精品解析：山东省河源市东华实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试卷

2023-2024学年第二学期高二年级阶段性测试高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册和必修第二册占10%，选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占50%，选择性必修第三册第六章第一、二节占20%． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无处． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. 14 B. 20 C. 36 D. 38 2. 若a是与1的等差中项，则（ ） A. 1 B. 0或1 C. 或1 D. 或1 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 函数有极值点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 45 6. 已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 现有如图所示的九宫格，方格编号为1~9，将其中5个不同的方格染成黑色，则至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有（ ） A. 90种 B. 81种 C. 75种 D. 72种 8. 已知，实数a，b，c满足，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（ ） A. 若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B. 一共有16种安排方法 C. 若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D. 若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 10. 已知定义在上的函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值 D. 无极小值 11. 数列满足，且对任意均有．记数列的前n项和为，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 13. 很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是两个25字符的密钥示例： JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MB D68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM 这两个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的40%分位数是______． 14. 已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 16. 已知数列满足，，数列满足． （1）判断数列的单调性； （2）求数列的前n项和． 17. 如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． （1）证明：是等边三角形； （2）已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 18. 已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知，证明： （ⅰ）； （ⅱ）且时，． 19. 在平面直角坐标系中，已知，其中B，C在x轴上，以为圆心的圆内切于，与边AB切于点M，且等于点A到x轴的距离． （1）求点A运动轨迹的方程； （2）求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期高二年级阶段性测试高二数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．考查范围：必修第一册和必修第二册占10%，选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占50%，选择性必修第三册第六章第一、二节占20%． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无处． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知向量，，则（ ） A. 14 B. 20 C. 36 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算,计算向量的数量积即可. 【详解】由． 故选：C． 2. 若a是与1的等差中项，则（ ） A. 1 B. 0或1 C. 或1 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差中项的性质即可求解. 【详解】由a是与1的等差中项得，解得． 故选：A． 3. 曲线在点处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，用导数几何意义得到切线斜率，求出方程即可． 【详解】记，有，． 所以曲线在点处的切线方程为：，即． 故选：A． 4. 函数有极值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数进行求导，再结合极值的概念可求出a的值，求出来的值注意验证. 【详解】， 因为有极值点，所以， 解得，经检验，时在处取得极小值，满足题意． 故选：D． 5. 已知等比数列的前项和为，，且，则（ ） A. 10 B. 15 C. 25 D. 45 【答案】D 【解析】 【分析】设的公比为，分析出，由已知求出，结合代值计算即可． 【详解】设的公比为， 当时，，所以，则， 与矛盾，故， 因为，所以，解得， 故． 故选：D． 6. 已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】设C的左焦点为E，直线AB经过C的左焦点E，由椭圆的定义推出充分性；由三角形不等式性质可知，，当且仅当A，B，E三点共线时等号成立，进而推出充分条件. 【详解】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立． 由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立． 故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立． 故选：C． 7. 现有如图所示的九宫格，方格编号为1~9，将其中5个不同的方格染成黑色，则至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有（ ） A. 90种 B. 81种 C. 75种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】由基本计数原理以及组合数的计算即可求解. 【详解】若其中一行与其中一列同时被染成黑色，则染色方式总数有种， 若仅有一行被染成黑色或仅有一列被染成黑色，则染色方式总数有种， 所以至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有81种． 故选：B． 8. 已知，实数a，b，c满足，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角恒等变换和诱导公式得到，，，根据，得到，，从而得到. 【详解】由题可得， ， ， 其中， 故，，，所以． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（ ） A. 若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B. 一共有16种安排方法 C. 若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D. 若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法 【答案】AC 【解析】 【分析】利用分步选取，只要确定影厅放映的电影，剩下的就是给影厅，即可解决问题. 【详解】对于A，按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确； 对于B，按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误； 对于C，按影厅放映的电影一定有《熊出没逆转时间》，则有种安排方法，故C正确； 对于D，按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误． 故选：AC． 10. 已知定义在上的函数，则（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 有极大值 D. 无极小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】将求导后，根据导数性质即可判断递增、递减区间及极大极小值. 【详解】对函数求导得，． 当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，由于，故A错误，B正确； 时，有极大值，无极小值，故C正确，D正确． 故选：BCD． 【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同． （2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 11. 数列满足，且对任意均有．记数列的前n项和为，则的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】BD 【解析】 【分析】令，，得出，再令，求出，即可求解． 【详解】令，，得，即， ，故． 令，得， 由，有， 又由，有，解得或1， 当时，由，得，，，， 当时，由，得，，，． 所以， 因为，所以或2． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】将组合数化为阶乘形式后化简即可． 【详解】由题知，即，解得． 故答案为：２. 13. 很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是两个25字符的密钥示例： JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MB D68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM 这两个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的40%分位数是______． 【答案】6 【解析】 【分析】利用百分位数的定义即可以求解. 【详解】由题易知共有13个数字，这13个数字从小到大排列得：3，4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，9，9． 由于，则这组数据的40%分位数是其第6项，即6． 故答案为：6． 14. 已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】按照且的限制条件进行分类讨论：，，，存在性问题转化为求函数极值最值问题即可. 【详解】由题知，， 若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增， 所以当时，，不满足题意； 若，则当时，，f（x）在上单调递减， 所以当时，，满足题意； 若，则当时，则， 令，则，所以g（x）在上单调递增， 当时，，所以存在唯一的，使得， 且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意． 故实数a的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：． 【答案】（1） （2） 证明：因为， 所以． 【解析】 【分析】（1）选取问题利用组合数公式即可得到通项公式； （2）利用组合数计算公式即可证明. 【小问1详解】 由题意可得：． 【小问2详解】 略 16. 已知数列满足，，数列满足． （1）判断数列的单调性； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1）数列单调递增 （2）． 【解析】 【分析】（1）首先化简，再利用的正负性判断单调性即可； （2）利用错位相减法求和即可得. 【小问1详解】 由题可得， 又因为， 所以数列单调递增． 【小问2详解】 由题意可得，① ② －②得， 故． 17. 如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，． （1）证明：是等边三角形； （2）已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值． 【答案】（1）由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面． 作于点F，则，，故， 因为，所以， 故是等边三角形． （2）． 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，得到，，由平行关系得到，得到三角形为等边三角形； （2）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面BCE的法向量，得到线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴， 分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 连接， 则，，，由题易知，故， ，，， 设平面BCE的法向量为， 则即，取，得， 记直线BD与平面BCE所成的角为θ， 则． 故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为． 18. 已知函数． （1）求f（x）的单调区间； （2）已知，证明： （ⅰ）； （ⅱ）且时，． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （ⅰ）由（1）知，，即，当且仅当时取等号， 令得，两边n次方得，即得证． （ⅱ）由，两边取对数得，即， 则有，，…，， 累加得． 即得证． 【解析】 【分析】（1）求导，求出根为0，后分情况讨论即可． （2） （ⅰ）由前面一问赋值0，得到，令，两边再n次方即可． （ⅱ）由前面得出，两边取对数，变形得到．累加求和,后按照放缩求和即可. 【小问1详解】 由得， 单调递增且．故时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）略 19. 在平面直角坐标系中，已知，其中B，C在x轴上，以为圆心的圆内切于，与边AB切于点M，且等于点A到x轴的距离． （1）求点A运动轨迹的方程； （2）求的面积的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）设，由圆的切线的性质，得，列方程化简即可得出答案； （2）解法一：设直线AB的方程为，由直线与圆E位置关系可得b，c是方程的两个根，由韦达定理求出，即可表示出的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值；解法二：利用几何性质求出，即可表示出的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值； 【小问1详解】 因为圆E与BC相切，B，C在x轴上，所以圆E的半径为1， 设，由题意知，． 由圆的切线的性质，得， 因为等于点A到x轴的距离， 所以． 整理得，即点A运动轨迹的方程为． 【小问2详解】 解法一：设，则直线AB的方程为． 由于直线AB与圆E相切，由点到直线的距离公式得， 整理得．同理有． 所以b，c是方程的两个根， 故，， 则，即， 则， 当且仅当，即时等号成立． 故△ABC的面积的最小值为8． 解法二：（利用几何性质）如图易知，，，， 由内切圆的性质得，， 所以． 因为，而 ，所以， 整理得，故． 则， 当且仅当，即时等号成立． 故△ABC的面积的最小值为8． 【点睛】方法点睛：本题第二问的关键点在于由直线与圆E位置关系可得b，c是方程的两个根，由韦达定理求出，即可表示出的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $