第二章 直线与圆的方程 章末检测卷-2024年新高二数学暑假衔接重点知识回顾与新课预习（人教A版2019）

第二章 直线与圆的方程 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法中不正确的是（    ）. A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线. B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线. C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线. D．截距式适用于不过原点的任何直线. 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 4．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 5．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 6．在平面直角坐标系内，，，动点在直线上，若圆过，，三点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 8．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 10．已知直线，，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，为坐标原点，则（    ） A．直线过定点，直线过定点 B． C．的最小值为7 D．若，，则恒满足 11．已知直线与交于一动点，是该动点的轨迹上的两个动点，点且．线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若圆的圆心在轴上，且与直线相切，则圆的标准方程可以为 ．（写出满足条件的一个答案即可） 13．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 14．已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 17．（15分）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 18．（17分）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）在直线l上求一点P，使； （3）若点Q在直线l上运动，求的最小值． 19．（17分）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线与圆的方程 章末检测卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线，直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的斜率， 且，可知直线的斜率 所以的倾斜角为． 故选：D． 2．下列说法中不正确的是（    ）. A．点斜式适用于不垂直于轴的任何直线. B．斜截式适用于不垂直于轴的任何直线. C．两点式适用于不垂直于轴和轴的任何直线. D．截距式适用于不过原点的任何直线. 【答案】D 【详解】解:点斜式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，A正确； 斜截式中斜率必须存在，因此直线不垂直于轴，B正确； 两点式中分母不能为零，即两点的横坐标不能相等，纵坐标也不能相等，即直线不能垂直于轴，C正确； 截距式中两截距必须存在且都不为0，因此直线必须不过原点，也不能与坐标轴平行，D错误． 故选：D． 【点睛】本题考查直线方程的四种形式的适用范围，属于基础题．解题时只要从各方程有意义即可分析． 3．圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】由圆，可得：，所以圆的圆心为，则圆心到直线的距离为， 故选：B 4．从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角（锐角或直角）的余弦值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【详解】圆即，其圆心，半径， 则过向这个圆作两条切线，切点为，如图： 又， 则， 所以. 故选：B. 5．我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】 ， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 6．在平面直角坐标系内，，，动点在直线上，若圆过，，三点，则圆面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆的几何性质知，圆心在中垂线上，故可设圆心坐标， 当圆与直线相切即圆心到的距离等于到点距离时，圆的面积最小， 可得：，解之得或， 当时，，圆的半径为，圆的面积为， 当时，，圆的半径为，圆的面积为， 所以圆面积的最小值为．    故选：A 7．在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，， 所以直线的方程为. 设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为， 易得，. 易知直线就是所在的直线. 所以直线的方程为. 设的重心为，则， 所以，即，所以（舍去）或， 所以，. 结合对称关系可知，， 所以的周长即线段的长度为： . 故选：A. 8．过点作圆的两条切线，设切点分别为A，B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设圆的圆心为， 因为过点作圆的两条切线，设切点分别为，， 所以，，，四点在以为直径的圆上，设为， 故的方程为，即， 将两圆联立方程组，解得， 故直线：， 点到直线：的距离为， 在圆中，点到直线：的距离为， 所以，解得， 所以的面积为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分 9．已知两直线，，则下列说法正确的是（    ） A．对任意实数m，直线，的方向向量都不可能平行 B．存在实数m，使直线垂直于x轴 C．存在实数m，使直线，互相垂直 D．当时，直线的方向向量不存在 【答案】AC 【详解】若两直线的方向向量平行，则，则无实数解，故两直线的方向向量不可能平行，故A正确， 由于的斜率为，所以直线不可能垂直于x轴，B错误， 当时，此时，，此时两直线垂直，C正确， 当时，直线，则其方向向量可以为，故D错误， 故选：AC 10．已知直线，，设两直线分别过定点，，直线和直线的交点为，为坐标原点，则（    ） A．直线过定点，直线过定点 B． C．的最小值为7 D．若，，则恒满足 【答案】AB 【详解】对于A：可化作，可发现过定点， 同理，过定点，A正确； 对于B：因为，所以恒成立， 因此是以为直径的圆上的点，根据定义，，B正确； 对于C：由题可知的中点为，， 所以在圆上，所以，C错误； 对于D：设，若，则， 化简可得：，与的方程不符合，D错误． 故选：AB． 11．已知直线与交于一动点，是该动点的轨迹上的两个动点，点且．线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值为 【答案】BCD 【详解】直线恒过定点，不含直线， 直线恒过定点，不含直线， 显然直线，因此直线交点的轨迹是以点和为直径的两个端点的圆（除点外）， 其方程为，显然点是该圆的圆心， 对于AB，由线段的中点为，得，， ，则，A错误，B正确； 对于C，， 由选项B知，点的轨迹是以点为圆心，1为半径的圆（除点外）， 因此，而， 所以的最小值为6，C正确； 对于D，可看作点到直线的距离， 同理，可看作点到直线的距离， 因此可看作点到直线的距离， 而点的轨迹方程为， 于是点到直线的距离最大值即， 则，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．若圆的圆心在轴上，且与直线相切，则圆的标准方程可以为 ．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】不妨设圆心为，则到直线的距离， 故圆的标准方程为. 故答案为：（答案不唯一） 13．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ． 【答案】 1 【详解】由题意得，得． 设，由得 即，则直线的方程为，即． 故答案为：1；. 14．已如直线和曲线只有一个公共点，则实数的取值范围 . 【答案】或 【详解】因为曲线，所以， 解得，曲线可化为， 两边同时平方有，，即， 所以曲线是以为圆心，为半径的圆的一部分， 而直线，所以直线的斜率为1，画图象如下： 由于直线与曲线只有一个公共点， 当直线过时，即，解得， 当直线过时，即，解得，由图象可知， 当直线与圆相切时：，解得或， 而即为在轴上的截距，由图象可知， 综上：或. 故答案为：或. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的三个顶点分别为，，.求: (1)边的中线所在直线的方程； (2)边的中垂线所在的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 所以的中点，所以， 则边的中线所在直线的方程为，即； （2）因为直线的方程为，且线段的中点， 所以边的中垂线所在的直线的方程为，即. 16．（15分）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为． 17．（15分）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 18．（17分）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， （1）求反射光线所在的方程； （2）在直线l上求一点P，使； （3）若点Q在直线l上运动，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【详解】（1）设线段AB中点D，点A关于直线l的对称点，直线AC与直线l交于， 因为直线AC与直线l垂直，并且过点A， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即M坐标为． 因为A、C两点关于直线l对称，所以关于点M对称， 所以，， 所以 根据光线反射定律，反射光线经过B、C两点， 由直线的两点式方程得： 直线BC方程为， 即反射光线所在直线的方程为 设线段AB的垂直平分线为m，因为， 所以点P在直线m上，又因为点P在直线l上， 所以点P为直线l与m交点， 由，的坐标可知， 线段AB中点，直线AB斜率为， 所以其垂直平分线m斜率， 因其经过点D，由直线的点斜式方程得直线m的方程为 ，即． 与直线l的方程联立 解方程组得P点坐标为 设点Q坐标为，令， 则 ， 当且仅当最小时，u取得最小值. 即点Q到线段AB中点D距离最小， 因为点Q在直线l上，所以点Q是点D在直线l上的射影， 此时DQ是点D到直线l的距离，由点到直线距离公式得 ． 所以． 19．（17分）已知圆，圆，点为圆上的一点. (1)若过点作圆的切线交圆于、两点，且弦长度最大值与最小值之积为，求的值； (2)当时，圆上有、两点满足，求线段长度的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）    设中点为点，连接、、、， 由，得，则圆内含圆， 由垂径定理得：，，由切线可得， 可得（当且仅当直线为时都取等）， （当且仅当直线为时都取等）， 所以，于是，解得. （2）取中点，连接、、.    当时，和重合，由于，则， 而，， 则，解得：，当且仅当在线段上时取等， 所以的最大值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$