2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质课件2023-2024学年北师大版数学九年级下册

第二章 二次函数 2.2 课时3 二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象与性质 1.会画二次函数y=a(x-h)2 和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k (a ≠0)的性质. 3.比较函数y=ax2 、 y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2+k (a ≠0)之间的联系. 学习目标 2024/6/27 2 二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象特征. 图象特征 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y轴 (直线x=0) y轴 (直线x=0) (0,0) (0,c) a>0 向上 a>0 向上 a<0 向下 a<0 向下 x y 情境导入 2024/6/27 3 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 画二次函数 的图象. 1.列表:完成下表: x 2x 2(x-1) -3 -1 0 1 2 -4 3 -2 4 32 18 8 2 0 2 8 18 32 50 32 18 8 2 0 2 8 18 观察上表,你能发现2(x-1) 与2x 的值有什么关系? 探究新知 2024/6/27 4 2.在直角坐标系中画出 的图象.你是怎样画的? 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系? 2024/6/27 5 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y x>1 x<1 表达式 开口 对称轴 顶点 向上 y轴 (1,0) 最值 增减性 x<1 x>1 当x=1时, y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 2024/6/27 6 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 类似地,你能发现二次函数 的图象与二次函数 的图象有什么关系吗? 表达式 开口 对称轴 顶点 最值 向上 x=0 (0,0) 当x=0时, 向上 x=-1 (-1,0) 当x=-1时, 向上 x=1 (1,0) 当x=1时, 形状相同,位置不同 2024/6/27 7 2 4 -2 -4 0 3 6 9 x y 图象 图象 向左平移一个单位长度 向右平移一个单位长度 图象 2024/6/27 8 左右平移规律: 括号内左加右减. y=a(x-h)2 当h>0时,向右平移h个单位长度; 当h<0时,向左平移|h|个单位长度. 二次函数 的图象与 的图象的关系: y=ax2 归纳总结 2024/6/27 9 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>h x<h a>0 a<0 向上 x=h (h,0) y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 当x=h时, 向下 x=h (h,0) 当x=h时, y随x的增大而减小 y随x的增大而增大 二次函数 y=a(x-h)2的性质 2024/6/27 10 例:下列命题中,错误的是( ) A.抛物线y=- x2-1不与x轴相交 B.抛物线y= x2-1与y= (x-1)2形状相同,位置不同 C.抛物线y= 的顶点坐标为 D.抛物线y= 的对称轴是直线x= D 11 负半轴上,所以不与x轴相交;函数y= x2-1与y= (x-1)2的二次项系数相同,所以抛物线的形状相同, 因为对称轴和顶点的位置不同,所以抛物线的位置不同; 抛物线y= 的顶点坐标为 ;抛物线y= 的对称轴是直线x=- . 分析:抛物线y=- x2-1的开口向下,顶点在y轴的 12 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ? 平移方法1 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 2024/6/27 13 平移方法2 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 y O -1 -2 -3 -4 -5 -10 2024/6/27 14 一般地,平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的图象.因此,二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h, k的值有关. y=a (x-h)2+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 向上 直线x=h (h,k) 向下 直线x=h (h,k) 2024/6/27 15 例:对于抛物线y=-(x+1)2+3,下列结论: ① 抛物线的开口向下;② 对称轴为直线x=1; ③ 顶点坐标为(-1,3);④ x>1 时,y 随x 的增大而减小. 其中正确结论有( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 C 2024/6/27 16 分析:①∵ a=-1<0,∴抛物线的开口向下,正确; ②对称轴为直线x=-1,错误; ③顶点坐标为(-1,3),正确; ④ x>1 时,y 随x 的增大而减小,正确. 综上所述,结论正确的是①③④,共3 个,故选C. 2024/6/27 17 1. 将二次函数y=-2x2的图象平移后,可得到二次函数y=-2(x+1)2的图象,平移的方法是( ) A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移1个单位 C 随堂练习 18 2.对于抛物线y= - (x−2)2+6,下列结论: ①抛物线的开口向下; ②对称轴为直线x=2; ③顶点坐标为(2,6); ④当x>2时,y随x的增大而减小. 其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=2(x+3)2+5 向上 ( 1, -2 ) 向下 向下 ( 3 , 7) ( 2 , -6 ) 向上 直线x=-3 直线x=1 直线x=3 直线x=2 (-3, 5 ) y=-3(x-1)2-2 y = 4(x-3)2+7 y=-5(2-x)2-6 3.完成下列表格: 20 4. 要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? B(1,3) A x O y 1 2 3 1 2 3 解:如图建立直角坐标系, ∵这段抛物线经过点(3,0), ∴ 0=a(3-1)2+3. 解得: 因此抛物线的解析式为: y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3). 当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m. 3 4 a=- y= (x-1)2+3 (0≤x≤3) 3 4 - 因此可设这段抛物线对应的函数是 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 22 平移规律: 括号内:左加右减;括号外不变. 复习y=ax2+c 探索y=a(x-h)2的图象及性质 图象的画法 图象的特征 描点法 平移法 平移关系 y=ax2 课堂小结 $$