 y=2x² y=2(x-1)² 当x＜0时，y随x的增大而减小； 当x＞0时，y随x的增大而增大. 当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大. O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 结论： 将函数y=2x2的图象向 平移 _个单位就得到y=2(x-1)² 的图象. 右 1 （3）二次函数y=2(x-1)2 的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？ 二次函数y=2(x-1)²的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同． O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 x=1 议一议：类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图象有什么关系吗？ 结论： 将y=2x2 的图象向 平移 个单位就得到y=2(x+1)² 的图象. 左 1 O x y 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 –5 –4 –3 –2 –1 –3 –2 –1 y=2x2 y=2(x–1)2 y=2(x+1)2 二次函数y=2(x+1)²的图象与y=2x2 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同． x=1 x=-1 二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x+1)²的图象的关系 向左平移 1个单位 向右平移 1个单位 y=2x² y=2(x-1)² y=2(x+1)² 左右平移规律：括号内左加右减；括号外不变. 二次函数y=a（x-h）2的顶点坐标为(h，0）. 它们的图象都是 ，并且形状 ，开口方向 ，只是位置不同. 抛物线 相同 相同 顶点(0，0） 顶点(1，0） 顶点(-1，0） 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系 可以看作互相平移得到(h>0). 左右平移规律： 括号内左加右减；括号外不变. 当向左平移 ︱h︱ 时 当向右平移 ︱h︱ 时 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x+h)2 知识要点 例1：抛物线y=-3(x+2)2可以由抛物线y=-3x2向 平移 个单位得到。 它的图象开口向 ，对称轴是 ，顶点坐标 . 当x 时，y随x的增大而增大； 当x 时，y随x的增大而减小. 左 2 下 直线x=-2 （-2，0） ＜-2 ＞-2 典型例题 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时， 向下 x=h (h,0) 当x=h时， y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二次函数 y=a(x-h)2的性质 顶点(-3,0） 顶点(-3，） 顶点(0,0） 探究二：二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 向左平移3个单位 y=2x2 y=2(x+3)2 向下平移个单位 想一想：由二次函数y=2x²的图象，你能得到二次函数的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流. 平移方法1 向左平移3个单位 向下平移个单位 顶点(0,） 顶点(-3，） 顶点(0,0） y=2x2 向下平移个单位 向左平移3个单位 平移方法2 向下平移个单位 向左平移3个单位 y=2x2 议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？ 一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关. y=a (x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 向上 直线x=h （h，k） 向下 直线x=h （h，k） 二次函数y=ax2 （a≠0）与y=a（x-h)2+k（a≠0）的关系 y = ax2（a≠0） y = a( x - h )2 + k（a≠0） 平移规律简记为： 上下平移，括号外上加下减；左右平移，括号内左加右减. 二次项系数a不变. 顶点(0，0) 顶点(h，k) 顶点式 例2:若将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）． A．y=(x+2)2+2　　　　　B．y=(x+2)2-2 C．y=(x-2)2+2　　　　　 D．y=(x-2)2-2 B 二次函数 y=a(x-h)2+k的性质 y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 例3：对于抛物线y=-（x+1）2+3，下列结论： ① 抛物线的开口向下；② 对称轴为直线x=1； ③ 顶点坐标为（-1，3）；④ x>1 时，y 随x 的增大而减小. 其中正确结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 分析：①∵ a=-1<0，∴抛物线的开口向下，正确； ②对称轴为直线x=-1，错误； ③顶点坐标为（-1，3），正确； ④ x>1 时，y 随x 的增大而减小，正确. 综上所述，结论正确的是①③④，共3 个，故选C. 1.将抛物线 沿x轴向左平移2个单位，再沿y轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）． A． B． C． D． 2.由二次函数y=2(x-3)2+1，可知（ ）． A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线x=-3 C．其最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大 B C 随堂练习 3.对于抛物线y=(x−2）2+6，下列结论： ①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线x=2； ③顶点坐标为（2，6）； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（　 ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 4.抛物线y＝2x2先向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为　 　； 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, －2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , －6 ) 向上 直线x=－3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (－3, 5 ) y=－3(x－1)2－2 y = 4(x－3)2＋7 y=－5(2－x)2－6 5.完成下列表格: 6.函数y＝5(x－3)2－2的图象可由函数y＝5x2的图象先向 平移　 个单位，再向　 平移　 个单位得到； 右 下 2 3 平移规律 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 左右平移：括号内左加右减； 上下平移：括号外上加下减. y=a(x-h)2+k a＞0 a＜0 开口方向 对称轴 顶点坐标 最值 增减性 向上 向下 直线x=h （h,k） 当x=h时，ymin=k 当x=h时，ymax=k 当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＜h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小； 课堂小结 　y＝2(x＋1)2＋3　 $$