第05讲 二次函数的应用 （2个知识点+2种经典题型+试题练习）-2024年新九年级数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第05讲 二次函数的应用 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【例1】（2024•安徽三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为　　 A． B． C． D． 【变式1】（2023秋•杜集区校级月考）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离　　米． 【变式2】（2024•阜阳三模）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：与运行的水平距离（单位：满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是　　 A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 【变式3】（2024•金安区校级二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份之间关系如下表所示： 月份 2 3 4 5 售价份（元 12 8 6 4.8 甲种水果进价元千克与月份之间满足，销售量千克与之间满足． 乙种水果每个月售价与月份之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元千克与之间满足，平均每月销售160千克． （1）用所学的函数模型刻画与之间的函数关系式 （2）求与之间的函数关系式； （3）试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【例2】（2021秋•金寨县期末）下列图形中，阴影部分的面积为2的有　　个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】（2023秋•芜湖县校级月考）点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为5，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是　　 A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【变式2】（2024•全椒县三模）如图，为坐标原点，点是抛物线上一点，轴于点，，交轴于点． （1）若点的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 　　； （2）若线段与抛物线的交点为，则 　　． 【变式3】（2024•瑶海区校级三模）已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若直线过抛物线的顶点，动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，求线段的最大值； （3）已知为第二象限内抛物线上的一点，连接，过点作交轴于点，过点作轴的垂线与抛物线分别交于，两点（点在点左侧），求的值． 经典题型汇编 题型一．二次函数的应用 1．（2022秋•凤阳县校级月考）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米　　 A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 2．（2024•庐阳区校级二模）如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 　　； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 　　 3．（2024•蚌山区三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元袋）的函数关系为，其中，均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． （1）当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ （2）当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 题型二．二次函数综合题 4．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，． （1）点的坐标为 　　． （2）若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　． 5．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为　　 A． B．， C．或， D．以上都不正确 6．（2024•阜阳三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，直线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求点，的坐标； （2）当时，连接，求的面积； （3）若点是轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点的坐标． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点，点是图1中抛物线型沙丘的两个端点，则a的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 3．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）      A．16米 B．18米 C．20米 D．24米 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 8．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．     B．  B．    C．   D．   二、填空题 9．（20-21九年级上·安徽·阶段练习）进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为 ． 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是 cm2． 11．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为 m. 12．（19-20九年级上·安徽马鞍山·期中）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线在轴上方的部分,记作,它与轴交于点,将绕点旋转得,与轴交于另一点,请继续操作并探究：将绕点旋转转得,与轴交于另一点；将绕点旋转得,与x轴交于另一点,这样依次得到轴上的点,,,，…，及抛物线,,,,…,…，则的顶点坐标为 三、解答题 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）某农场种植棵橘子树，平均每棵树结个橘子，经营一段时间发现市场销量较好，于是准备多种一些橘子树以提高果园产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，假设果园多种了棵橘子树． (1)求出每棵树结的橘子个数（个）与之间的关系； (2)若每棵橘子树的产量不能少于个，果园多种多少棵橘子树时，可使总产量达到最大？最大是多少？ 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 15．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 17．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1是一种篮球发球机，该篮球发球机随机以不同力度发射出篮球，篮球飞行的轨迹都呈抛物线状．如图2，已知发球起点P距原点1 m．篮球飞行的最高抛物线为，该抛物线最高点为5 m，最高点距发球起点的水平距离为4 m；篮球飞行的最低抛物线为，该抛物线的顶点为点P，又已知抛物线与抛物线的部分能重合． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线和抛物线与x轴的正半轴的交点分别为点A、点B，求的长； (3)若篮球发球机只随机发出抛物线为和的两种篮球模式，且该抛物线和都在同一平面内，假设正有一无人机从抛物线和中穿过，无人机飞行的上下垂直的安全范围不小于1 m，该无人机与的水平距离为k m，求k的取值范围． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 二次函数的应用 （2个知识点+2种经典题型+试题练习） 本节知识导图 知识点合集 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 【例1】（2024•安徽三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即，水面正好经过点，则此时点到杯口的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式，求点坐标，就可求出点到杯口的距离． 【解答】解：建立如图所示坐标系，作轴于点． 各点坐标为：，，，． 设， ， ， ， ，， ， ， ． 设． ，， ， ， 解得（舍去），， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的应用，关键是建立合适的坐标系，求出抛物线的解析式． 【变式1】（2023秋•杜集区校级月考）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离　11　米． 【分析】根据题意得到，解方程即可得到结论． 【解答】解：， 当时，即， 解得，（不合题意舍去）， 答：该喷灌架喷出的水可到达的最远距离米， 故答案为：11． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 【变式2】（2024•阜阳三模）如图，排球运动员站在点处练习发球，将球从点正上方的处发出，把球看成点，其运行的高度（单位：与运行的水平距离（单位：满足关系式，已知球网与点的水平距离为，高度为，球场的边界距点的水平距离为．下列判断正确的是　　 A．球运行的最大高度是 B．球不会过球网 C．球会过球网但不会出界 D．球会过球网但会出界 【分析】根据顶点式的特点可知球运行的最大高度为，由此即可判断；求出当时，的值，再与进行比较即可判断；求出当时，的值，再与0比较即可判断、． 【解答】解：抛物线解析式为， 球运行的最大高度为，故说法错误，不符合题意； 在中，当时，， 球会过球网，故说法错误，不符合题意； 在中，当时，则， 球会过球网且会出界，故说法错误，不符合题意，说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，关键是根据题意列式． 【变式3】（2024•金安区校级二模）某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与月份之间关系如下表所示： 月份 2 3 4 5 售价份（元 12 8 6 4.8 甲种水果进价元千克与月份之间满足，销售量千克与之间满足． 乙种水果每个月售价与月份之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元千克与之间满足，平均每月销售160千克． （1）用所学的函数模型刻画与之间的函数关系式 （2）求与之间的函数关系式； （3）试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【分析】（1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【解答】解：（1）由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． ，为整数）． （2）由题意，将，代入中， ． ． ． （3）由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 【例2】（2021秋•金寨县期末）下列图形中，阴影部分的面积为2的有　　个． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】①分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； ②把代入函数解析式求出对应的，然后利用三角形的面积公式即可求解； ③首先求出抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解； ④根据反比例函数的性质即可求解． 【解答】解：①， 当，， 当，， ； ②， 当，， ； ③， 当，， 当，， ； ④， ， ； 故阴影部分的面积为2的有 ①②④． 故选：． 【点评】此题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，同时也利用了三角形的面积公式，解题时要求学生熟练掌握三种函数的图象和性质才能解决问题． 【变式1】（2023秋•芜湖县校级月考）点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为5，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是　　 A．②④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①错误；根据二次函数的增减性判断出②正确；先确定时，点的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，即可判断③错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，判断出④正确． 【解答】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，（顶点在轴上时取“” ，故①错误； 抛物线的顶点在线段上运动， 当时，随的增大而增大， 因此，当时，随的增大而增大，故②正确； 若点的横坐标最大值为5，则此时对称轴为直线， 根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误； 根据顶点坐标公式，， 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故④正确； 综上所述，正确的结论有②④． 故选：． 【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在轴上的情况． 【变式2】（2024•全椒县三模）如图，为坐标原点，点是抛物线上一点，轴于点，，交轴于点． （1）若点的坐标为，则直线对应的一次函数解析式为 　　； （2）若线段与抛物线的交点为，则 　　． 【分析】（1）根据平行线的判定定理得到，求得，，设直线的解析式为，解方程组即可得到结论； （2）过作交于，根据相似三角形的性质得到，设点，则点，由点的坐标得，直线的表达式为：，则直线的表达式为：，解方程组得到点，，于是得到结论． 【解答】解：（1）轴，轴， ， ， 点的坐标为， ，， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； 故答案为：； （2）过作交于， ， ， ， 设点，则点， 由点的坐标得，直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立直线和抛物线的表达式得：， 解得：（正值已舍去）， 则点，， 则， 故答案为：． 【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 【变式3】（2024•瑶海区校级三模）已知抛物线经过点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）若直线过抛物线的顶点，动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，求线段的最大值； （3）已知为第二象限内抛物线上的一点，连接，过点作交轴于点，过点作轴的垂线与抛物线分别交于，两点（点在点左侧），求的值． 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可；再根据二次函数解析式直接写出顶点坐标即可； （2）求出一次函数解析式，设点坐标，表示出线段的长度，利用二次函数求最值即可； （3）设点坐标，利用相似求出点坐标，再求出线段长即可． 【解答】解：（1）把代入得， ，解得，， 抛物线解析式为：，顶点坐标为； （2）直线过抛物线的顶点， 把代入得，， 则直线解析式为， 设点坐标为， 轴交直线于点， 点纵坐标为，代入得，， 解得，， ， 所以的最大值是； （3）过点作平行于轴，交于，交过点平行于轴的直线于点， ， ， ，， ， ， ， 设点坐标为， 则， ， 则点和点纵坐标为，代入，解得， ，， ． 【点评】本题考查了二次函数的综合，解题关键是熟练运用点的坐标特征，根据相似三角形的性质和二次函数的性质解题． 经典题型汇编 题型一．二次函数的应用 1．（2022秋•凤阳县校级月考）如图是一款抛物线型落地灯筒示意图，防滑螺母为抛物线支架的最高点，灯罩距离地面1.5米，最高点距灯柱的水平距离为1.6米，灯柱米，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离为多少米　　 A．3.2 B．0.32 C．2.5 D．1.6 【分析】以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系，利用待定系数法求出函数解析式，再求出时的值的即可得出答案． 【解答】解：如图所示，以所在直线为轴、所在直线为轴建立平面直角坐标系， 方法一：， 点与点关于对称轴对称， ； 方法二：根据题意知，抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入得，， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得（舍或， 所以茶几到灯柱的距离为3.2米， 故选：． 【点评】本题考查了将二次函数的实际应用转化为二次函数图象的抽象能力以及用待定系数法求函数解析式与点的坐标的能力． 2．（2024•庐阳区校级二模）如图，某校师生要在空地上修建一个矩形劳动教育基地，该基地一边靠墙（墙长米），另三边用总长40米的栅栏围成． （1）当时，劳动教育基地的最大面积为 　200　； （2）当劳动教育基地的最大面积为150平方米时，的值为 　　 【分析】（1）依据题意，设的长为 ，从而可得，故，进而可以判断得解； （2）依据题意，令代入，从而，进而计算可以得解． 【解答】解：（1）由题意，设的长为 ， 由四边形是矩形，得， ． ， ． 又， 当时，劳动教育基地的最大面积为200 ． 故答案为：200． （2）由题意，令代入， 得， 解得，． 结合（1）当时，劳动教育基地面积最大值为200平方米， 又劳动教育基地的最大面积为150平方米时， 墙长为10 ． ，劳动教育基地面积能达到150平方米． 故答案为：10． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 3．（2024•蚌山区三模）在“乡村振兴”行动中，某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场．经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元袋）的函数关系为，乙种有机产品每天的销量（单位：袋）与销售单价（单位：元袋）的函数关系为，其中，均为自然数．根据农委的指示及市场监督部门的要求，该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元． （1）当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ （2）当乙种有机产品的销售单价为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 【分析】（1）由题意得出，，分别代入函数解析式计算即可得出答案； （2）由题意得，设两种产品每天总利润为元，求出关于的关系式，结合二次函数的性质即可得出答案． 【解答】解：（1）甲销售单价为30时，乙销售单价为（元， ，． （袋， （袋， 答：甲种有机产品每天的销量为112袋，乙种有机产品每天的销量为118袋； （2）由得， 设两种产品每天总利润为元， 则， 整理得， ， 当乙种有机产品的销售单价为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元． 【点评】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的关系式是解此题的关键． 题型二．二次函数综合题 4．（2023秋•田家庵区校级期中）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，． （1）点的坐标为 　　． （2）若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰直角三角形时，点的坐标为 　　． 【分析】（1）依据题意，分别令，，可求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再点关于抛物线对称轴的对称点为，可得； （2）点在的垂直平分线上，在第一象限，进而可设，，然后根据是等腰三角形，进行分类讨论可以得解． 【解答】解：（1）由题意令， ． 或． ，． 又令， ． ． 又抛物线为， 对称轴为直线． 点关于抛物线对称轴的对称点为， ． 故答案为：； （2）点在的垂直平分线上，在第一象限， 可设，． 是等腰三角形， 分以下三种情形． 由点、、的坐标得，，，， 当时，为斜边， 即且， 方程无解； 当时，则为斜边， 且， 解得：， 即点； 当时，则为斜边， 即且， 方程无解； 综上，； 故答案为：． 【点评】本题为二次函数综合题，主要考查了抛物线与轴的交点、等腰直角三角形的性质等，分类求解是本题解题的关键． 5．（2023秋•金安区校级月考）如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为．要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为　　 A． B．， C．或， D．以上都不正确 【分析】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可． 然后，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点（如图；过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点（如图． 【解答】解：如图，抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ， 解得． 该抛物线的解析式为， ． 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于轴对称的点，连接，与轴的交点即为所求的点．则． 设直线的解析式为：，则， 解得， 故该直线的解析式为． 当时，，即． 同理，如图2，过点作关于轴对称的点，连接，则只需与轴的交点即为所求的点，． 如果点在轴上，则三角形的周长；如果点在轴上，则三角形的周长； 所以点在时，三角形的周长最小． 综上所述，符合条件的点的坐标是． 故选：． 【点评】本题为二次函数的综合题．在求点的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点”，所以应该找轴和轴上符合条件的点，不要漏解，这是同学们容易忽略的地方． 6．（2024•阜阳三模）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，直线交轴于点，点为直线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，分别交直线，于点，． （1）求点，的坐标； （2）当时，连接，求的面积； （3）若点是轴上的一点，当四边形是矩形时，求出点的坐标． 【分析】（1）把代入抛物线中可得，然后令，再求解方程即可； （2）先求出直线的解析式为，然后由，则，从而得出，得出，，最后根据三角形面积公式即可解答； （3）根据矩形的性质，再结合可得，，由正切的定义可得，设，则，，，由列方程可得的值，从而得点的坐标． 【解答】解：（1）把代入抛物线中得：， 解得， 该抛物线的解析式为． 令，得， 解得，， ，． （2）设直线的解析式为． 把，代入，得 解得 直线的解析式为． 设， 则， ． 由，得， 解得， ，， ， 的面积为． （3）如图：四边形是矩形， ，． ， ． 直线的解析式为， ， ． ，， ，， ． 设，则，，， ． ，， ， 解得， ， ， 点的坐标为． 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法确定函数的解析式、二次函数的性质、矩形的判定和性质，锐角三角函等知识点，学会利用三角函数的关系设参数构建方程解决问题是解题的关键． 试题练习 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）某种药品售价为每盒300元，经过医保局连续两次“灵魂砍价”，药品企业同意降价若干进入国家医保用药目录．如果每次降价的百分率都是x，则两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两次降价后的价格等于原价乘以每次降价的百分率，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：∵每次降价的百分率都是x， ∴两次降价后的价格y（元）与每次降价的百分率x之间的函数关系式是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点，点是图1中抛物线型沙丘的两个端点，则a的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∵点B在第四象限， ∴， 故选：B． 3．（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是（　　）      A．16米 B．18米 C．20米 D．24米 【答案】C 【分析】根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度1.8米， 设抛物线解析式为，将点代入，得 解得 ∴抛物线解析式为 令，解得（负值舍去） 即， 米． 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得解析式是解题的关键． 4．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图1，这是某公园一座抛物线型拱桥，按图2所示建立平面直角坐标系，得到函数，在正常水位时，水面宽为30米，当水位上升7米时，水面宽为（    ） A．5米 B．米 C．10米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，依据题意，根据正常水位时水面宽米，求出当时，再根据水位上升7米时，代入解析式求出x即可． 【详解】∵米， ∴当时，． 当水位上升7米时，， 把代入得，， 解得， 此时水面宽米． 故选：D． 5．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）“直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某直播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．经调查发现每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则与之间的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元），则销售量为件，由此即可得出答案，理解题意，找准变量之间的关系是解此题的关键． 【详解】解：设每件电子产品售价为（元），主播每天的利润为（元）， 每件售价99元时，日销售量为300件，当每件电子产品每下降1元时，日销售量会增加3件， 每件电子产品售价为（元）时，销售量为件， 与之间的函数解析式为， 故选：C． 6．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将一个小球从斜坡的点处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球距点水平距离超过4米呈下降趋势 B．当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为6米 C．小球落地点距点水平距离为7米 D．当小球拋出高度达到8m时，小球距点水平距离为4m 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图像及性质，一次函数图像及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，即：， ∴对称轴为：， ∴当时，小球呈下降趋势， 故A选项正确； ∵当小球水平运动2米时，， ∵斜坡可以用一次函数刻画，当时，， ∴当小球水平运动2米时，小球距离坡面的高度为米， 故B选项不正确； ∵，解得：或， ∴小球落地点距点水平距离为7米， 故C选项正确； ∵当小球拋出高度达到8m时，即：，解得：， ∴小球距点水平距离为4m， 故D选项正确． 故选：B． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， ， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即， ； 故选A． 8．（23-24九年级上·安徽滁州·期末）如图，菱形的边长为，，动点从点出发以的速度沿着边运动，到达点后停止运动；同时动点从点出发，以的速度沿着边向点运动，到达点后停止运动．设点的运动时间为，的面积为，则关于的函数图象为（    ）    A．     B．  B．    C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意可知分情况讨论，分别列出当点在上时，点在上时，点在上时表达式，再画图得到函数解析式，即可得到本题答案． 【详解】解：设点的运动时间为，的面积为， ①当时，点在上时， 过点作，     ， ∵根据题知：，， ∴，， ∴； ②当时，点在上时， 过点作，   ， ∵根据题知：，， ∴， ∴； ③当时，点在上时， 过点作交延长线于，   ， ∵根据题知：，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴结合三种情况，图像如下所示：   ， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形面积公式，用含的式子表示，一次函数，二次函数的图象，含直角三角形三边关系，根据题意求出函数解析式是关键． 二、填空题 9．（20-21九年级上·安徽·阶段练习）进入九月后，某电器商场为减少库存，对电风扇连续进行两次降价，若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】根据题意直接进行求解即可． 【详解】解：由题意得： y与x之间的函数关系式为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． 10．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）在菱形中，对角线，的和是，则这个菱形的面积的最大值是 cm2． 【答案】50 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的面积=两条对角线长乘积的一半得到面积关于对角线的函数解析式，进而求出二次函数的最值即可． 【详解】解：如图所示：    ∵菱形中，对角线，的和是， ∴菱形的面积 当菱形的两条对角线长都为10时，面积； 故答案为：50． 11．（23-24九年级上·安徽黄山·期中）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的关系式是:，这个函数图象如图所示，则小球从第到第下降的高度为 m. 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的应用，读懂题目是解题的关键．根据第时小球达到最高点，然后小球竖直下落，分别求出第和第对应的值即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，第时小球达到最高点，此时小球距离地面，然后小球开始竖直下落， 当时，， 故则小球从第到第下降的高度为， 故答案为：． 12．（19-20九年级上·安徽马鞍山·期中）如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线在轴上方的部分,记作,它与轴交于点,将绕点旋转得,与轴交于另一点,请继续操作并探究：将绕点旋转转得,与轴交于另一点；将绕点旋转得,与x轴交于另一点,这样依次得到轴上的点,,,，…，及抛物线,,,,…,…，则的顶点坐标为 【答案】 【分析】分析: 根据图形连续旋转, 旋转奇数次时,图象在x轴下方, 每两个图象全等且相隔三个单位; 旋转偶数次时, 图象在x轴上方,每两个图象全等且相隔三个单位. 【详解】解: 这样依次得到x轴上的点,,,...,,..,及抛物线,,...,,.... 则的顶点坐标为 , 故答案为: . 【点睛】点评: 本题考查了二次函数图象与几何变换，关键是找到旋转后的规律，如交点间的距离, 顶点间的横向距离、纵向距离等. 三、解答题 13．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）某农场种植棵橘子树，平均每棵树结个橘子，经营一段时间发现市场销量较好，于是准备多种一些橘子树以提高果园产量，但如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结4个橘子，假设果园多种了棵橘子树． (1)求出每棵树结的橘子个数（个）与之间的关系； (2)若每棵橘子树的产量不能少于个，果园多种多少棵橘子树时，可使总产量达到最大？最大是多少？ 【答案】(1)，其中，且x为整数； (2)果园多种10棵橘子树时，可使橘子的总产量最大，最大为个． 【分析】（1）首先确定每棵树少结的橘子个数为，再根据平均每棵树结的橘子个数每棵树少结的橘子个数列出关系式即可； （2）根据橘子总产量=橘子树的总棵数×每棵树结的橘子个数列出二次函数关系式，再配方，根据二次函数的性质求解即可． 本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，掌握求二次函数的最值方法是解题的关键． 【详解】（1）解：平均每棵树结的橘子个数y(个)与x之间的关系为，其中，且x为整数； （2）设果园多种x棵橘子树时，可使橘子的总产量为w，则， ∵每棵橘子树的产量不能少于个， ∴， 解得且x为整数， ∵，抛物线对称轴为， ∴果园多种10棵橘子树时，可使橘子的总产量最大， 当时，， 即果园多种10棵橘子树时，可使橘子的总产量最大，最大为个． 14．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）羽毛球运动是一项很好的健身项目，羽毛球发球时，羽毛球飞行路线为抛物线的一部分，如图，一运动员站在O点发球．且羽毛球飞行高度与水平距离之间满足函数关系式． (1)求羽毛球飞行路线中离地最大高度． (2)已知羽毛球球网高度为，发球点A与球网的水平距离为3m，通过计算说明这次发球是否能过网？ 【答案】(1)； (2)能过网，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是能将实际问题转化为二次函数问题求解． （1）求出函数的对称由为，将其代入函数中即可求解； （2）求出时的函数值，与比较即可． 【详解】（1）解：函数的对称轴为：， ∴把代入得：． （2）解：由题意可知，当时，， ∵， ∴能过网． 15．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量（千克）与销售单价（元）存在如下图所示的一次函数关系． (1)试求出与的函数关系式； (2)设该超市销售该绿色食品每天获得利润元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ (3)根据市场调查，该超市经理要求每天利润不得低于4320元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价的范围（直接写出）． 【答案】(1) (2)当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元 (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用： （1）由图象过点和易求直线解析式； （2）每天利润每千克的利润销售量．据此列出表达式，运用函数性质解答； （3）求出当时，x的直即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由图象可知 解得 ， 与的函数关系式为：； （2）解：由题意得 ． ， 有最大值． ∴当时，P有最大值，最大值为． ∴当销售单价为35元千克时，每天可获得最大利润，最大利润是4500元． （3）解：当时，则， 整理得， 解得，， ， 抛物线的开口向下， ∴当每天利润不得低于4320元时，销售单价的范围为． 16．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）悬索桥是现代高架桥的主要结构方式，如图是某悬索桥的截面示意图，主索近似符合抛物线，从主索上设置竖直的吊索，与桥面垂直，并连接桥面承接桥面的重量，两桥塔，间距为，桥面水平，主索最低点为点，点距离桥面为，以中点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)写出点的坐标，并求出主索抛物线的表达式； (2)距离点水平距离为和处的吊索共四条需要更换，求四根吊索总长度为多少米？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）本题考查矩形的性质，用待定系数法求二次函数解析式，设抛物线的表达式为，根据题意得到C点坐标为，P点坐标为，将点代入中求解，即可解题． （2）本题考查二次函数的对称性，将和代入解析式求得吊索长度，再将四条吊索长度相加，即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 由题易知，四边形为矩形， ， 点距离桥面为，， ， 平面直角坐标系以中点为原点，所在直线为轴， ， C点坐标为，P点坐标为， 将，代入中， 得 ，解得． 主索抛物线的表达式为； （2）解：当时，，此时吊索的长度为（）， 由抛物线的对称性可得，时，此时吊索的长度也为． 同理，时，，此时吊索的长度为（）， 时，此时吊索的长度也为． 四根吊索的总长度为． 17．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）乡村振兴战略实施以来，农村产业经济快速发展．红旗村养鸡专业户李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元．    (1)求李明这两年纯收入的年平均增长率； (2)随着养鸡规模不断扩大，李明需要再建一个养鸡场，他计划用一段长为100米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场（如图），墙长60米，要使围成的养鸡场面积最大，则养鸡场与墙平行的一边的长度应是多少米？最大面积是多少米？ 【答案】(1)李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． (2)当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用、二次函数的性质等知识点，解题的关键是要理解题意、能正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设李明这两年纯收入的年平均增长率为x，根据等量关系“李明2020年的纯收入是8万元，预计2022年的纯收入可达到万元”列方程求解即可； （2）设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米，再根据长方形的面积公式列出函数解析式，最后根据x的取值范围求最值即可． 【详解】（1）解：设李明这两年纯收入的年平均增长率为x， 根据题意可得：，解得， ， (不合题意，舍去)答：李明这两年纯收入的年平均增长率为 ． （2）解：设养鸡场与墙平行的一边的长度为x米且，则可求出与墙垂直的宽为米， 根据题意可得： 养鸡场面积=， ∵， ∴当时，养鸡场面积最大值为1250． 答：当养鸡场与墙平行的一边的长度应是50米时，养鸡场面积最大值为1250平方米． 18．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图1是一种篮球发球机，该篮球发球机随机以不同力度发射出篮球，篮球飞行的轨迹都呈抛物线状．如图2，已知发球起点P距原点1 m．篮球飞行的最高抛物线为，该抛物线最高点为5 m，最高点距发球起点的水平距离为4 m；篮球飞行的最低抛物线为，该抛物线的顶点为点P，又已知抛物线与抛物线的部分能重合． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线和抛物线与x轴的正半轴的交点分别为点A、点B，求的长； (3)若篮球发球机只随机发出抛物线为和的两种篮球模式，且该抛物线和都在同一平面内，假设正有一无人机从抛物线和中穿过，无人机飞行的上下垂直的安全范围不小于1 m，该无人机与的水平距离为k m，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确求出函数的解析式是解题关键． （1）设的解析式为，然后把点P坐标代入即可求解； （2）先求出的解析式，然后求出A、B的坐标，即可解答； （3）无人机的横坐标为k，根据题意列出不等式，，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得，的顶点为， 设的解析式为， 则， 解得， ∴ （2）解：∵已知抛物线与抛物线的部分能重合，且的顶点为点P， ∴抛物线解析式为， 对于，当，则， 解得或（舍去）， ∴， 对于，当，则， 解得或（舍去）， ∴， ∴； （3）解：根据题意，得， 解得， 又， 解得， ∴． 19．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止．以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，在点由点到点的运动过程中，关于的函数解析式为__________； (2)在点由点到点的运动过程中，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象．请根据图象信息，求关于的函数解析式及线段的长． (3)若存在3个时刻对应的正方形的面积均相等．若，则此时正方形的面积等于_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先求出，进而求出，则； （2）先由函数图象可得当点P运动到B点时，，由此求出当时，，可设S关于t的函数解析式为，利用待定系数法求出，进而求出当时，求得t的值即可得答案； （3）①根据题意可得可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的，设是函数上的两点，则，是函数上的两点，由此可得，则，根据题意可以看作，则；②由（3）①可得，再由，得到，继而得答案． 【详解】（1）解：∵动点P以每秒1个单位的速度从C点出发，在匀速运动， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由图2可知当点P运动到B点时，， ∴， 解得， ∴当时，， 由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴可设S关于t的函数解析式为， 把代入中得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （3）解：①∵点P在上运动时， ，点P在上运动时， ∴可知函数可以看作是由函数向右平移四个单位得到的， 设是函数上的两点，则，是函数上的两点， ∴， ∴， ∵存在3个时刻（）对应的正方形的面积均相等． ∴可以看作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了二次函数与图形运动问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$