预习07讲 直线的交点坐标与距离公式（精讲+精练）-2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习07讲 直线的交点坐标与距离公式（精讲+精练） ①求相交直线的交点坐标、交点个数及参数问题 ②经过两条直线交点的直线方程 ③两点间距离公式的应用 ④点到直线的距离 ⑤两条平行直线间的距离 一、两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 二、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 三、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 四、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. ①求相交直线的交点坐标 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线：与：相交于点，则（    ） A． B．1 C．2 D．－2 6．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 11．（22-23高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 12．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． ②经过两条直线交点的直线方程 策略方法 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二上·广西·阶段练习）已知三边所在直线方程为，，，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． ③两点间距离公式的应用 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 2．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． ④点到直线的距离 策略方法 点到直线的距离公式的使用条件 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 3．（23-24高二·全国·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 4．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 5．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 6．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 8．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . ⑤两条平行直线间的距离 策略方法 两平行线间的距离公式的使用条件 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 6．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二数学暑假预习（人教A版2019选择性必修第一册） 预习07讲 直线的交点坐标与距离公式（精讲+精练） ①求相交直线的交点坐标、交点个数及参数问题 ②经过两条直线交点的直线方程 ③两点间距离公式的应用 ④点到直线的距离 ⑤两条平行直线间的距离 一、两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 二、两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 三、点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 四、两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. ①求相交直线的交点坐标 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）直线与直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过联立方程组求得正确答案. 【详解】由解得， 所以交点为. 故选：B 2．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线与的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立方程组可解得答案. 【详解】联立方程组，解得， 所以两直线的交点坐标为. 故选：B. 3．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 4．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直可得，联立解方程组可得交点坐标. 【详解】易知直线的斜率为， 由两直线垂直条件得直线的斜率，解得； 联立，解得； 即交点为 故选：C. 5．（22-23高二上·广东深圳·期中）已知直线：与：相交于点，则（    ） A． B．1 C．2 D．－2 【答案】A 【分析】把点代入两直线方程求得，进而求得． 【详解】解：∵ 点在直线和上， ∴ ， 解得， ． 故选：A． 6．（23-24高二上·北京·期中）已知直线与互相垂直，垂足为，则的值是（   ） A．24 B．0 C．20 D． 【答案】C 【分析】利用垂直可求，根据垂足坐标可求，进而可得答案. 【详解】因为直线与互相垂直， 所以，解得； 垂足在直线上，所以， 垂足在直线上，所以， 所以. 故选：C 7．（22-23高二上·重庆九龙坡·期中）已知直线：y = kx - 4与直线：x + 2y + 2 = 0的交点在第三象限.则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得两直线的交点坐标，根据其所处现象列出不等式，求解即可. 【详解】联立直线的方程可得，显然，故，则， 根据题意，且，解得且，故. 故选：A. 8．（23-24高二上·安徽宿州·阶段练习）若的图象与直线有两个不同的交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分与讨论，结合条件，列出不等式，即可得到结果. 【详解】当时，由可得，，当时，解得； 当时，由可得，，由可知，方程的解是， 又的图象与直线有两个不同的交点， 所以，其中，解得； 综上所述，. 故选：B 二、填空题 9．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 10．（2023高二上·全国·专题练习）已知直线和的交点在第四象限，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】求出两直线交点的坐标，根据交点位置可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】联立可得， 所以，两直线的交点坐标为，且交点在第四象限， 则，解得，因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 11．（22-23高二·全国·课堂例题）若直线与直线的交点在直线上，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】用字母表示出交点坐标，再代入到第三条直线的方程中，列出关于的方程，然后求解． 【详解】因为直线与直线相交，则，则且， 由，解得， 即直线与直线的交点坐标为， 将点的坐标代入，得， 即，即，因为，解得. 故答案为：. 12．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与直线相交，且交点在第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交可得，解出两直线交点坐标由第一象限即可限定出，求出倾斜角的取值范围. 【详解】由两直线相交可得， 联立，解得； 所以两直线的交点坐标为； 又两直线交点在第一象限，所以，解得， 又直线l的倾斜角为，则，所以可得. 故答案为： ②经过两条直线交点的直线方程 策略方法 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程，也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·北京·阶段练习）过直线与的交点，且一个方向向量为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出两条直线的交点坐标，再结合方向向量求出直线方程. 【详解】由，解得，即直线与的交点坐标为， 而该直线的斜率为，所以所求直线的方程为，即. 故选：A 2．（23-24高二上·四川凉山·期末）经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出两条直线的交点坐标，再根据垂直求出斜率，点斜式写方程即可. 【详解】由题知：，解得：，交点. 直线的斜率为，所求直线斜率为. 所求直线为：，即. 故选：B. 3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）过直线与的交点，与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线系方程结合直线平行的条件可得参数，进而即得． 【详解】由已知，可设所求直线的方程为：， 即， 又因为此直线与直线平行， 所以：， 解得：， 所以所求直线的方程为：，即． 故选：A． 4．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先求直线和的交点，设所求直线方程为，可得在x，y轴上的截距，结合题意列式求解即可. 【详解】联立方程，解得， 所以直线和的交点为， 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为， 可知所求直线方程为， 令，可得；令，可得； 可知直线在x，y轴上的截距分别为，， 由题意可得，整理得，解得或， 所以所求直线方程为或. 故选：C. 5．（23-24高二上·广西·阶段练习）已知三边所在直线方程为，，，则边上的高所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据边上的高和直线垂直得到，联立直线和的方程得到，然后写直线方程即可. 【详解】设则边上的高所在直线的斜率为，，，， 联立，得， ∴边上的高所在直线的方程为. 故选：A. ③两点间距离公式的应用 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据两点间距离公式求出答案. 【详解】A，B两点间的距离为. 故选：B 2．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【详解】由题设，则. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案. 【详解】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 4．（22-23高二上·天津河西·阶段练习）已知与两点间的距离是17，则的值为（    ） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接用两点间得距离公式计算即可. 【详解】由两点间的距离公式得：，解得. 故选：D 5．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知三点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用两点间的距离公式列方程计算即可 【详解】由两点间的距离公式，及可得：，解得. 故选：A 6．（2023高二上·全国·专题练习）已知点，，，若，，是的三个顶点，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】计算，，，且，得到答案. 【详解】， ，故，且， 故为等腰三角形. 故选：B. 7．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】 根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】 ， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 8．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. ④点到直线的距离 策略方法 点到直线的距离公式的使用条件 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）原点到直线间的距离是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用点到直线的距离公式直接求值即可. 【详解】原点到直线间的距离是：. 故选：A 2．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 3．（23-24高二·全国·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】直线可化为，依题意得，整理得，所以或-1．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，故选C． 4．（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 5．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知直线：，且与轴、轴分别交于、两点．若使的面积为的直线共有（   ）条 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用直线方程求得直线与两坐标轴的交点、，从而将的面积表示为斜率的函数，分和两种情况根据的面积为的条件计算，利用一元二次方程的解法运算即可得解. 【详解】解：    如上图，当时，则直线过定点， ∵与轴、轴分别交于、两点， ∴直线的斜率存在且不为， 且∵直线方程为， ∴当时，当时， ∴直线与轴交于点，直线与轴交于点， ∴，， ∵，则是直角三角形， ∴， （i）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. （ii）当时，， 由题意，的面积为，则， 即，解得：. 综上知，使的面积为的直线共有3条. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知、、，则（    ） A．直线的方程为 B．点到直线的距离为 C．为等腰直角三角形 D．的面积为 【答案】ABC 【分析】利用截距式方程可判断A选项；利用点到直线的距离公式可判断B选项；利用斜率关系以及两点间的距离公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，直线的方程为，整理得，A对； 对于B选项，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，B对； 对于C选项，，，则， 所以，又，， 所以，所以为等腰直角三角形，C对； 对于D选项，的面积为，D错误. 故选：ABC. 三、填空题 7．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 8．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： ⑤两条平行直线间的距离 策略方法 两平行线间的距离公式的使用条件 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 【题型精练】 一、单选题 1．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）两平行直线和之间的距离为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】平行直线和之间的距离. 故选：A 2．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 3．（23-24高二上·福建福州·期末）已知直线与直线间的距离为2，则（    ） A．或4 B．4 C．或6 D．或16 【答案】D 【分析】利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知，直线与直线平行，所以， 因为直线与直线间的距离为2， 所以，解得或. 故选：D. 4．（23-24高二上·全国·课后作业）若直线与之间的距离为，则a的值为（    ） A．4 B． C．4或 D．8或 【答案】C 【分析】将直线化为，再根据两平行直线的距离公式列出方程，求解即可. 【详解】将直线化为， 则直线与直线之间的距离， 根据题意可得：，即，解得或， 所以a的值为或. 故选：C 二、填空题 5．（23-24高二下·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】根据平行线间距离公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 6．（22-23高二下·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$