2023-2024学年人教版九年级数学上册暑假大复习讲义：一元二次方程

专题21.1 一元二次方程 【题型1 一元二次方程的识别】 【例1】（2024春•湖南长沙长郡期中）下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【变式1-1】（2021秋•蓬溪县期末）下列方程中，一元二次方程有（　　） ①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③；④x2＝1；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】 【变式1-3】 【题型2 由一元二次方程的定义求字母的的值或范围】 【例2】（2023春•湖南长沙师大附中博才）若方程是关于x的一元二次方程，则m等于_______． 【变式2-1】2022春•琅琊区校级月考）若（m+3）x|m|﹣1﹣（m﹣3）x﹣5＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．±3 D．±2 【变式2-2】（2022•湘桥区一模）若方程（m﹣1）x2•x＝1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　． 【知识点3 一元二次方程的解】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 【题型3 由一元二次方程的解求代数式的值】 【例3】（2024春•湖南长沙长郡期中）已知m是方程的一个根，则代数式的值为（　　） A.0 B.2 C.﹣2 D.4 【变式3-1】（2022•桂林模拟）已知m是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的一个根，则8m﹣2m2+2的值是（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式3-2】（2022春•庐阳区校级期中）若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021 【变式3-3】（2021秋•泉州期末）已知实数a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，则a4+a3+8a﹣1的值为（　　） A．62 B．63 C．64 D．65 【题型4 已知一元二次方程的根求另一方程的根】 【例4】（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　． 【变式4-1】（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程（x+2）2+bx+2b＝1必有一根为（　　） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 【变式4-2】（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（　　） A．2022 B．2020 C．2019 D．2021 【知识点5 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【题型5 用直接开平方法解一元二次方程】 【例5】（2022•建华区二模）解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【变式5-1】（2022•齐齐哈尔）解方程：（2x+3）2＝（3x+2）2（开平方法）． 【知识点6 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【题型6 用配方法解一元二次方程】 【例6】（2022春•淄川区期中）（1）请用配方法解方程2x2﹣6x+3＝0； （2）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【变式6-1】（2022秋•松江区期末）用配方法解方程：． 【知识点7 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【题型7 用公式法解一元二次方程】 【例7】（2022春•通州区校级月考）用公式法解方程：2a2﹣3＝﹣4a． 【变式7-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【知识点8 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程 转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【题型8 用因式分解法解一元二次方程】 【例8】（2022秋•莲湖区期中）用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣3）． 【变式8-1】（2022秋•徐汇区校级月考）解方程：（4﹣3x）+（3x﹣4）2＝0（因式分解法）． 【题型9 用换元法解一元二次方程】 【例9】（2023春•长沙雨花区期末）请阅读下列材料: 问题: 已知方程 ,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 2 倍. 解: 设所求方程的根为 ,则 ,所以. 把 代入已知方程,得 ; 化简,得 ; 故所求方程为 . 这种利用方程根的代换求新方程的方法, 我们称为 “换根法”. 请用阅读材料提供的 “换根法” 求新方程 (要求: 把所求方程化为一般形式); (1) 已知方程 ,求一个一元二次方程,使它的根分别为已知方程根的相反数; （2）已知关于 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程, 使它的根分别是已知方程根的倒数. 【变式9-1】（2021春•龙口市月考）阅读下面材料：方程x4﹣6x2+8＝0是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设x2＝y，则x4＝y2，∴原方程可化为y2﹣6y+8＝0，解方程求得y的值，进而得到原方程的四个根x1，x2，x3＝2，x4＝﹣2． 以上方法叫做换元法，通过换元达到降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题． （1）解方程2（x2+3x）2﹣3（x2+3x）﹣2＝0； （2）已知实数a满足（a2）2﹣3a2＝10+3，请直接写出a2的值． 【变式9-2】（2022秋•邵东市期末）请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值． 解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1 已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值． 知识点10 一元二次方程根的判别式】 一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根. 【题型10 由根的判别式判断方程根的情况】 【例10】（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（　　） A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．不能判定 【变式10-1】（2022春•钱塘区期末）已知关于x的方程x2+（k+3）x+k+2＝0，则下列说法正确的是（　　） A．不存在k的值，使得方程有两个相等的实数解 B．至少存在一个k的值，使得方程没有实数解 C．无论k为何值，方程总有一个固定不变的实数根 D．无论k为何值，方程有两个不相等的实数根 【变式10-2】（2022•南召县模拟）已知关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p，则下列分析正确的是（　　） A．当p＝0时，方程有两个相等的实数根 B．当p＞0时，方程有两个不相等的实数根 C．当p＜0时，方程没有实数根 D．方程的根的情况与p的值无关 【变式10-3】（2022•环翠区一模）对于任意的实数k，关于x的方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判定 【题型11 由方程根的情况确定字母的取值范围】 【例11】（2022春•长丰县期末）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜﹣1 B．m＞0 C．m＜1且m≠0 D．m＞0且m≠1 【变式11-1】（2022•西平县模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（2022•滑县模拟）若关于x的一元二次方程2kx2﹣3x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞﹣9 B．k＞﹣9且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0 【变式11-3】（2023•湖南长沙青竹湖期末）关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根,则实数 的取值范围是___. 【题型12 由根的判别式证明方程根的必然情况】 【例12】（2021秋•瓦房店市期末）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m﹣1＝0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根． 【变式12-1】（2021秋•惠来县月考）已知一元二次方程x2+px+q+1＝0的一个根为2． （1）求q关于p的关系式； （2）求证：方程x2+px+q＝0有两个不等的实数根． 【变式12-2】（2021秋•方城县期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣4）＝p2，其中p为实数． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）试写出三个p的值，使一元二次方程有整数解，并简要说明理由． 【题型13 根的判别式与三角形的综合】 【例13】（2022•莲池区二模）若等腰三角形三边的长分别是a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0的两个根，则满足上述条件的m的值有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上 【变式13-1】（2022春•温州期中）等腰三角形ABC的三条边长分别为4，a，b，若关于x的一元二次方程x2+（a+2）x+6﹣a＝0有两个相等的实数根，则△ABC的周长是 　 　． 【变式13-2】（2022春•宁波期中）已知：关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣1＝0． （1）判断方程的根的情况； （2）若△ABC为等腰三角形，AB＝5cm，另外两条边长是该方程的根，求△ABC的周长． 【知识点14 一元二次方程的根与系数的关系】 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 【题型14 由根与系数的关系求代数式的值】 【例14】（2023•长沙青竹湖期末）已知 是一元二次方程 的两个实数根,则代数式 的值等于 A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【变式14-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【变式14-2】（2022春•长沙雅礼期末）方程是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别是． （1）求m取值范围； （2）若，求m的值． 【变式14-3】（203春•湖南长沙师大附中期末）.已知关于x的一元二次方程． （1）若此方程有两个不相等的实数根，，求m的取值范围； （2）若此方程的两根互为倒数，求的值． 【题型15 由方程两根满足关系式求字母系数的值】 【例15】（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　） A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3 【变式15-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　） A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1 【变式15-2】（2023春•长沙华益期末） 已知关于 的一元二次方程 . （1）求证: 无论 为何实数,方程总有两个实数根; （2）若方程 ,的两个实数根 满足 ,求 的值. 【变式15-3】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0． （1）求证：该一元二次方程总有两个实数根； （2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围； 【题型16 平均变化率问题】 【例16】（2023春•长沙青竹湖期末）国家统计局统计数据显示, 我国快递业务逐年增加, 2020 年至 2022 年我国快递业务收入由 7500 亿元增加到 9000 亿元. 设我国 2020 年至 2022 年快递业务收入的年平均增长率为 ,则可列方程为 ( ) A. B. C. D. 【变式16-1】（2022•安徽二模）某市决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（　　） A．20% B．11% C．22% D．44% 【变式6-2】（2023春•长沙雅礼期末）8.某商品原价为100元，连续两次降价后为80元，设平均每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【题型17 销售利润问题】 【例17】（2022•大庆模拟）某口罩经销商批发了一批口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，则每周可销售80盒．现准备提价销售，经市场调研发现：每盒每提价1元，每周销量就会减少2盒，为保护消费者利益，物价部门规定，销售时利润率不能超过50%，设该口罩售价为每盒x（x＞60）元，现在预算销售这种口罩每周要获得1200元利润，则每盒口罩的售价应定为（　　） A．70元 B．80元 C．70元或80元 D．75元 【变式17-1】（2023春•师大博才期末）商场某种商品平均每天可销售 30 件，每件盈利 50 元，为了 618 年中大促，商 场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件． （1）若某天该商品每件降价 3 元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到 2000 元，则每件商品应降价多少元？ 【变式17-2】（2022春•垦利区期末）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日在北京开幕，北京成为历史上第一个既举办夏奥会又举办冬奥会的城市．某批发商最近以2元/张的价格订购了一批具有纪念意义的书签进行销售．经调查发现，每个定价3元，每天可以卖出500件，而且定价每上涨0.1元，其销售量将减少10张．根据规定：纪念品售价不能超过批发价 的2.5倍． （1）当每张书签定价为3.5元时，商店每天能卖出 　　件； （2）如果商店要实现每天800元的销售利润，那该如何定价？ 【变式17-3】（2022•市中区校级一模）今年奉节脐橙喜获丰收，某村委会将全村农户的脐橙统一装箱出售．经核算，每箱成本为40元，统一零售价定为每箱50元，可以根据买家订货量的多少给出不同的折扣价销售． （1）问最多打几折销售，才能保证每箱脐橙的利润率不低于10%？ （2）该村最开始几天每天可卖5000箱，因脐橙的保鲜周期短，需要尽快打开销路，减少积压，村委会决定在原售价基础上每箱降价3m%，这样每天可多销售m%；为了保护农户的收益与种植积极性，政府用“精准扶贫基金”给该村按每箱脐橙m元给予补贴进行奖励，结果该村每天脐橙销售的利润为49000元，求m的值． 【题型18 传播问题】 【例18】（2022•射洪市期中）新冠病毒主要是经呼吸道飞沫传播的，在无防护下传播速度很快．已知有1个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169个人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染m人，则m的值为（　　） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式18-1】（2022•汕头）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 【题型19 循环问题】 【例19】（2022春•百色期末）某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排21场比赛，则八年级班级的个数为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式19-1】（2022•大连一模）第24届北京冬奥会冰壶混合双人循环赛在冰立方举行．参加比赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛45场，共有多少个队参加比赛？ 【变式19-3】（2022•中山市模拟）某市计划举办青少年足球比赛，赛制采取双循环形式（即每两队之间都要打两场比赛），一共组织30场比赛．计分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分． （1）该市举办方应该邀请多少支球队参赛？ （2）此次比赛结束后，如果其中一支参赛球队共平了4场，负了2场，则该球队此次比赛的总积分是多少？ 【题型20 树枝分叉问题】 【例20】（2022春•启东市期末）某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式20-1】（2022秋•鼓楼区校级期末）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（　　） A．1+x2＝43 B．1+x+x2＝43 C．x+x2＝43 D．（1+x）2＝43 【变式20-2】（2018秋•同安区校级期中）某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是31，则每个枝干长出（　　）小分支． A．7根 B．6根 C．5根 D．4根 【题型21 图形问题】 【例21】（2022春•海安市期末）某校准备在一块长为25米，宽为20米的长方形花园内修建一个底部为正方形的亭子（如图所示），在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边垂直的小路，亭子边长是小路宽度的5倍，花园内的空白地方铺草坪，设小路宽度为x米． （1）花园内的小路面积为 　 　平方米（用含x的代数式表示）． （2）若草坪面积为440平方米时，求这时道路宽度x的值． 【变式21-1】（2022•沈阳模拟）如图，某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，半径为x米，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15米．当x等于多少时，窗户通过的进光面积是4平方米． 【变式21-2】（2021秋•朝阳区校级月考）如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长100m，下底长180m，上下底相距80m，在两腰中点连线外有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等，甬道的面积是梯形面积的六分之一．甬道的宽应是多少（精确到0.01m）？ （友情提示：中间甬道的中位线就是等腰梯形的中位线） 【变式21-3】（2022•淮安区期中）用条长40厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为x厘米． （1）若矩形的面积为96平方厘米，求x的值； （2）矩形的面积是否可以为101平方厘米？如果能，请求x的值；如果不能，请说明理由． 【题型22 新定义问题】 【例22】（2022•青县二模）定义运算：m※n＝mn2﹣2mn﹣1，例如：4※2＝4×22﹣2×4×2﹣1＝﹣1．若关于x的方程a※x＝0有实数根，则a的取值范围为（　　） A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．a≥0或a≤﹣1 D．a＞0或a≤﹣1 【变式22-1】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　 　．（填序号） ①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程； ②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程； ③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）； ④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程． 【变式22-2】（2023春•长沙青竹湖期末）定义: 若一元二次方程 满足 ,则我们称这个方程为 “蝴蝶” 方程. 已知关于 的一元二次方程 是 “蝴蝶” 方程,且有两个相等的实数根,则 与 的数量关系是 ____ 【变式22-3】（2023•湖南长沙立信八年级期末).若我们规定：在平面直角坐标系中，点P的坐标为，点Q的坐标为，和的差构成一个新函数y，即．称y是的“数天数函数”，P为“天数点1”，Q为“天数点2”． （1）已知“天数点1”为点，“天数点2”为点．点在“数天数函数”图象上，求y的解析式； （2）已知“天数点1”为点，“天数点2”为点，y是“数天数函数”，求的最小值； （3）关于x的方程的两个实数根，“数天数函数”．若，且，求m的值． 【变式22-4】（2023•湖南长沙雅礼八年级期中). 综合与探究: 如果关于 的一元二次方程 有两个实数根,且其中一个根比另一个根大 1,那么称这样的方程是 “邻根方程”,例如: 一元二次方程 的两个根是 ,则方程: 是 “邻根方程”. （1）通过计算,判断下列方程是否是 “邻根方程”: . （2）已知关于 的一元二次方程 ( 是常数) 是 “邻根方程”,求 的值. （3）若关于 的一元二次方程 是常数,且 是 “邻根方程”,令 ,求 的最大值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$