1.2矩形的性质与判定 课件-2023-2024学年北师大版数学九年级上册

矩形的性质与判定 北师大版九年级数学上册第一章第二节 复习回顾 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形的性质 边 矩形的两组对边平行且相等 角 1、矩形的两组对角分别相等邻角互补 2、 矩形的四个角都是直角 对角线 矩形的两条对角线相等且互相平分 对称性 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形 想一想 根据矩形的定义,有一个角是直角的平行四边形是矩形.除此之外,你认为添加什么条件可以使一个平行四边形成为矩形?先想一想,再与大家交流. 平行四边形和菱形的不少性质定理与判定定理都是互逆命题。受此启发，我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形；四个角都是直角的四边形是矩形。 三个角都是直角的四边是矩形。 探究新知 猜想1 对角线相等的平行四边形是矩形 已知：如右图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC=BD。 求证： □ABCD是矩形： A B C D O ∵ AB∥DC，∴ ∠ABC+∠DCB =180° 证明:∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=DC AB∥DC 又∵AC=BD BC=CB ∴△ABC≌△DCB ∴ ∠ABC=∠DCB ∴ □ABCD是矩形。(有一个角是直角的平行四边形是矩形) ∴ ∠ABC=∠DCB =90° 探究新知 判定定理1 对角线相等的平行四边形是矩形 符号语言 ∵四边形ABCD是平行四边形且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) A B C D O 议一议 四个角都是直角的四边是矩形 三个角都是直角的四边是矩形 你怎么看？ 探究新知 猜想2 有三个角是直角的四边形是矩形 已知:如图,在四边形ABCD,∠A=∠B=∠C=90°. 求证:四边形ABCD是矩形. A B C D 证明:∵∠A=∠B=∠C=90° ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180 ∴AD∥BC,AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形 ∵ AB∥DC，∴ ∠ABC+∠DCB =180° ∴四边形ABCD是矩形。(有一个角是直角的平行四边形是矩形) ∵∠A=90° 探究新知 判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形 符号语言 ∵在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形(三个角是直角的四边形是矩形) A B C D 有一个角是直角的平行四边形是矩形 感悟总结 矩形的判定方法: 对角线相等的平行四边形是矩形 有三个角是直角的四边形是矩形 当堂诊断 （1）有一个角是直角的四边形是矩形。 （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形。 （3）对角线互相垂直的平行四边形是矩形。 （4）各组邻角都相等的四边形是矩形。 恭喜你，你答对了 很遗憾，你答错了 恭喜你，你答对了 很遗憾，你答错了 恭喜你，你答对了 很遗憾，你答错了 恭喜你，你答对了 很遗憾，你答错了 （本页请使用鼠标滚轮或方向键翻页） 例题讲解 例1.如图1-2-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,E,F在边BC上,AB∥DE,AF∥DC, 且四边形AEFD是平行四边形. (1)AD与BC有何数量关系?请说明理由; (2)当AB=DC时,求证:▱AEFD是矩形. A B C D E F 解　(1) BC=3AD. 理由如下: ∵AD∥BC,AB∥DE, ∴四边形ABED四边形是平行四边形, 同理四边形AFCD都是平行四边形 ∴AD=BE,AD=FC. 又∵四边形AEFD是平行四边形,∴AD=EF, ∴AD=BE=EF=FC,∴BC=3AD. 例题讲解 例1.如图1-2-12,在四边形ABCD中,AD∥BC,E,F在边BC上,AB∥DE,AF∥DC, 且四边形AEFD是平行四边形. (1)AD与BC有何数量关系?请说明理由; (2)当AB=DC时,求证:▱AEFD是矩形. A B C D E F 证明:（2）∵四边形ABED和四边形AFCD 都是平行四边形, ∴DE=AB,AF=DC.又AB=DC,∴DE=AF. 又∵四边形AEFD是平行四边形, ∴▱AEFD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形) 例题讲解 例2. 已知:如图1-2-7,▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H. 求证:四边形EFGH是矩形. B A C D E F G H 证明: ∵AF、BF分别平分∠BAD、∠ABC, ∴∠BAF=∠BAD,∠ABF=∠ABC. 在▱ABCD中,∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180° ∴∠BAF+∠ABF=90°,∴∠AFB=90°, ∴∠EFG=90°,同理,∠E=∠G=90°, ∴四边形EFGH是矩形. (三个角是直角的四边形是矩形) 例题讲解 例3.如图在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， △ABO是等边三角形，AB=4， 求▱ABCD的面积 A B C D O 解 ∵四边形ABCD是矩平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD, ∵△ABO是等边三角形 ∴OA=OB=AB=4, ∴BD=AC=2OA=2×4=8. ∴▱ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形) ∴∠ABC=90° 在Rt△ABC中,AB=4,AC=8,由勾股定理,得 BC= =4 ∴矩形ABCD的面积=AB·BC=16 随堂巩固 1.用一把刻度尺来判定一个零件是矩形的方法是先测量两组对边是否分别相等,然后测量两条对角线是否相等,这样做的依据是 ____________。 答案：两组对边相等的四边形是平行四边形；对角线相等的平行四边形是矩形. 2.如图，E,F,G,H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使四边形EFGH为 矩形，则四边形ABCD应具备的条件是（ ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．一组对边平行而另一组对边不平行 A B C D E F G H B 随堂巩固 3.如图 AB=AC，AD=AE，DE=BC，∠BAD=∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形 A B C D E 证明：∵∠BAD=∠CAE ∴∠BAE=∠CAD 又∵AE=AD,AB=AC ∴△BAE≌△CAD（SAS） ∴BE=CD ∠AEB=∠ADC ∵AE=AD ∴∠AED=∠ADE ∴∠BED=∠CDE ∵DE=BC BE=CD ∴ 四边形BCDE是平行四边形 ∴ BE∥CD ∴∠BED+∠EDCC=180°, ∵ ∠BED=∠CDE ∴∠BED=∠CDE=90° ∴▱BCDE是矩形 (有一个角是直角的平行四边形是矩形) 拓展提高 1.如图▱ABCD中，E是四边形外一点，∠AEC=90°,∠BED=90° 求证：▱ABCD是矩形 证明：连接EO ∵ 四边形ABCD是平形四边形 ∴点O是AC,BD中点 ∵ ∠AEC=90° ∴OE=0.5AC (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) 同理OE=0.5BD ∴AC=BD ∴▱ABCD是矩形. (对角线相等的平行四边形是矩形) A B C D E O 拓展提高 2.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN (1)求证:四边形AMDN是平行四边形; (2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?并说明理由 ②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形? (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CD∥AB 则ND∥AM ∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME. 又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE ∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA ∴四边形AMDN是平行四边形 A B C D E N M 拓展提高 (2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?并说明理由 ②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形? 解：① 当AM=1时,四边形AMDN是矩形 理由如下：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD=2 连接BD。∵∠DAB=60°∴△ABD是等边三角形 ∵AM=1=0.5AB ∴DM⊥AB ∴∠AMD=90° ∴平行四边形AMDN是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形) ② 当AM=2时，四边形AMDN是菱形 A B C D E N M 课堂小结 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形的判定方法 矩形的判定问题常常综合等腰三角形，等边三角形，直角三角形及全等三角形进行考查，为了不走弯路，一定要注意题中的前提条件是平行四边形还是四边形，再选择合适的判定方法进行证明 课后作业 基础作业：课后习题 1.6 拓展作业：根据判定方法检测生活中的矩形 $$