精品解析：云南省玉溪市江川区第一中学、通海县第一中学2023-2024学年高一下学期四月联考数学试卷

秘密★启用前【考试时间：2024年4月23日10：00-12：00】 玉溪市江川区第一中学､通海县第一中学 2023—2024学年下学期四月联考 高一年级数学试卷 命题人：刘罗敏 审题人：黄雨虹 张建伟 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的交并补运算即可得解. 【详解】因为全集，集合，所以， 又，所以， 故选：A. 2. 某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700个零件进行抽样，先将700个零件进行编号，.从中抽取70个样本，下图是利用软件生成的随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3位数，只要读取的号码落在编号范围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中第2行第6列的数2开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 007 B. 328 C. 253 D. 623 【答案】D 【解析】 【分析】根据系统抽样规则列举出前几个，即可得解. 【详解】依题意可得抽取的样本编号依次为：，，，，，，， 所以第个样本编号是. 故选：D 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得，不等式，解得或， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选A． 考点：充分不必要条件的判定． 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解：∵， 又∵ ∴9， ∴ 故选：C. 5. 函数在的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由的近似值即可得出结果． 【详解】设， 因，即是奇函数， 该函数的图象关于原点成中心对称，故C错误； 当时，，故 D错误； 又因，故A错误. 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 6. 在三角形中，，则（ ） A. 10 B. 22 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的运算律计算即可. 【详解】. 故选：B. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解. 【详解】由，当时，， 则. 故选：C. 8. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得，之后应用向量的加法三角形法则，得到，之后将其合并，得到，下一步应用相反向量，求得，从而求得结果. 【详解】根据向量的运算法则，可得 ， 所以. 【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ） A. 派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B. 派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C. 派遣的老年教师有144人 D. 派遣的青年女教师有15人 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用分层抽样结合各比例关系求解 【详解】因为， 所以派遣的青年男教师的数量占派遣总数的20%， 则派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的， 则派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同，均占总数的30%，故A，B正确； 派遣的老年教师人数为，故C错误； 派遣的青年女教师的人数为，故D正确． 故选：ABD． 10. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的概念判断A；算出判断B；算出判断C；求出判断D. 【详解】对于A：，其实部为零，虚部不为零，是纯虚数，A正确； 对于B：，其在复平面上对应的点为，在第四象限，B错误； 对于C：，则，C错误； 对于D：，则，D正确. 故选：AD. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的图象，先求得，然后求得，根据三角函数的对称性、单调性确定正确答案. 【详解】，，由于， 所以，所以A选项正确，B选项错误. ， 当时，得，所以关于对称，C选项正确， ， 当时，得在上递增，则在区间上单调递增，所以D选项正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为正数，且，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】因为均为正数，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为8. 故答案为：8 13. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】当时，代入条件即可得解. 【详解】因为是奇函数，则当时，，故． 又因为，且，则， 两边取以为底的对数得，解得． 14. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】 当时 故答案为： 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，已知直线分别与轴，轴交于两点，点. （1）求和的坐标. （2）求的最大值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出两点的坐标，再表示出和的坐标； （2）先求出，再求出向量的模，再利用三角函数恒等变换公式化简求解其最大值. 【小问1详解】 由题意知，直线分别与轴､轴交于点， 则，又 所以，； 【小问2详解】 因为， 则 ，其中， 当时，取得最大值， 且最大值为 16. 已知. （1）若，求的值. （2）记，求函数的单调减区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的充要条件结合三角函数的性质即可得解； （2）根据数量积的坐标公式及辅助角公式化一，再根据三角函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 由，可得：，即， ； 【小问2详解】 ， 令，解得， 所求减区间为. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）已知角和边，结合关系，由余弦定理建立的方程，求解得出，利用面积公式，即可得出结论； （2）方法一 ：将代入已知等式，由两角差的正弦和辅助角公式，化简得出有关角的三角函数值，结合的范围，即可求解. 【详解】（1）由余弦定理可得， 的面积； （2）[方法一]：多角换一角 ， ， ， . [方法二]：正弦角化边 由正弦定理及得．故． 由，得． 又由余弦定理得，所以，解得． 所以． 【整体点评】本题考查余弦定理、三角恒等变换解三角形，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.其中第二问法一主要考查三角恒等变换解三角形，法二则是通过余弦定理找到三边的关系，进而求角. 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数满足，再代入求解即可； （2）化简可得恒成立，令，再根据指数函数值域与对勾函数性质求解最大值即可. 【小问1详解】 是奇函数， 经检验当时，是奇函数符合题意， 又或（舍）， ； 【小问2详解】 ， 即， 又，故恒成立， 令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减， . 19. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）. （2）条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【解析】 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【小问1详解】 因为 所以， 因为，所以. 【小问2详解】 因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 秘密★启用前【考试时间：2024年4月23日10：00-12：00】 玉溪市江川区第一中学､通海县第一中学 2023—2024学年下学期四月联考 高一年级数学试卷 命题人：刘罗敏 审题人：黄雨虹 张建伟 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 某工厂用简单随机抽样中的随机数法对生产的700个零件进行抽样，先将700个零件进行编号，.从中抽取70个样本，下图是利用软件生成的随机数，只需随机选定一个初始位置和方向开始读数，每次读取一个3位数，只要读取的号码落在编号范围内，该号码就是所抽到的样本编号，这样即可获得70个样本的编号，注意样本号码不能重复.若从表中第2行第6列的数2开始向右读取数据，取到的第一个样本编号是253，则得到的第6个样本编号是（ ） A. 007 B. 328 C. 253 D. 623 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量满足，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 5. 函数在的图象大致为 A. B. C. D. 6. 在三角形中，，则（ ） A. 10 B. 22 C. D. 7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（ ）（） A. 1.5 B. 1.2 C. 0.8 D. 0.6 8. 在中，为边上的中线，为的中点，则 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 为了实现教育资源的均衡化，某地决定派遣480名教师志愿者（480名教师情况如图）轮流支援当地的教育工作．若第一批志愿者采用分层抽样的方法随机派遣150名教师，则（ ） A. 派遣的青年男、女教师的人数之和与老年教师的人数相同 B. 派遣的青年女教师的人数占派遣人员总数的10% C. 派遣的老年教师有144人 D. 派遣的青年女教师有15人 10. 设复数，（i为虚数单位），则下列结论正确的为（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 11. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递增 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知均为正数，且，则的最小值为__________. 13. 已知是奇函数，且当时，.若，则__________. 14. 将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在直角坐标系中，已知直线分别与轴，轴交于两点，点. （1）求和的坐标. （2）求的最大值. 16. 已知. （1）若，求的值. （2）记，求函数的单调减区间. 17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°. （1）若a=c，b=2，求的面积； （2）若sinA+sinC=，求C. 18. 已知函数是奇函数，且. （1）求的值； （2）若，不等式恒成立，求的取值范围. 19. 设函数． （1）若，求的值． （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $