精品解析：浙江省诸暨市学勉中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

2023学年第二学期期中考试数学试卷（高二数学） 命题老师：贾萍 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算就可以得到结果. 【详解】由， 故选: C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意只需解不等式组即可. 【详解】由题意使函数表达式有意义，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 【点睛】本题考查了对数型复合函数的定义域，属于基础题. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】根据正态曲线的对称性可得, 故选：C 4 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 故选:C 【点睛】本题考查了指数和对数的运算性质,属于基础题 5. 学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ） A. 350 B. 700 C. 2100 D. 4200 【答案】A 【解析】 【分析】根据组合数以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】7门选修课中往意选择3门，共有种选择， 从5种课外活动小组中选择2种，共有种选法， 故总的选法有种， 故选：A 6. 若在区间上递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据题设条件可得该函数在为减函数且恒正，从而得到a的取值范围. 【详解】令，则， 配方得，故对称轴为，如图所示： 由图象可知，当对称轴时，在区间上单调递减， 又真数，二次函数在上单调递减， 故只需当时，若， 则时，真数， 代入解得，所以a的取值范围是. 故选：A. 【点睛】本题考查与对数函数有关的复合函数的单调性，此类问题应根据同增异减来判断，注意真数大于零的要求，本题属于中档题. 7. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分别验证充分性以及必要性，即可得到结果. 【详解】取，，则，但， 即，所以函数不是奇函数，故充分性不满足； 若函数为奇函数，则，即，故必要性满足； 所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件. 故选：B 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式及诱导公式化简，并运用齐次式运算求解. 【详解】已知, 则， . 故选：B. 9. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙命中目标的概率为0.6.已知目标恰被命中1次的条件下，是甲命中的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标恰好被命中1次”，分别计算，并用条件概率公式计算即可. 【详解】记事件为“甲命中目标”，事件为“目标恰好被命中1次”， 所以, ， 所以. 故选：B. 10. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，，两式相比结合对数式与指数式的互化及换底公式即可得出答案. 【详解】解：根据题意可得，， 两式相比得，即， 所以. 故选：B. 11. 已知，则除以10余数为（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】逆用二项式定理,可得，再利用二项式定理展开，即可得除以10的余数. 【详解】由可得， ， 则得，， 即. 故m除以10的余数为0. 故选：A. 12. 已知是函数在上的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的对称性可得，进而代入化简，结合诱导公式即可求解. 【详解】令，得， ，， 因为是函数在上的两个零点， 则是在上的两个根， 故，故， 则 . 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用三角函数的对称性得到的关系，从而得解. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型的分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A；利用残差平方和与模型拟合效果之间的关系可判断B；利用相关指数与模型拟合效果的关系可判断C；利用残差图与模型的拟合效果的关系可判断D. 【详解】对于A，回归直线一定过样本中心，A选项正确； 对于B，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，B正确； 对于C，甲、乙两个模型的分别约为和，则模型甲的拟合效果更好，C错误； 对于D，残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，D正确. 故选：ABD. 14. 已知函数，把的图象向左平移个单位得的图象，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象平移可得，即可根据周期公式判断A，利用代入验证即可判断B，根据奇偶性的性质即可判断C，根据三角恒等变换化简，结合三角函数的性质即可求解D. 【详解】由题意可得， 对于A, 的最小正周期为，A正确， 对于B，当时，则，故在上单调递增，B错误， 对于C，定义域为R，，故不是奇函数，C错误， 对于D，，故最大值为，D正确， 故选：AD 15. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】所有可能的方法有种，A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确. 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确 对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确. 故答案为：BCD 16. 已知定义域为R函数满足对任意的都有，且时（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 有最小值 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法求出，再求出的值，利用偶函数的定义判断函数为偶函数；设，作差得，，根据时，可判断差的符号，由单调性定义即可判断在上的单调性.由于无法确定函数的连续性，即可判断D. 【详解】令，得，所以，A正确， 令，得，所以， ，函数为偶函数；B错误 设， 则， 因为，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递增，C正确， 根据为偶函数，且在上单调递增，但由于的值无法确定，故无法确定函数的最小值.D错误， 故选：AC． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 17. 已知，______；若，则实数的值为_____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由的解析式直接可求出，若，分两种情况讨论求出 【详解】因为，所以 若 则①当时，，解得或（舍） ②当时，，解得（舍） 综上： 故答案为：， 【点睛】本题考查的是分段函数的知识，解有关分段函数的问题时，常常要用到分类讨论的方法. 18. 已知的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则____. 【答案】10 【解析】 【分析】利用二项式系数的性质结合题意直接求解即可. 【详解】因为的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大， 所以二项式展开式共有11项，所以， 故答案为：10 19. 已知，，且，则的最小值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先变形：，再根据基本不等式求最值. 【详解】因为， 所以 当且仅当，即取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 20. 已知是半径为，圆心角为扇形,是扇形弧上的动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设,用表示出的长度,进而用三角函数表示出,结合辅助角公式即可求得最大值. 【详解】设 扇形的半径为,是扇形的接矩形 则 ,所以 则 所以 因为,所以 所以当时, 取得最大值 故答案为: 【点睛】本题考查了三角函数的应用,将边长转化为三角函数式,结合辅助角公式求得最值是常用方法,属于中档题. 四、解答题：本题共3小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知，设 （1）求n的值； （2）求的展开式中所有项的系数的和； （3）求的展开式中的常数项. 【答案】（1）8 （2）0 （3）28 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）赋值法求出的展开式中所有项的系数和； （3）由二项式定理求出展开式的通项公式，从而得到常数项. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 中，令得， 故展开式中所有项的系数和为0； 【小问3详解】 展开式的通项公式为， 令得，故常数项为. 22. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. （1）消防员甲操纵某一品牌无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 晴天 雨天 命中 45 30 不命中 5 20 附：其中 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】（1）答案见解析 （2）（i）分布列见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断； （2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得 【小问1详解】 零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关 晴天 雨天 合计 命中 45 30 75 不命中 5 20 25 合计 50 50 100 因为， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关. 【小问2详解】 （i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为 ， . X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . （ii）击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 23. 已知函数，. （1）求在上的最大值； （2）方程有两个实根、，且. （i）若，求实数a的取值范围； （ii）求证：. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）见详解. 【解析】 【分析】（1）求导得到函数在单调递减，在单调递增，则函数在端点处取得最大值；根据函数为偶函数，比较得，可得最大值为. （2）（i）利用（1）得到函数的最小值为2，根据单调性和奇偶性，因为，所以，根据、的范围，得到a的取值范围；（ii）根据，化简后可构造新函数，换元后利用二次函数单调性，得到. 【小问1详解】 因为函数的导数为单调递增函数，且， 所以当时，，当时，， 函数单调递减，在单调递增， 所以在或时，取得最大值. 又因为，所以为偶函数， 因此， 所以最大值为. 【小问2详解】 （i）根据（1）函数在单调递减，在单调递增， 所以在时取得最小值， 因为方程有两个实根，即有两个解， 所以. 又因为函数为偶函数，且， 所以，且. 因为，所以， 所以，解得，则， 所以，即， 所以实数a的取值范围为. （ii）证明：因为，所以， 所以可设， 因为， 所以. 设，则为单调递增函数，又因为， 所以当时，，当时，， 函数在单调递减，在单调递增， 所以，又因为方程有两个实根、， 所以，即， 设，其中， 根据二次函数的单调性，可得，即， 所以. 【点睛】思路点睛：在解决含有“”的函数问题时，注意考虑该函数的奇偶性；留意的关系，换元解决题目. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第二学期期中考试数学试卷（高二数学） 命题老师：贾萍 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.7 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 学生可从本年级开设的7门选修课中往意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，不同的选法种数是（ ） A. 350 B. 700 C. 2100 D. 4200 6. 若在区间上递减，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知上的函数，则“”是“函数为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知，则（ ） A. B. C. D. 9. 甲、乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.8，乙命中目标的概率为0.6.已知目标恰被命中1次的条件下，是甲命中的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间.则该蓄电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 2 11. 已知，则除以10的余数为（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 9 12. 已知是函数在上的两个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题6分，共24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 13. 下列关于回归分析的说法中正确的是（ ） A. 回归直线一定过样本中心 B. 两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好 C. 甲、乙两个模型分别约为0.98和0.80，则模型乙的拟合效果更好 D. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适 14. 已知函数，把的图象向左平移个单位得的图象，则下列选项中正确的是（ ） A. 的最小正周期为 B. 在上单调递减 C. 为奇函数 D. 的最大值为 15. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 16. 已知定义域为R函数满足对任意都有，且时（ ） A. B. 为奇函数 C. 在上单调递增 D. 有最小值 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 17. 已知，______；若，则实数的值为_____. 18. 已知的二项展开式中只有第6项的二项式系数最大，则____. 19. 已知，，且，则的最小值为____. 20. 已知是半径为，圆心角为扇形,是扇形弧上动点，是扇形的接矩形，则的最大值为________. 四、解答题：本题共3小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 21. 已知，设 （1）求n的值； （2）求展开式中所有项的系数的和； （3）求的展开式中的常数项. 22. 无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. （1）消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 晴天 雨天 命中 45 30 不命中 5 20 附：其中 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 （2）某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 23. 已知函数，. （1）求在上最大值； （2）方程有两个实根、，且. （i）若，求实数a的取值范围； （ii）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$