极值点偏移课件-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

　极值点偏移 第五章 一元函数的导数及其应用 2024/6/26 1 知识梳理 1.极值点偏移的概念 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间， 知识梳理 1.极值点偏移的概念 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间， c c 极值点左偏移 知识梳理 1.极值点偏移的概念 已知函数y＝f(x)是连续函数，在区间(a，b)内只有一个极值点x0，f(x1)＝f(x2)，且x0在x1与x2之间， 极值点右偏移 c c 2.极值点偏移问题的一般题设形式 (1)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； (2)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2x0(x0为函数f(x)的极值点)； 知识梳理 5 知识梳理 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性. 极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往对思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大. 解决极值点偏移问题，有对称化构造函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色. 6 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 解：(1)　由f ′(x)＝e－x(1－x)， ∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 令f ′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1， 题型一 不含参数的极值点偏移 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 方法：　对称化构造函数 例题讲解 (2)证明：　由（1）可知，当f(x1)＝f(x2)，x1≠x2，可设x1<1<x2， ，， 因为,， ， 则 ， 所以，在 上单调递增， 题型一 不含参数的极值点偏移 【对称构造法】其解题过程如下： （1）定函数极值点：利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函 数的极值点 ； （2）构造函数：根据极值点构造对称函数 ； （3）判断单调性：利用导数讨论 的单调性； （4）找零点：找出函数的零点，并结合单调性得出与 的 大小关系； （5）转化：利用函数的单调性，将与的大小关系转化为 与 之间的关系，进而得到所证或所求． 归纳总结 将双变元的不等式转化为单变元不等式，利用构造新的函数来达到消元的目的， 本质： 归纳总结 【对称构造法】 一求二构造三单调四比较。 口诀： 极值偏离对称轴， 构造函数觅行踪； 四个步骤环相扣， 对称化构造函数法构造辅助函数 (1)对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x). 归纳总结 【对称构造法】 思维升华 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 方法：　比值或差值代换 题型一 不含参数的极值点偏移 【比值与差值代换】其解题过程如下： （1）根据f(x1)＝f(x2)建立等量关系 （2）等量关系中如果含有参数，可考虑消参， 如果含有指数式，可考虑两边取对数 探究新知 ，消掉变量，，构造关于的函数 ． （4）用导求解：利用导数求解函数 的最值，从而可证得结论． 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 解：(1)　由f ′(x)＝e－x(1－x)， ∴函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 令f ′(x)>0得x<1；令f′(x)<0得x>1， 方法：　比值或差值代换 题型一 不含参数的极值点偏移 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 第1步: 确定变量范围 第2步: 双变量变单变量 第3步: 转化为恒成立问题 方法一 差值代换 方法：　比值或差值代换 题型一 不含参数的极值点偏移 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 方法：　比值或差值代换 题型一 不含参数的极值点偏移 　对数平均不等式 例题讲解 方法：　比值代换 例1 已知函数 f(x)＝xe－x. (1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若x1≠x2且f(x1)＝f(x2)，求证：x1＋x2>2. 例题讲解 即：x1＋x2>2. 方法：　对数平均不等式 题型一 不含参数的极值点偏移 例2 已知函数 f(x)＝alnx-x.aR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，证明：0<2a<x1＋x2. 例题讲解 方法：　比值代换 题型二 含参数的极值点偏移 例2 已知函数 f(x)＝alnx-x.aR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，证明：0<2a<x1＋x2. 例题讲解 方法：　比值代换 题型二 含参数的极值点偏移 例2 已知函数 f(x)＝alnx-x.aR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，证明：0<2a<x1＋x2. 例题讲解 方法：　比值代换 题型二 含参数的极值点偏移 例2 已知函数 f(x)＝alnx-x.aR (1)讨论f(x)的单调性； (2)若存在不相等的实数x1，x2，使得f(x1)＝f(x2)，证明：0<2a<x1＋x2. 例题讲解 方法：　对称化构造函数 题型二 含参数的极值点偏移 已知函数，为常数，若函数 有两个零点， ． 证明： . 证明：不妨设，因为， ， 所以， ， 所以 ， 欲证，即证 . 因为 ，所以即证 ， 所以原问题等价于证明，即 ， 跟踪训练 题型二 含参数的极值点偏移 方法：　比值代换 已知函数，为常数，若函数 有两个零点， ． 证明： . 跟踪训练 题型二 含参数的极值点偏移 方法：　比值代换 令， 则不等式变为 . 令，，所以 ， 所以在上单调递增，所以 ， 即，因此原不等式 得证． (1)若f(x)＝c的两根x1,x2的中点满足＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧的函数值变化快慢相同，如图所示． (2)若f(x)＝c的两根的中点≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x) 在x＝x0两侧的函数值变化快慢不同，如图所示． (2)若f(x)＝c的两根的中点≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x) 在x＝x0两侧的函数值变化快慢不同，如图所示． (3)函数f(x)存在两个零点x1，x2且x1≠x2，令x0＝，求证：f′(x0)>0； (4)函数f(x)中存在x1，x2且x1≠x2，满足f(x1)＝f(x2)，令x0＝，求证：  f′(x0)>0. 所以在处取得极大值，且. 欲证，即证， 因为，在上单调递减， 故只需证， 所以， 故原不等式亦成立. 又因为，故也即证， 即证得对 恒成立， (2)对结论x1x2>x型，方法一是构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式；方法二是两边取对数，转化成ln x1＋ln x2>2ln x0，再把ln x1，ln x2看成两变量即可. 所以在处取得极大值，且. $$